1、第二章基本知能检测(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列曲线中离心率为 的是( )62A. 1 B. 1x22 y24 x24 y22C. 1 D. 1x24 y26 x24 y210答案 B解析 双曲线 1 的离心率 e .x24 y22 4 22 622平面上有两个定点 A、B 及动点 P，命题甲：“| PA| PB|是定值” ，命题乙“点 P的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线” ，则甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件
2、答案 B解析 当|PA|PB| AB|时，点 P 的轨迹是一条射线，故甲 乙，而乙甲，故选 B./3设椭圆 1(m0， n0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相同，离心率为 ，x2m2 y2n2 12则此椭圆的方程为( )A. 1 B. 1x212 y216 x216 y212C. 1 D. 1x248 y264 x264 y248答案 B解析 抛物线焦点为(2,0)， 2，又 ，m4，n .m2 n2m2 n2m 12 124已知双曲线 C： 1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为x2a2 y2b2( )A. 1 B. 1x220 y25 x25 y220
3、C. 1 D. 1x280 y220 x220 y280答案 A解析 根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解 1 的焦距为 10，c5 . x2a2 y2b2 a2 b2又双曲线渐近线方程为 y x，且 P(2,1)在渐近线上，ba 1，即 a2b. 2ba由解得 a2 ，b ，故选 A.5 55若 是任意实数，则方程 x2y 2sin4 表示的曲线不可能是( )A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆答案 C解析 sin 可以等于 1，这时曲线表示圆，sin 可以小于 0，这时曲线表示双曲线，sin 可以大于 0 且小于 1，这时曲线表示椭圆6(2015湖北文，9)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的
4、实半轴长 a 和虚半轴长 b(ab)同时增加 m(m0) 个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2，则( )A对任意的 a、b，e 1e 2B当 ab 时，e 1e 2；当 ab 时，e 1e 2C对任意的 a、b，e 1e 2D当 ab 时，e 1e 2；当 ab 时，e 1e 2答案 B解析 不妨设双曲线 C1 的焦点在 x 轴上，即其方程为： 1，则双曲线 C2 的x2a2 y2b2方程为： 1，所以 e1 ，e 2 x2a m2 y2b m2 a2 b2a 1 b2a2 a m2 b m2a m，当 ab 时， 0，所以 ，所以1 b m2a m2 b ma m ba b ma
5、ba ma ma a bma ma b ma mba2 2，所以 e2e1；当 a0，b0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是x2a2 y2b2A1、A 2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B、C 两点若 A1BA 2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A B12 22C1 D 2答案 C解析 由已知得右焦点 F(c,0)(其中 c2a 2b 2，c0)，A 1(a,0)，A 2(a,0)；B(c， )，b2aC(c， )；从而 A1B (ca， )， (ca， )，又因为 A1BA 2C，所以b2a b2a A2C b2aA1B A2C 0，即(ca)( ca) ( )( )0；化简
6、得到 1 1，即双曲线b2a b2a b2a2 ba的渐进线的斜率为1；故选 C.9设双曲线 1 的一条渐近线与抛物线 yx 21 只有一个公共点，则双曲线的x2a2 y2b2离心率为( )A. B554C. D.52 5答案 D解析 双曲线 1 的一条渐近线方程为 y x，由方程组Error!消去 y，得 x2x2a2 y2b2 bax10 有唯一解，所以 240，所以 2，e ，ba (ba) ba ca a2 b2a 1 (ba)2 5故选 D.10在抛物线 y28x 中，以(1，1)为中点的弦的方程是( )Ax4y30 Bx 4y30C4x y30 D4xy30答案 C解析 设弦的两端
7、点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，( x1x 2)，则 y 8x 1，y 8x 2，21 2两式相减得(y 1y 2)(y1y 2)8(x 1x 2)，又 y1y 22， 4，y1 y2x1 x2弦所在直线的斜率为4，又过点(1，1)，所求直线方程为 4xy 30.11动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x 20 相切，则动圆必过定点( )A(4,0) B(2,0)C(0,2) D(0，2)答案 B解析 直线 x20 恰好为抛物线 y28x 的准线，由抛物线定义知，动圆必过抛物线焦点(2,0)12椭圆 C： 1 的左、右顶点分别为 A1、A 2，点 P 在 C
8、上且直线 PA2 斜率的x24 y23取值范围是2，1，那么直线 PA1 斜率的取值范围是 ( )A ， B ， 12 34 38 34C ，1 D ，112 34答案 B解析 利用直线 PA2 斜率的取值范围确定点 P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线 PA1 斜率的边界值由题意可得 A1(2,0) ，A 2(2,0)，当 PA2 的斜率为2 时，直线 PA2 的方程为y2( x2) ，代入椭圆方程，消去 y 化简得 19x264x520，解得 x2 或 x .由点2619P 在椭圆上得点 P( ， )，此时直线 PA1 的斜率 k .同理，当直线 PA2 的斜率为1 时，2619
9、2419 38直线 PA2 方程为 y(x 2)，代入椭圆方程，消去 y 化简得 7x216x40，解得 x2或 x .由点 P 在椭圆上得点 P( ， )，此时直线 PA1 的斜率 k .数形结合可知，直线27 27 127 34PA1 斜率的取值范围是 ， 38 34二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，将正确答案填在题中横线上)13已知长方形 ABCD，AB 4，BC3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_答案 12解析 AB2c 4，c2.又 ACCB5382a，a4.即椭圆的离心率为 .ca 1214已知抛物线 y28x 的准线过双曲线
10、 1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的x2a2 y2b2离心率为 2，则该双曲线的方程为_答案 x 2 1y23解析 首先由题设求出双曲线的半焦距，再求出 a，b 的值由题意可知抛物线的准线方程为 x2，双曲线的半焦距 c2.又双曲线的离心率2，a1，b ，3双曲线的方程为 x2 1.y2315抛物线形拱桥的跨度是 20m，拱高是 4m，每隔 4m 用一支柱支撑，其中最长支柱的长是_答案 3.84 m解析 如图，建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线方程为：x 22py(p0)点 A(10，4) 在抛物线上，1008p，p ，x 225y，252其中最长一根长柱与抛物线的交点为 B(x0，y
11、0)，由题意知 x02，y 0 ，425最长的支柱长为 4 3.84(m)425 962516以下四个关于圆锥曲线的命题：设 A、B 为两个定点，k 为非零常数，| | |k，则动点 P 的轨迹为双曲线；PA PB 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB，O 为坐标原点，若 ( )，则动点OP 12OA OB P 的轨迹为椭圆；方程 2x25x20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线 1 与椭圆 y 21 有相同的焦点x225 y29 x235其中正确命题的序号是_答案 解析 双曲线的定义是：平面上与两个定点 A，B 的距离的差的绝对值为常数 2a，且 00)的焦点的直线交抛物线
12、于 A、B 两点，且|AB| p，求 AB 所在的直线方程52解析 如图所示，抛物线 y22px (p0)的准线为 x ，A( x1，y 1)、B(x 2，y 2)，设p2A、B 到准线的距离分别为 dA、d B，由抛物线的定义知，|AF|d Ax 1 ，p2|BF|d Bx 2 ，p2于是|AB|x 1x 2p p，52x1x 2 p.32当 x1x 2 时，|AB|2p0，b0)的一个焦点；又抛物线与双曲线的一个交点为 M ，求抛物线和双y2b2 (32， 6)曲线的方程解析 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，与双曲线 1(a0，b0)的一x2a2 y2b2个交点为 M ，设抛物线方程
13、为 y22px(p0)，(32， 6)将点 M 坐标代入得 p2，y 24x，其准线为 x1，抛物线的准线过双曲线的一个焦点，双曲线的焦点为(1,0)且点 M 在双曲线上，a 2 ，b 2 ，(32， 6) 14 34则双曲线的方程为 4x2 1.4y2321(本题满分 12 分)已知椭圆 C1： y 21，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1x24有相同的离心率(1)求椭圆 C2 的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A， B 分别在椭圆 C1 和 C2 上， 2 ，求直线 AB 的方OB OA 程解析 (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 1( a2)，y2a2 x24其离心率为
14、 ，故 ，解得 a4.32 a2 4a 32故椭圆 C2 的方程为 1.y216 x24(2)解法一：设 A，B 两点的坐标分别为(x A，x B)，( xB，y B)，由 2 及(1)知，O、A、 B 三点共线且点 A、B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的OB OA 方程为 ykx.将 ykx 代入 y 21 中，得(1 4k 2)x24，x24所以 x .241 4k2将 ykx 代入 1 中，得 (4k 2)x216，y216 x24所以 x .2B164 k2又由 2 ，得 x 4x ，即 ，OB OA 2B 2A 164 k2 161 4k2解得 k1.故直线 AB 的方程为
15、yx 或 yx.22(本题满分 14 分)(2015陕西文，20)如图，椭圆 E： 1( ab0)经过点x2a2 y2b2A(0，1) ，且离心率为 .22(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P、Q( 均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.解析 (1)由题意知 ，b1 由 a2b 2c 2，解得 a ，得椭圆的方程为ca 22 2y 21.x22(2)设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，x 1x20，由题设知，直线 PQ 的方程为 yk(x 1)1(k 2)，代入 y 21，化简得(12k 2)x24k( k1) x2k(k2) 0，则 x1x 2x22，x 1x2 ，由已知 0, 从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和4kk 11 2k2 2kk 21 2k2kAPk AQ .化简得， kAPk AQ2k(2k)y1 1x1 y2 1x2 kx1 2 kx1 kx2 2 kx22k(2k) 2k2( k1)2.x1 x2x1x2 4kk 12kk 2
