1、第二章基本知能检测(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列曲线中离心率为 的是( )62A. 1 B. 1x22 y24 x24 y22C. 1 D. 1x24 y26 x24 y210答案 B解析 双曲线 1 的离心率 e .x24 y22 4 22 622平面上有两个定点 A、B 及动点 P，命题甲：“| PA| PB|是定值” ，命题乙“点 P的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线” ，则甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件
2、答案 B解析 当|PA|PB| AB|时，点 P 的轨迹是一条射线，故甲/ 乙，而乙甲，故选B.3设椭圆 1(m0， n0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相同，离心率为 ，x2m2 y2n2 12则此椭圆的方程为( )A. 1 B. 1x212 y216 x216 y212C. 1 D. 1x248 y264 x264 y248答案 B解析 抛物线焦点为(2,0)， 2，又 ，m4，n12.m2 n2m2 n2m 124若方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是 ( )x2a y2bA. B. D. .x2a y2b b a5若 是任意实数，则方程 x2y 2sin4 表示
3、的曲线不可能是( )A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆答案 C解析 sin 可以等于 1，这时曲线表示圆，sin 可以小于 0，这时曲线表示双曲线，sin 可以大于 0 且小于 1，这时曲线表示椭圆6在下列各对双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是( )A. y 21 和 1x23 x29 y23B. y 21 和 x2 1x23 y23Cy 2 1 和 x2 1x23 y23D. y 21 和 1x23 y23 x29答案 A解析 A 中离心率都为 ，渐近线都为 y x.233 337已知抛物线 x24y 的焦点 F 和点 A(1,8)，点 P 为抛物线上一点，则|PA| |PF|的最小
4、值为( )A16 B6C12 D9答案 D解析 如图，过点 A 作准线的垂线，B 为垂足，与抛物线交于一点 P，则点 P 为所求的点，|PA| PF|的最小值为 |AB|的长度8以 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )x24 y212A. 1 B. 1x216 y212 x212 y216C. 1 D. 1x216 y24 x24 y216答案 D解析 双曲线 1，可化为： 1，x24 y212 y212 x24焦点为(0，4) ，顶点为(0，2 )，3椭圆方程为： 1.y216 x249设双曲线 1 的一条渐近线与抛物线 yx 21 只有一个公共点，则双曲线的x2a2 y2b2离心
5、率为( )A. B554C. D.52 5答案 D解析 双曲线 1 的一条渐近线方程为 y x，由方程组Error!消去 y，得 x2x2a2 y2b2 bax10 有唯一解，所以 240，所以 2，e ，ba (ba) ba ca a2 b2a 1 (ba)2 5故选 D.10在抛物线 y28x 中，以(1，1)为中点的弦的方程是( )Ax4y30 Bx 4y30C4x y30 D4xy30答案 C解析 设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，( x1x 2)，则 y 8x 1，y 8x 2，21 2两式相减得(y 1y 2)(y1y 2)8(x 1x 2)，又 y1y
6、 22， 4，y1 y2x1 x2弦所在直线的斜率为4，又过点(1，1)，所求直线方程为 4xy 30.11动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x 20 相切，则动圆必过定点( )A(4,0) B(2,0)C(0,2) D(0，2)答案 B解析 直线 x20 恰好为抛物线 y28x 的准线，由抛物线定义知，动圆必过抛物线焦点(2,0)12A(x 1，y 1)，B ，C(x 2，y 2)为椭圆 1 上三点，若 F(0,4)与三点(22，53) x29 y225A、B 、C 的距离为等差数列，则 y1y 2 的值为( )A. B.43 103C. D.163 223答案 B解析 ，即
7、|AF|5 y1， ，即|CF| 5 y2，| BF| .|AF|a2c y1 ca 45|CF|a2c y2 ca 45 8 499 113由题意知 2|BF| AF|CF|，所以 5 y15 y2 ，所以 y1y 2 .45 45 223 103二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，将正确答案填在题中横线上)13已知长方形 ABCD，AB 4，BC3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_答案 12解析 AB2c 4，c2.又 ACCB5382a，a4.即椭圆的离心率为 .ca 1214与椭圆 1 有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为
8、x29 y24_答案 12x25 2y25解析 双曲线的两渐近线互相垂直，双曲线为等轴双曲线，又 c25，a 2b 2 .5215抛物线形拱桥的跨度是 20m，拱高是 4m，每隔 4m 用一支柱支撑，其中最长支柱的长是_答案 3.84 m解析 如图，建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线方程为：x 22py(p0)点 A(10，4) 在抛物线上，1008p，p ，x 225y，252其中最长一根长柱与抛物线的交点为 B(x0，y 0)，由题意知 x02，y 0 ，425最长的支柱长为 4 3.84(m)425 962516以下四个关于圆锥曲线的命题：设 A，B 为两个定点，k 为非零常数，| |
9、 |k，则动点 P 的轨迹为双曲线；PA PB 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB，O 为坐标原点，若 ( )，则动点OP 12OA OB P 的轨迹为椭圆；方程 2x25x20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线 1 与椭圆 y 21 有相同的焦点x225 y29 x235其中正确命题的序号是_答案 解析 双曲线的定义是：平面上与两个定点 A，B 的距离的差的绝对值为常数 2a，且 00)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，且|AB| p，求 AB 所在的直线方程52解析 如图所示，抛物线 y22px (p0)的准线为 x ，A( x1，y 1)、B(x 2，y 2)，设
10、p2A、B 到准线的距离分别为 dA、d B，由抛物线的定义知，|AF|d Ax 1 ，p2|BF|d Bx 2 ，p2于是|AB|x 1x 2p p，52x1x 2 p.32当 x1x 2 时，|AB|2p0，b0)的一个焦点；又抛物线与双曲线的一个交点为 M ，求抛物线和双y2b2 (32， 6)曲线的方程解析 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，与双曲线 1(a0，b0)的一x2a2 y2b2个交点为 M ，设抛物线方程为 y22px(p0)，(32， 6)将点 M 坐标代入得 p2，y 24x，其准线为 x1，抛物线的准线过双曲线的一个焦点，双曲线的焦点为(1,0)且点 M 在双曲线
11、上，a 2 ，b 2 ，(32， 6) 14 34则双曲线的方程为 4x2 1.4y2321(本题满分 12 分)在面积为 1 的PMN 中，tan PMN ，tanMNP2，建立12适当的坐标系，求以 M、N 为焦点且过点 P 的双曲线方程解析 以 MN 所在直线为 x 轴，MN 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，设 P(x0，y 0)、M( c,0)、N(c, 0)(y00，c 0)，如图所示，则有Error!， 解得Error! .设双曲线的方程为 1，x2a2 y234 a2将 P( ， )代入，可得 a2 ，536 233 512所以所求双曲线的方程为 1.x2512y21322(本
12、题满分 14 分)如图，点 A 是椭圆 C： 1( ab0)的短轴位于 x 轴下方的x2a2 y2b2端点，过 A 作斜率为 1 的直线交椭圆于 B 点，P 点在 y 轴上，且 BPx 轴， 9.AB AP (1)若 P 的坐标为(0,1) ，求椭圆 C 的方程；(2)若 P 的坐标为(0，t)，求 t 的取值范围解析 (1)A(0，b) ，l 的方程为 ybx，P(0,1)，则 B(1b,1) ， (1b,1b)，AB (0，b1)，AP 又 9，AB AP (1b,1b)(0，b1)9，即(b1) 29，b2，点 B(3,1)在椭圆上， 1，a 212，9a2 14所求的椭圆方程为 1.x212 y24(2)P(0，t)、A (0，b)、B(tb，t )，( tb，tb)， (0，t b) ， 9，AB AP AB AP (tb) 29， b3t，B (3，t)，代入椭圆 1，a 2 ，9a2 t23 t2 3t 323 2ta 2b2， (3t) 2，0t .3t 323 2t 32
