1、第二章 2.1一、选择题1方程(2xy2) 0 表示的曲线是( )x2 y2 1A一个点与一条直线B两条射线和一个圆C两个点D两个点或一条直线或一个圆答案 B解析 原方程等价于 x2y 210，或Error!，故选 B.2若方程 x2y 2k 0 与 2xyk0 所表示的两条直线的交点在方程 x2y 29 的曲线上，则 k 等于 ( )A3 B0C2 D. 一切实数答案 A解析 两直线的交点为(0 ，k)，由已知点(0 ，k )在曲线 x2y 29 上，故可得k29，k3.3在直角坐标系中，方程|x |y1 的曲线是( )答案 C解析 由|x|y1 知 y0，曲线位于 x 轴上方，故选 C.4
2、命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”是正确的，下列命题中正确的是( )A方程 f(x，y)0 的曲线是 CB方程 f(x，y)0 是曲线 C 的方程C方程 f(x，y)0 的曲线不一定是 CD以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上答案 C解析 不论方程 f(x，y)0 是曲线 C 的方程，还是曲线 C 是方程 f(x，y)0 的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解； (2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以 A、B、D 错误5已知 A(2,0)、B(2,0)，ABC 的面积为 10，则顶点 C 的轨迹是( )A一个点 B两个
3、点C一条直线 D两条直线答案 D解析 设顶点 C 到边 AB 的距离为 d，则 4d10，d5.顶点 C 到 x 轴的距12离等于 5.故顶点 C 的轨迹是直线 y5 和 y5.6动点在曲线 x2y 21 上移动时，它和定点 B(3,0)连线的中点 P 的轨迹方程是( )A(x 3)2y 24 B(x3) 2y 21C(2x3) 24y 21 D( x )2y 2132答案 C解析 设 P 点为 (x，y )，曲线上对应点为(x 1，y 1)，则有 x ， y.x1 32 y1 02x 12x3，y 12y.(x 1， y1)在曲线 x2y 21 上，x y 1，21 21(2x 3)2(2y
4、 )21 即(2x3) 24y 21.二、填空题7方程 y 所表示的图形是_x2 2x 1答案 两条射线 xy 10( x1) 和 xy 10( x1)解析 原方程等价于 y|x1|x y10( x1) 和 x y10( x1)8给出下列结论：方程 1 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距为2 的直线；yx 2到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y2；方程(x 24) 2(y 24) 20 表示四个点正确的结论的序号是 _答案 解析 方程 1 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距为2 的直线且扣除点(2,0)，故yx 2错；到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y2 或 y2 ，故错；方程(
5、 x24) 2(y 24)20 表示点(2,2)，( 2，2) ，(2，2)，(2,2) ，故正确三、解答题9画出方程(xy1) 0 所表示的曲线x y 2解析 方程(xy 1) 0 可等价变形为Error!或 xy20.x y 2由Error!得Error!Error!表示射线 xy10(x )32原方程表示射线 xy 10(x )和直线 xy20，如下图所示3210.设圆 C：(x1) 2y 21，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程解析 设所作弦的中点为 P(x，y)，连接 CP，则CPOP ，| OC|1，OC 的中点 M( ，0) ，动点 P 的轨迹是以点 M 为12圆
6、心，以 OC 为直径的圆，轨迹方程为(x )2y 2 .点 P 不能与点 O 重合，12 140x1，故所作弦的中点的轨迹方程为(x )2y 2 (0x1)12 14一、选择题1方程 x2xyx 所表示的图形是 ( )A一个点 B一条直线C两条直线 D一个点和一条直线答案 C解析 原方程等价于 x(xy1) 0x0 或 xy10，故原方程所表示的图形是两条直线2设圆 M 的方程为(x 3) 2(y2) 22，直线 l 的方程为 xy30，点 P 的坐标为(2,1)，那么( )A点 P 在直线 l 上，但不在圆 M 上B点 P 在圆 M 上，但不在直线 l 上C点 P 既在圆 M 上，也在直线
7、l 上D点 P 既不在圆 M 上，也不在直线 l 上答案 C解析 将 P(2,1)代入圆 M 和直线 l 的方程得，(23) 2 (12) 22 且 2130，点 P(1,2)既在圆(x 3) 2(y2) 22 上也在直线 l：xy30 上，故选 C.3平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足 4，则点 P 的轨OP OA 迹方程是( )Axy4 B2x y4Cx 2y4 Dx2y1答案 C解析 由 (x ，y)， (1,2)得 ( x，y)(1,2)x2y4，x2y4 即为OP OA OP OA 所求轨迹方程，故选 C.4平行四边形 ABCD 的顶点 A、C
8、的坐标分别为(3 ，1)、(2 ，3)，顶点 D 在直线3xy10 上移动，则顶点 B 的轨迹方程为( )A3xy200 B3x y100C3x y120 D3xy90答案 A解析 设 AC、BD 交于点 O，A、C 分别为(3，1)、(2 ， 3)，O 点坐标为( ，2)，设 B 点坐标为( x，y)，52D 点坐标为(5x ，4y) ，D 在直线 3xy10 上，153x4y10，即 3xy200，故选 A.二、填空题5由动点 P 向圆 x2y 21 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB 60 ，则动点 P 的轨迹方程为_答案 x 2y 24解析 设 P(x，y )，x 2y
9、 2 1 的圆心为 O，APB 60，OP 平分APB，OPB30，|OB |1， OBP 为直角，|OP |2，x 2y 24.6M 为直线 l：2x y 30 上的一动点，A(4,2) 为一定点，又点 P 在直线 AM 上运动，且|AP| PM| 3，则动点 P 的轨迹方程为 _答案 8x4y 30 或 4x2y150解析 设点 M、P 的坐标分别为 M(x0，y 0)，P(x，y)，由题设可得 或 AP 34AM AP 32，AM Error!，或Error!，因为点 M(x0，y 0)在直线 2x y30 上，所以 2 30 或 2 30，即 8x4y30 或4x 43 4y 23 2
10、x 43 2y 234x2y150.从而点 P 的轨迹方程为 8x4y 30 或 4x2y150.三、解答题7设ABC 的两顶点分别是 B(1,1)、C (3,6)，求第三个顶点 A 的轨迹方程，使|AB| BC|.解析 设 A(x，y )为轨迹上任一点，那么 ，x 12 y 12 3 12 6 12整理，得(x1) 2(y 1) 229.因为 A 点不在直线 BC 上，虽然点 C(3,6)及点 C 关于点 B 的对称点 C( 1，4)的坐标是这个方程的解，但不在已知曲线上，所以所求轨迹方程为(x1) 2(y1) 229( 去掉(3,6)和( 1， 4)两个点)8已知ABC 的两个顶点坐标为 A(2,0)、B(0，2) ，第三个点 C 在曲线y3x 21 上移动，求ABC 重心的轨迹方程(注：设 ABC 顶点 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x3，y 3)，则ABC 重心坐标为 G( ， )x1 x2 x33 y1 y2 y33解析 设 C(x1，y 1)，重心 G(x，y)，由重心坐标公式得3x20x 1,3y02y 1，即 x13x2，y 13y2，C(x 1，y 1)在曲线 y3x 21 上，3y23(3 x2) 21.化简得 y9x 212x 3.故ABC 的重心的轨迹方程为 y9x 212x3.(不包括和直线 AB 的交点)
