1、页 1 第2018 届陕西省黄陵中学高三（重点班）下学期开学考试数学（理）试题第卷 选择题（满分 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 |1Axy， |2,xByA，则 B（ ）A (,1) B 0, C (01 D 0,2)2.已知函数32(bfx，则 是 ()fx在 处取得极小值的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3.已知 1z与 2是共轭虚数，有 4个命题 12z； 12z； 12zR；21z，一定正确的是（ ）A B C D 4.sin()(,0
2、)(,xf大致的图象是（ ）A B C. D 5.若 x， y满足约束条件20,15,yx则yx的最大值是（ ）A32B 1C 2D 3 6.已知锐角 满足cos2()4，则 sin等于（ ）A 2B1C2D2页 2 第7.5()xy的展开式中，24xy的系数为（ ）A 10B 5C 5D 10 8.数列 na中，已知 1S， 2，且 123nnSS，（ 2且 *nN），则此数列为（ ）A等差数列 B等比数列C从第二项起为等差数列 D从第二项起为等比数列9.已知平面向量 a， b， e满足 1， ae， 2b， ab，则 a的最大值为（ ）A-1 B-2 C.5D5410.已知实数 x， y满
3、足约束条件012xy，若不等式 22140axyay恒成立，则实数 a的最大值为（ ）A73B53C. 5 D 611.已知函数 22ln1fxaxR，若 0fx在 1x恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）A 2a B 1a C.12aD24a12.已知直线 l与曲线3269yxx相交，交点依次为 A， B， C，且 5AB，则直线l的方程为（ ）A 2yx B C. 35yx D 32yx 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分.13. 设 满足 则 的最大值是_14. 二项式 的展开式中常数项是 _（用数字作答）页 3 第15. 若方程为标准方程的双曲线的一条渐近线与圆 相切，则其离
4、心率为_16. 已知数列 共有 26 项，且 ， ， ，则满足条件的不同数列 有_ 个三、解答题：(本大题 6 个小题，共 70 分)17.已知数列 的前 项和 。na2*19()8nSnN（）求数列 的通项公式；（）令 ，求数列 的前 项和 。116()nnnba:nbnT18 如图，正三棱柱 的所有棱长均 ， 为棱 （不包括端点）1ABC2D1B上一动点， 是 的中点E（）若 ，求 的长；1D（）当 在棱 （不包括端点）上运动时，求平面 与平面 的B1ACB夹角的余弦值的取值范围19.有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在 59,10范围内（单位：毫米，以下同）
5、，按规定直径在 71,89内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取 500 个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：（1）根据以上统计数据完成下面 2列联表，并回答是否有 95%以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”？页 4 第（2）求优质品率较高的基地的 500 个桔柚直径的样本平均数 x(同一组数据用该区间的中点值作代表)：（3）经计算，甲基地的 500 个桔柚直径的样本方差 226.78s，乙基地的 500 个桔柚直径的样本方差227.8s，并且可认为优质品率较高的基地采 摘的桔柚直径 X服从正态分布 2,N，其中 近似为样本平均数 x， 2近似为样本方差 2s.由优质品
6、率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采摘的桔柚中，直径不低于 86.78 亳米的桔柚在总体中所占的比例.附：22nadbcKd， nabcd.若 2,XN:，则 0.682PX.0.954P， 330.974.20.已知过点 2,1P的椭圆2:10xyEab的离心率为2.（1）求椭圆方程；（2）不过坐标原点 O的直线 l与椭圆 交于 ,AB两点(异于点 P，线段 AB的中点为 D,直线 O的斜率为1.记直线 ,PAB的斜率分别为 12,k.问 12是否为定值?若为定值，请求出定值.若不为定值，请说明理由.21.已知函数2()ln()fxaxR，函数 ()23gx.（）判断函数1()()Ffg
7、的单调性；（）若 2a时，对任意 12,x，不等式 1212|()|()|fxftgx恒成立，求实页 5 第数 t的最小值.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系 .曲线 1C的极坐标方程为4sin， M为曲线 1C上异于极点的动点，点 P在射线 OM上，且 P， 25， OM成等比数列.（1）求点 P的轨迹 2的直角坐标方程；（2）已知 (0,3)A， B是曲线 2上的一点且横坐标为 2，直线 AB与 1C交于 D， E两点，试
8、求DE的值.23.选修 4-5：不等式选讲已知2()()fxaR， (12gxx.（1）若 4，求不等式 )f的解集；（2）若 0,3x时， ()x的解集为空集，求 a的取值范围. 页 6 第1-5: CDDDC 6-10.ABDDA 11-12.CB13.【答案】 14.【答案】210 15.【答案】 或 2 16.【答案】230017.解：（）由题意知，当 12;4nnaS时 ， 1.4naS当 时 ， 符 合 上 式 。6 分14na所 以 （）解：由（）知 = ，T n= 12 分nb11n18 证明：（），由 AC=BC，AE=BE，知 CEAB，又平面 ABC平面 ABB1A1，所
9、以 CE平面 ABB1A1而 AD平面 ABB1A1，ADCE，又 ADA 1C 所以 AD平面 A1CE，所以 ADA 1E易知此时 D 为 BB1的中点，故 BD=15 分（）以 E 为原点，EB 为 x 轴，EC 为 y 轴，过 E 作垂直于平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 BD=t，则 A（-1，0，0），D（1，0，t），C 1（0， ，2），3=（2，0，t）， =（1， ，2），设平面 ADC1的法向量A=（x，y，z），n则 ，取 x=1，得 ，1032xtzACy: 42(1,)3ntt平面 ABC 的法向量 =（0，0，1），设平面 ADC1与平面 A
10、BC 的夹角为 ，mcos= = = =n:241()3tt237t23(1)6t由于 t（0,2）,故 cos（ ， 17即平面 ADC1与平面 ABC 的夹角的余弦值的取值范围为（ ， 12 分21719.解：（）由以上统计数据填写 2列联表如 下：页 7 第841.3.5170981053421022 ）（K，所以,有 95%的把握认为：“两个基地采摘的水果直径有差异” （）甲基地水果的优质品率为%84502，甲基地水果的优质品率为%785039，所以，甲基地水果的优质品率较高， 甲基地的 500 个桔柚直)5983218671207436812(50 x809.876.1.42.（）由
11、（）可知，甲基地的桔柚直径 )78.6,0(2NX2.73()8.607.6( PXP，15.2.1)(1)8所以，估计甲基地采摘的桔柚中，直径不低于 86.78 毫米的桔柚在总体中所占的比例大约为 %87.15.20.解 : （）由题意得 214ba,解得 3,62ba,则椭圆 E的方程为.362yx()由题意可设直线 AB方程为 )0(mtyx,令 ),(),(21yxBA则)2,(11D.直线 OD的斜率为 1, yt21212,即 0)(12myt (1) tx62062)(22 mtyt )(则,2121tyty甲基地 乙基地 合计优质品 420 390 810非优质品 80 110
12、 190合计 500 500 1000页 8 第代入(1)式得2,0,2)1( tmt,因此, .3,62121ymy则 21k )2()(1212 myx22121 )()(4ymy)4(362,即 21k为定值.21解：（I）213ln22Fxfagxaxa，其定义域为为 (0,)， 21xx1x.（1） 当 0a时， 0F，函数 yF在 (0,)上单调递增；（2） 当 时，令 x，解得1xa；令 x，解得1xa.故函 数 yFx在10,a上单调递增，在1,a上单调递减. （II）由题意知 t.21xfx，当 21a时，函数 yfx单调递增，不妨设 12，又函数 yg单调递减，所以原问题等
13、价于：当21a时，对任意 x，不等式 21fxf12txg恒成立，即211fxtgftg对任意 a， 2恒成立.记2ln3hftxxtx，则 hx在 1,上单调递减.得120xat对任意 ,1a，,2恒成立.页 9 第令1(2)Haxt， ,1a，则max12Hx20t在 (,)上恒成立.则 ax2t，而y在 ,上单调递增，所以函数1yx在 ,2上的最大值为9.由1t，解得14t.故实数 t的最小值为 4. 22.解：（1）设 (,)P， 1(,)M，则由 ,25O成等比数列，可得 20OP， 即 1=0，1 又 1(,)M满足 14sin，即204sin， sin5，化为直角坐标方程为 5y
14、 （2）依题意可得 (2,)B，故 1ABk，即直线 AB倾斜角为 4， 直线 AB的参数方程为,23,xty代入圆的直角坐标方程22()4x，得 230t， 故 12， 12t， ADE页 10 第23.解：(1)当 4a时， ()fxg化为2412xx， 当 1x，不等式化为 2+50，解得 6或 6，故 6；当 12x时，不等式化为 27x，解得 7x或 ，故 ； 当 x，不等式化为 230x，解得 1x或 3故 3； 所以 ()fx解集为 |16x或 x (2) 由题意可知，即为 0,3时， ()fg恒成立 当 02x时， 2a，得 2min1x； 当 3时， 1x，得 in+4a，综上， 4a
