1、第二章基本知能检测(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(20132014 学年度河北玉田县高二期中测试 )推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等，以上推理的方法是( )A归纳推理 B类比推理C演绎推理 D合情推理答案 C解析 演绎推理是由一般到特殊的推理，当前提为真时，结论必然为真，上述推理是演绎推理2求证： .2 3 5证明：因为 和 都是正数，2 3 5所以为了证明 ，2 3 5只需证明( )2( )2，2 3 5展开得
2、 52 5，即 2 0，6 6显然成立，所以不等式 .2 3 5上述证明过程应用了( )A综合法B分析法C综合法、分析法配合使用D间接证法答案 B解析 根据证明过程可以看出符合执果索因的证法，故为分析法3给出下列三个类比结论：(ab) na nbn与(ab) n类比，则有( ab)na nb n；log a(xy)log axlog ay 与 sin()类比，则有 sin()sin sin；(ab)2a 22abb 2 与(ab) 2 类比，则有(ab) 2a 22ab b2.其中正确结论的个数是( )A0 B1C2 D3答案 B解析 只有正确，故选 B.4观察(x 2)2x ，( x4)4x
3、 3，(cosx)sinx ，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x )f(x) ，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)( )Af(x) Bf (x)Cg(x) Dg( x)答案 D解析 由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，所以 g(x)g( x)5设 a0，b0，若 是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值为( )31a 1bA8 B4C1 D.14答案 B解析 (3 )23 a3b 3 ab ，ab112 ( )(ab)2 2 241a 1b 1a 1b ba ab 1当且仅当 即 ab 时等号成立，故选 B.ba ab6a、b、c、d 均为正实数，设
4、S ，则下列判aa b c bb c d cc d a dd a b断中正确的是( )A01，a ，b ，则正确的结论是 ( )c 1 c c c 1Aa b Bab，则 .c 1 c c c 1 2 ，c 1 c 1 cc1c12 4c；c2 1即 c 矛盾，选 B.c2 111观察下列等式：11， 1 31，123, 132 39，1236, 132 33 336，123410, 132 33 34 3100，1234515, 132 33 34 35 3225. 可以推测：1 32 33 3n 3 可表示为( )A. n(n1) B. n2(n1) 212 12C. n2(n1) 2 D
5、. n2(n1) 214 14答案 D解析 由 11 2,93 2,366 2,10010 2，知132 33 3n 3(12 3n) 2 2 ，故选 D.nn 12 n2n 12412如果函数 f(x)对任意的实数 x，存在常数 M，使得不等式|f (x)|M(x) 恒成立，那么就称函数 f(x)为有界泛函数，下面四个函数：f(x)1；f (x)x 2；f (x)(sinxcosx )x；f( x) .其中属于有界泛函数的是( )xx2 x 1A B C D答案 D解析 sinxcosx sin(x ) ，24 2存在常数 M 成立|sinxcosx|M，2|x (sinxcosx )|M(
6、 x)，即|f(x)| M (x)成立，是有界泛函数；x 2x1(x )2 ，12 34 34| | ，1x2 x 1 43存在常数 M ，43使 M( x)，|x|x2 x 1|即|f(x)| M (x)成立，是有界泛函数，因此选 D.二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，将正确答案填在题中横线上)13平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_答案 表面积一定的空间体中，球的体积最大解析 平面中的“周长”类比成空间中的“面积” ， “平面图形 ”类比成“空间体” ，“面积”类比成“体
7、积” ， “圆”类比成“球” 14已知 f(x) 是奇函数，那么实数 a 的值等于_a2x 1 22x 1答案 1解析 因为 f(x) (xR )是奇函数，a2x 1 22x 1则 f(x )f(x) 0，所以 a1.a2 x 1 22 x 1 a2x 1 22x 115已知数列a n，a 1 ，a n1 ，则 a2、a 3、a 4、 a5 分别为_，12 3anan 3猜想 an_.答案 ， 373839 310 3n 5解析 每一项的分子相同，分母是从 7 开始的自然数16已知正项等比数列a n满足：a 7a 62a 5，若存在两项 am、a n使得 4a 1，aman则 的最小值为_ 1
8、m 4n答案 32解析 a n为等比数列，a n0，a 7a 62a 5，a 1q6a 1q52a 1q4，q 2q20，q1 或 2.a n0，q2. 4a 1，a 1qm1 a1qn1 16a ，q mn2 16，aman 21即 2mn2 2 4，mn6， (mn)( ) (5 ) ，等号在 ，即1m 4n 16 1m 4n 16 nm 4mn 32 nm 4mnm2，n4 时成立三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)已知 a 是整数，a 2 是偶数求证：a 是偶数证明 假设 a 不是偶数，即 a 是奇数，则设
9、a2n1(nZ)a 24n 24n1.4(n 2n) 是偶数，4n 24n1 是奇数，这与已知 a2 是偶数矛盾，故假设错误，从而 a 一定是偶数18(本题满分 12 分)观察下列数表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，(1)此表第 n 行的最后一个数是多少？(2)此表第 n 行的各个数之和是多少？(3)2 008 是第几行的第几个数？解析 (1)由表知，从第二行起每行的第一个数为偶数，所以第 n1 行的第一个数为2n，第 n 行的最后一个数为 2n1.(2)由(1)知第 n1 行的最后一个数为 2n1 1，第 n 行的第一个数为 2n1 ，第 n 行的最
10、后一个数为 2n1.又观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得Sn 2 2n3 2 2n2 2 n2 .2n 12n 1 2n 12(3)因为 2101 024,2112 048，又第 11 行最后一个数为 21112 047，所以 2 008 是在第 11 行中，由等差数列的通项公式得 2 0081 024( n1)1 ，所以 n985，所以 2 008是第 11 行的第 985 个数19(本题满分 12 分)已知 a、b 是不相等的正数，且 a3 b3a 2b 2，求证 1a2abb 2ab，即(ab) 2ab，且 a0，b0，ab1.要证 ab0.而(ab) 20 显然成立，1f(x2)，当 x1x2 时，f(x 1)0，b1a0.(ax 2 by2) (axby) 2(aa 2)x22abxy( bb 2)y2a (1a)x 22a(1 a)xya(1 a)y2a(1 a)(x 2 2xyy 2)a(1a)(xy) 2，又a0,1a0，(x y )20 ，(ax 2 by2) (axby) 20，即 ax2by 2(ax by )2.
