1、4.3 解直角三角形教学教学目标【知识与技能】使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形【过程与方法】通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力【情感态度】渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯【教学重点】直角三角形的解法【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用教学过程一、情景导入，初步认知1.什么是锐角三角函数？2.你知道哪些特殊的锐角三角函数值？【教学说明】通过复习，使学生便于应用二、思考探究，获取新知1在三角形中共有几个元素？2直角三角形 ABC
2、 中，C=90，a、b、c、A、B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边、角之间的关系：sinA=A 的对边/斜边 cosA=A 的邻边/斜边 tanA=A 的对边/A 的邻边(2)三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理) (3)锐角之间的关系：A+B=903.做一做：在直角三角形 ABC 中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？4.做一做：在直角三角形 ABC 中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？5.想一想：在直角三角形 ABC 中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？6.如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，a=5.求B、b、c.
3、解：B=90-A=60，又tanB=b/a，b=atanB=5tan60=5 .3sinA=a/c，c=a/sinA=5/sin30=10.【归纳结论】像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.7.在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边.【教学说明】我们已掌握 RtABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情三、运用新知，深化理解1.见教材 P122例 2 .2.已知
4、在ABC 中，C 为直角，A、B、C 所对的边分别为a、b、c，c 8 ，A60，求B、a、b3解：acsin608 /212，3bccos608 1/24 ，B30.3.已知在ABC 中，C 为直角，A、B、C 所对的边分别为a、b、c，a3 ， A30，求B、b、c.6解：B9030 60，batanB3 392，.4.已知在ABC 中，C 为直角，A、B、C 所对的边分别为a、b、c，c -2，a 1 ， 求A、B、 b.635.已知在ABC 中，C 为直角，A、B、C 所对的边分别为a、b、c，a6，b2 ，求 A、B、c.3解：由于 tanAab，所以则A60，B906030，且有
5、c2b22 4 .36.在直角三角形 ABC 中，锐角 A 为 30，锐角 B 的平分线 BD 的长为 8cm，求这个三角形的三条边的长解：由已知可得BCD 是含 30的直角三角形，所以 CD1/2BD1/2 84 （cm） ，ADB 是等腰三角形，所以 ADBD8（cm） ，则有 AC8412（cm） ，BCACcot60 1233=43（cm） ，AB(43)2+122=48+144=83(cm).7.如图，在三角形纸片 ABC 中，C=90，AC=6，折叠该纸片，使点 C 落在 AB 边上的 D 点处，折痕 BE 与 AC 交于点 E，若 AD=BD，则折痕 BE 的长为多少？分析：先根
6、据图形翻折变换的性质得出 BC=BD，BDE=C=90，再根据AD=BD 可知 AB=2BC，AE=BE，故A=30，由锐角三角函数的定义可求出 BC 的长，设 BE=x，则 CE=6-x，在 RtBCE 中根据勾股定理即可得出 BE 的长.解：BDE 是由BCE 翻折而成，BC=BD，BDE=C=90，AD=BD，AB=2BC，AE=BE，A=30，在 RtABC 中，AC=6，设 BE=x，则 CE=6-x，在 RtBCE 中，BC=2 ，BE=x，CE=6-x，BE 2=CE2+BC2,3x 2=（6-x） 2+（2 ） 2，解得 x=4即 BE=4【教学说明】解直角三角形是解实际应用题
7、的基础，因此必须使学生熟练掌握为此，教材配备了针对各种条件的练习，培养学生熟练解直角三角形和运算的能力四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题 4.3”中第 1、3、4 题.教学反思解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演第 1 课时 俯角和仰角问题教学目标【知识与技能】比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.【
8、过程与方法】通过学习进一步掌握解直角三角形的方法.【情感态度】培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.【教学难点】选用恰当的直角三角形，分析解题思路.一、情景导入，初步认知海中有一个小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55的 B 处，往东行驶 20 海里后，到达该岛的南偏西 25的 C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用.二、思考探
9、究，获取新知1.某探险者某天到达如图所示的点 A 处，他准备估算出离他的目的地海拔为 3500m 的山峰顶点 B 处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？分析：如图，BD 表示点 B 的海拔，AE 表示点 A 的海拔，ACBD,垂足为点C.先测量出海拔 AE，再测出仰角BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出 A、B 之间的水平距离 AC.【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角2.如图，在离上海东方明珠塔底部 1000m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角为 25，仪器距地面高为 1.7m.求上海东方明珠塔的高度.（结
10、果精确到 1m)解：在 RtABC 中，BAC=25，AC=1000m，因此tan25=BC/AC=BC/1000BC=1000tan25466.3(m),上海东方明珠塔的高度（约）为 466.3+1.7=468 米.【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题.三、运用新知，深化理解1.如图，某飞机于空中 A 处探测到目标 C，此时飞行高度 AC=1200 米，从飞机上看地平面控制点 B 的俯角 =1631，求飞机 A 到控制点 B 的距离.(精确到 1 米)分析：利用正弦可求.解：在 RtABC 中 sinB=
11、AC/ABAB=AC/sinB=1200/0.28434221(米)答：飞机 A 到控制点 B 的距离约为 4221 米2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30，看这栋高楼底部的俯角为 60，热气球与高楼的水平距离为 120 m.这栋高楼有多高(结果精确到 0.1m)?解析：在 RtABD 中，=30，AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出 BD;类似地可以求出 CD，进而求出 BC.解:如图,=30，=60,AD=120.答:这栋高楼约高 277.1m.3.如图，在离树 BC12 米的 A 处，用测角仪测得树顶的仰角是 30，测角仪 AD 高为 1.5 米，求树
12、高 BC(计算结果可保留根号)分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点 D 作 DEBC 于 E，把求CB 的问题转化求 BE 的长，从而可以在BDE 中利用三角函数解：过点 D 作 DEBC 于 E，则四边形 DECA 是矩形，DE=AC=12 米CE=AD=1.5 米在直角BED 中，BDE=30，4.广场上有一个充满氢气的气球 P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在 E、F 处，他们看气球的仰角分别是 30、45，E 点与 F 点的高度差AB 为 1 米，水平距离 CD 为 5 米，FD 的高度为 0.5 米，请问此气球有多高？(结果保留到 0.1 米)分析：由于气球的高度为 P
13、A+AB+FD，而 AB=1 米，FD=0.5 米，故可设 PA=h米，根据题意，列出关于 h 的方程可求解解：设 AP=h 米，PFB=45，BF=PB=（h+1）米，EA=BF+CD=h+1+5=（h+6）米，在 RtPEA 中，PA=AEtan30，h=（h+6）tan30，气球的高度约为 PA+AB+FD=8.2+1+0.5=9.7 米【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题
14、 4.4”中第 2、4、5 题.教学反思本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决.第 2 课时 坡度和方位角问题教学目标【知识与技能】1.了解测量中坡度、坡角的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.【过程与方法】通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.【情感态度】进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题.【教学难点】能利用
15、解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.教学过程一、情景导入，初步认知如图所示，斜坡 AB 和斜坡 A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡 A1B1的倾斜程度比较大，说明A 1A.即 tanA1tanA.【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1坡度的概念，坡度与坡角的关系.如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作 i，即 iAC/BC，坡度通常用 lm 的形式，例如上图中的 12 的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作 .从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是 itanB
16、，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.2.如图，一山坡的坡度为 i12,小刚从山脚 A 出发，沿山坡向上走了240 米到达点 C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01，长度精确到 0.1 米）3.如图，一艘船以 40km/h 的速度向正东航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东60方向上，继续航行 1h 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30方向上，已知在灯塔 C 的四周 30km 内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成.三、运
17、用新知，深化理解1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是 5.5m，测得斜坡的倾斜角是 24，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到 0.1m)分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形解：已知：在 RtABC 中，C=90，AC=5.5，A=24，求 AB在 RtABC 中，cosA=AC/AB,AB=AC/cosA=5.5/0.91356.0（米）答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是 6.0 米2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m，坝高 23m，斜坡 AB 的坡度i=13，斜坡 CD 的坡度 i
18、=12.5，求斜坡 AB 的坡面角 ，坝底宽 AD 和斜坡AB 的长(精确到 0.1m)解：作 BEAD，CFAD，在 RtABE 和 RtCDF 中，BE/AE=1/3,CF/FD=1/2.5 AE=3BE=323=69(m)FD=2.5CF=2.523=57.5(m)AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)因为斜坡 AB 的坡度 itan1/30.3333，所以 1826.BE/AB=sin，AB=BE/sin=23/0.316272.7（m）.答：斜坡 AB 的坡角 约为 1826，坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为 72.7 米3.庞亮和李强相约
19、周六去登山，庞亮从北坡山脚 C 处出发，以 24 米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚 B 处出发如图，已知小山北坡的坡度i=1 ，山坡长为 240 米，南坡的坡角是 45问李强以什么速度攀登才能3和庞亮同时到达山顶 A？（将山路 AB、AC 看成线段，结果保留根号）解：过点 A 作 ADBC 于点 D，答：李强以 12 米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶 A24.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB 表示楼梯，BC 表示平台，CD 表示滑道若点 E，F 均在线段 AD 上，四边形 BCEF 是矩形，且sinBAF=2/3，BF=3 米，BC=1 米，CD=6 米求：(1) D 的度
20、数；(2)线段 AE 的长解：（1）四边形 BCEF 是矩形，BFE=CEF=90，CE=BF，BC=FE，BFA=CED=90，CE=BF，BF=3 米，CE=3 米，CD=6 米，CED=90，D=30.（2）sinBAF=2/3， BFAB=2/3，BF=3 米，AB=92 米，.5.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估如图，上午 9 时，海检船位于 A 处，观测到某港口城市 P 位于海检船的北偏西 67.5方向，海检船以 21海里/时 的速度向正北方向
21、行驶，下午 2 时海检船到达 B 处，这时观察到城市P 位于海检船的南偏西 36.9方向，求此时海检船所在 B 处与城市 P 的距离.(参考数据：sin36.935，tan36.934，sin67.51213，tan67.5125)分析：过点 P 作 PCAB，构造直角三角形，设 PC=x 海里，用含有 x 的式子表示 AC，BC 的值，从而求出 x 的值，再根据三角函数值求出 BP 的值即可解答解：过点 P 作 PCAB，垂足为 C，设 PC=x 海里.在 RtAPC 中，tanA=PCAC，AC=PC/tan67.5=5x/12在 RtPCB 中，tanB=PC/BC，BC=x/tan36
22、.9=4x/3从上午 9 时到下午 2 时要经过五个小时,AC+BC=AB=215，5x/12+4x/3=215，解得 x=60.sinB=PC/PB，PB=PC/sinB=60sin36.9=605/3=100（海里）海检船所在 B 处与城市 P 的距离为 100 海里【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题 4.1”中第 1、6、7 题.教学反思通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.
