1、页 1 第2019 届陕西省黄陵中学高三（重点班）上学期开学考试数学（理）试题一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1已知集合 Ax| x22x 30 ，Bx|2x 2 ，则 AB( )A2，1 B1,2) C 1,1 D1,2)2设 z i，则| z|( )11 iA. B. C. D212 22 323设向量 a，b 满足|ab| ，|ab| ，则 ab( )10 6A1 B2 C3 D54抛物线 y28x 的焦点到直线 x y0 的距离是( )3A2 B2 C. D13 35.函数21()log)fxx的定义域为（
2、A）(0,)2（B ） (,)（C ）1(0,)2,)（D ）1(0,2,)6.4)(x的展开式中 x3 的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)487若函数 )1,0)(logabxya的图象过两点( -1，0)和(0，1)，则 ( )(A)a=2, b=2 (B)a= ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= ,b=2 2 28.在各项都为正数的等比数列 na中，首项 13a，前三项的和为 21，则 345a(A) 33 (B) 72 (C) 84 (D) 1899已知函数 f（x）是定义域为 R 的周期为 3 的奇函数，且当 x（0，1.5）时 f（x）=ln（x 2x
3、+1），则方程f（x）= 0 在区间0，6上的解的个数是 （ ）页 2 第A 5 B7 C9 D1110点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 的边上运动，M 是 CD 的中点，则当 P 沿ABCM 运动时，点 P 经过的路程 x 与APM 的面积 y 的函数 y=f（x）的图象的形状大致是图中的 （ ）A B C D11对于任意 xR，函数 f（x ）满足 f（2 x）= f（x），且当 x1 时，函数 f（x）=lnx，若 a=f（2 0.3），b=f（log 3），c=f（ e）则 a，b，c 大小关系是 （ ）Ab a c Bbca Ccab Dcba12设函数 f（x）是函数 f（
4、 x）（xR）的导函数，已知 f（x）f （x），且 f（x）=f（4 x），f （4 ）=0， f（ 2）=1，则使得 f（x） 2ex0 成立的 x 的取值范围是 （ ）A（2，+） B（0，+ ） C（1，+） D（ 4，+）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分）13.左传僖公十四年有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在. 皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的 条件（将正确的序号填入空格处）充分条件 必要条件 充要条件 既不充分也不必要条件 1 2 3 414.若3()ln1)xfea是偶函数，则 a
5、 15.函数2log()f在区间 1,上的最大值为 16.已知函数 ()sinfxx，若正实数 a， b满足 ()1)0fab，则4ab的最小值是 页 3 第三解答题：(本大题共 4 小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共 40 分)17、设函数 235fxx（1）求不等式 4的解集；（2）若 fxa的解集不是空集，求实数 a的取值范围18. 如图所示，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，CA4，CB4，CC 12 ， ACB90，点 M 在线段 A1B1 上.(1)若 A1M3MB 1，求异面直线 AM 和 A1C 所成角的余弦值；(2)若直线 AM 与平面 ABC1 所成角为 30，试
6、确定点 M 的位置19.已知函数 .（1 ）求函数 f(x)的最小正周期；（2 ）求 在 上的最大值和最小值20. 某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于 90 分的具有复赛资格，某校有 800 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间 内，其频率分布直方图如图页 4 第（1 ） 求获得复赛资格的人数；（2 ）从初赛得分在区间 的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取 人参加学校座谈交流，那么从得分在区间 与 各抽取多少人?（3 ）从（2 ）抽取的 7 人中，选出 3 人参加全市座谈交流，设 表示得分在区间 中参加全市座谈交流的人数，求 的分布列及数学期望 1-
7、4.ABAD 页 5 第5-8.CCAC9-12.CAAB13. 14.3215.3 16.942 17.解析:（1）由题意：8,532,xfx 4fx解得： 5x或43，所以不等式的解集为：4|53x或（2）由题意： minaf，由（1）式可知： 5x时，7,52fx时72fx，时，72fx，min72f a的范围为：页 6 第18.【答案】（1） ；（2）见解析解析:方法一 (坐标法)以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB ，CC 1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(4,0,0)，A 1(4,0,2 )，B 1(0,4，2 ).(
8、1)因为 A1M3MB 1，所以 M(1,3,2 ).所以 (4,0,2 ), ( 3,3,2 ).所以 cos ， .所以异面直线 AM 和 A1C 所成角的余弦值为 .(2)由 A(4,0,0)，B(0,4,0)，C 1(0,0,2 )，知 ( 4,4,0)， (4,0,2 ).设平面 ABC1 的法向量为 n(a，b，c) ，由 得令 a1，则 b1，c ，所以平面 ABC1 的一个法向量为 n(1,1 ， ).因为点 M 在线段 A1B1 上，所以可设 M(x,4x,2 )，所以 (x4,4x,2 ).因为直线 AM 与平面 ABC1 所成角为 30，所以|cosn， | sin 30
9、 .由|n |n| |cosn， |，得|1 (x4)1 (4x) 2 |页 7 第2 ，解得 x2 或 x6.因为点 M 在线段 A1B1 上，所以 x2，即点 M(2,2,2 )是线段 A1B1 的中点.方法二 (选基底法)由题意得 CC1CA，CACB，CC 1CB，取 ， ， 作为一组基底，则有| | |4，| |2 ，且 0.(1)由 3 ，则 ， ，且| | ，且| |2 ， 4cos ， .即异面直线 AM 与 A1C 所成角的余弦值为 .(2)设 A1MA 1B1，则 .又 ， ，设面 ABC1 的法向量为 nx y z ，则 8z16x0， 16y16x0，不妨取 xy1，z
10、2，则 n 2 且|n|8，| | ， 16，又 AM 与面 ABC1 所成的角为 30，则应有页 8 第 ，得 ，即 M 为 A1B1 的中点.19.【 答案】（1） ；（2）见解析【详解】（）由题意得 原式 的最小正周期为 . （） ，. 当 ，即 时， ；当 ，即 时， . 综上，得 时， 取得最小值为 0；当 时， 取得最大值为 .20.【答案】（1）20 ；（2）5，2；（3 ）见解析页 9 第解析：（）由题意知 之间的频率为: ，获得参赛资格的人数为 （）在区间 与 ， ，在区间 的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取 7 人分在区间 与 各抽取 5 人，2 人结果是 5，2.（） 的可能取值为 0，1，2，则故 的分布列为：0 1 2
