1、第 1 章第 5 节 有理数的乘方教案一. 教学内容：有理数的乘方1. 乘方的意义，会用乘法的符号法则进行乘方运算；2. 会用科学记数法表示较大的数，理解近似数和有效数字表示的意义；3. 了解科学记数法在实际生活中的作用。二. 知识要点：1. 有理数乘方的意义求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。一般地， 记作 an。乘方的结果叫做幂，在 an中， a 叫做底数， n 叫做指数， an从运算的角度读作 a 的 n 次方，从结果的角度读作 a 的 n 次幂。注：（1）一个数可以看作这个数本身的一次方。（2）当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写小些。 （3）乘
2、方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方的运算的结果。2. 乘方运算的性质（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）任何数的偶次幂都是非负数；（4）1 的偶次幂得 1，1 的奇次幂得1；1 的任何次幂都得 1；（5）现在学习的幂的指数都是正整数，在这个条件下，0 的任何次幂都得 0。3. 有理数的混合运算顺序（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右进行。（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。4. 科学记数法把一个大于 10 的数记成 a10n的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，
3、像这样的记数方法叫作科学记数法。注：科学记数法是有理数的一种记数形式，这种形式就是 a10n，它由两部分组成： a 和 10n，两者相乘，其中 a 大于或等于 1，且小于 10（即 1 a10），它是由原来的小数点向左移动后的结果，也就是说，a 与原数只是小数点位置不同。指数 n 是正整数，等于原数化为 a 时小数点移动的位数，用科学记数法表示一个数时，10 的指数比原数的整数位数小 1。5. 近似数和有效数字（1）近似数与实际完全符合的数是准确数。与实际有一点偏差但又非常接近的数称为近似数。 （2）精确度近似数的近似程度，也就是精确度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位
4、。（3）有效数字四舍五入后的近似数，从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的位数止，所有的数字，都叫作这个数字的有效数字。如：近似数 23.8 精确到十分位，有三个有效数字 2，3，8。注：对于 0.006080，左边第一个不是 0 的数字是 6，左边的三个 0 都不是有效数字，但 6 和 8 之间的0，和最后的 0 都是有效数字。精确度一般有两种形式：一是精确到哪一位；二是保留几个有效数字。规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求。一般说，对于同一个数取近似值时，有效数字个数越多，精确程度越高。三. 重点难点：1. 重点：能够运用有理数乘方的运算法则进行乘方运算；会用科学记数法表
5、示较大的数；能够根据具体要求表示近似数。2. 难点：如何确定幂的符号；小数的有效数字的个数。【典型例题】例 1. 填空：（1）（4） 2_，4 2_；（2）（4） 2_，（4 2）_；（3）（） 3_，（）_；（4）（2） 5_，（3） 4_。分析：（1）（4） 2表示两个4 相乘，4 2表示 42的相反数，即4 2（44）16； （2）（4） 2表示4 的平方的相反数，即（4）（4）16，（4 2）表示 4 的平方的相反数的相反数，即（4 2）4 24416； （4）（2） 5表示 5 个2 相乘，由符号法则知，结果为负，即（2） 5-32，（-3） 4表示 4 个3 相乘，由符号法则知，结
6、果为正，即（3） 481。解：（1）16，16 （2）16，16 （4）32，81评析：有理数的乘方是转化为乘法进行计算的，在计算时，一定要分清幂的底数，如：（4） 2的底数是4，4 2的底数是 4，4 2的意义是“4 的平方的相反数”。例 2. 计算：（1） （2）（0.75） 3；（3）（1） 101。分析：把带分数转化成假分数，小数化为分数，再根据乘方的意义与乘方运算的符号法则进行计算。分析：有理数的混合运算顺序是：先算乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的运算。 解：评析：本例题主要考查有理数混合运算的运算顺序，以及符号的确定方法。例 4. “嫦蛾一号”第一次入轨运行的椭圆轨道
7、如图所示，其中黑色圆圈表示地球，其半径R6371 km，A 是近地点，距地球 205km，B 是远地点，距地球 50930km（已知地心，近地点，远地点在一条直线上），则 AB_ km（用科学计数法表示）。分析：AB205263715093063877（ km），我们可按科学记数法的表示方法来表示。事实上，a6.3877，然后看小数点向左移动了几位，那么 n 即为几。解：6.387710 4评析：用科学记数法表示一个数时，10 的指数 n 等于原数化为 a 时小数点移动的位数， n 比原数的整数位数小 1。例 5. 下列说法中正确的是（ ）A. 近似数 1.70 与近似数 1.7 的精确度相同
8、B. 近似数 5 百与近似数 500 的精确度相同C. 近似数 4.70104是精确到百位的数，它有三个有效数字 4、7、0D. 近似数 24.30 是精确到十分位的数，它有三个有效数字 2、4、3分析：近似数 1.70 精确到 0.01，1.7 精确到 0.1，故 A 错；近似数 5 百精确到百位，近似数 500 精确到个位，故 B 错；近似数 4.70104的有效数字只与 4.70 有关，与 104无关，它有三个有效数字 4、7、0。精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定，而 4.7010447000，本题中有效数字 0 在 47000 中处在百位，故精确到百位，C 对
9、；近似数 24.30 精确到百分位，故 D 错。解：C评析：（1）计算有效数字的个数时，抠住有效数字的意义，从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位止，中间所有的数字，包括 0，重复的数字都不能漏掉。（2）近似数后面有单位时，如百、千、万，还有用科学记数法表示的数，其有效数字与单位无关，而精确度应该与单位统一起来考虑。例 6. 观察下列算式：313 3 29 3 327 3 48135243 3 6729 3 72187 3 86551 通过观察，用你发现的规律，判断出 3101的末位数字是_。分析：通过观察，3 n每循环 4 次，末位数字（个位）就出现周期变化。当 n4 k1 时，3
10、4k1 的个位数为 3当 n4 k2 时，3 4k2 的个位数为 9当 n4 k3 时，3 4k3 的个位数为 7当 n4 k 时，3 4k的个位数为 1而 1014251，于是 3101的末位数是 3。解：3评析：由特殊到一般发现规律后，再去解决特殊的情形，这种对比发现，归纳的方法是一种学习数学的常见的思维技巧，请同学们一定要多体会、多摸索。【方法总结】1. 掌握有理数混合运算的顺序。2. 归纳、猜想型问题的解决步骤：将问题抽象为数学问题从特例入手对比分析归纳出一般性的结论用这个一般性的结论去解决实际问题。【模拟试题】（答题时间：45 分钟）一. 选择题1. 下列说法正确的是（ ）A. 2
11、3的底数是2 B. 23 2的底数是 234. （2007 年辽宁）在“2008 北京”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为 4.6108帕的钢材，那么 4.6108的原数为（ ）A. 4600000 B. 46000000 C. 460000000 D. 46000000005. 一个数的平方等于它本身，则这个数一定是（ ）A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 1 6. 一个数的立方等于它本身，则这个数是（ ）A. 1,1 B. 1,0 C. 0,1 D. 1,1,07. 下列各式计算不正确的是（ ）A. （1） 2008（1） 200
12、90 B. 242 338. a 是最大的负整数， b 是绝对值最小的有理数，9. 3 月 5 日，温家宝总理在政府工作报告中，讲述了六大民生新亮点，其中之一就是全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约 52000000 名学生的学杂费，这个数据用科学记数法表示为（保留两个有效数字）（ ）A. 52107 B. 5.2107 C. 5.2108 D. 5210810.观察下列算式：2 12，2 24，2 38，2 416，2 532，2 664，2 7128，2 8256通过观察，用你所发现的规律写出 811的末位数字是（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8二. 填空题1. 在
13、（2） 3中，底数是_，指数是_。2. （） 10表示的意义是_。3. 用“”号把数：（5），3，0,1 10,（1） 2连接起来：_。4.吉林省全面实施义务教育经费保障机制，全部免除农村约 2320000 名学生的学杂费，2320000 名用科学记数法表示为_名。5.把 12500 取两个有效数字的近似数用科学记数法表示为_。6.已知 an（1） n1，当 n1 时， a10；当 n2 时， a22；当 n3 时， a30； 则a1 a2 a3 a4 a5 a6的值为_。7. 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次就把这根很粗的面条拉成了许多细的
14、面条。这样捏合到第_次后可拉出 128 根细面条。8. 1883 年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集，从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段. 无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集。下图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为_。三. 解答题1. 计算：（1）（1）（1）1 4（2）（3）（2） 3（6） 2（ ）（3）（1） 25（1）5 21 25（15） 22. 计算：3. 猜猜我是谁：（1）“我的平方是我本身，谁与我相乘却都是一个定值。”（2）“我
15、的绝对值和我的倒数是同一个数。”（3）“我除以2 的商，等于 3 与（6）的积。”4. 用四舍五入法写出下列各数的近似数：（1）2.458（精确到 0.01）（2）0.02664（精确到 0.001）（3）27.98（精确到十分位）（4）316.49（精确到个位）（5）380290040（保留三个有效数字）5. 地球上的海洋面积约为 3.6108平方千米，请问 3.6108表示的原数是什么？6. 按要求求 1295330000 的近似数，并指出其有效数字的个数。（1）精确到百万位；（2）精确到亿位。四. 用简便方法计算：123456782005200620072008五. 探索题问题：你能很快
16、算出 19952吗？为了解决这个问题，我们考虑个位上的数字为 5 的自然数的平方，任意一个个位数是 5 的自然数的平方可写成（10 n5） 2的值（ n 为自然数）。请你试着分析 n1， n2， n3，这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）。（1）通过计算，探索规律：152225 可写成 1001（11）25，252625 可写成 1002（21）25，3521225 可写成 1003（31）25，4522025 可写成 1004（41）25，7525625 可写成_，8527225 可写成_。（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得：（10 n5） 2
17、_。（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：1995 2_。【试题答案】一. 选择题1. C 2. B 3. B 4. C 5. C 6. D 7. D 8. A 9. B 10. D二. 填空题 1. 2，3 2. 3. 31 100（1） 2（5）4. 2.32106 5. 1.3104 6. 6 7. 7 8. 三. 解答题1. （1）原式1（2）原式24420（3）原式52552503. （1）0 （2）1 （3）根据题意得：3（6）（2）364. （1）2.46 （2）0.027 （3）28.0 （4）316 （5）3.8010 85. 3600000006. （1）1.29510 9，有 4 个有效数字 （2）13 亿，有 2 个有效数字四. 原式（4）（4）（4）（4）5022008五. 75 25625 可写成：1007（71）258527225 可写成：1008（81）25（10 n5） 2100 n（ n1）2519952100199200253980025
