1、习题课 数学归纳法明目标、知重点1进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题2掌握证明 nk1 成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等1归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明2数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数 n 有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步递推归纳时，从 nk 到 nk1 必须用上归纳假设题型一 用数学归纳法证明不等
2、式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由 nk 到 nk1 时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明 nk1 时的结论例 1 已知数列b n的通项公式为 bn2n，求证：对任意的 nN *，不等式 b1 1b1 b2 1b2 都成立bn 1bn n 1证明 由 bn2n，得 ，bn 1bn 2n 12n所以 .b1 1b1 b2 1b2 bn 1bn 325476 2n 12n下面用数学归纳法证明不等式 成立b1 1b1 b2 1b2 bn 1bn 325476 2n 12n n 1(1)当 n1 时，左边
3、 ，右边 ，因为 ，所以不等式成立32 2 32 2(2)假设当 nk(k1 且 kN *)时不等式成立，即 成立b1 1b1 b2 1b2 bk 1bk 325476 2k 12k k 1则当 nk1 时，左边 b1 1b1 b2 1b2 bk 1bk bk 1 1bk 1 325476 2k 12k 2k 32k 2 k 12k 32k 2 2k 324k 1 4k2 12k 94k 1 4k2 12k 84k 1 4k2 3k 24k 14k 1k 24k 1 .k 2 k 1 1所以当 nk1 时，不等式也成立由(1)、(2)可得不等式 对任意的 nN *都成b1 1b1 b2 1b2
4、 bn 1bn 325476 2n 12n n 1立反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用跟踪训练 1 用数学归纳法证明 2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何 k 条直线交点个数f(k) k(k1) ，12那么，当 nk1 时，任取一条直线 l，除 l 以外其他 k 条直线交点个数为f(k) k(k1) ，12l 与其他 k 条直线交点个数为 k，从而 k1 条直线共有 f(k)k 个交点，即 f(k 1)f(k )k k(k1)k12 k(k12)12 k(k1) (k1)(k1) 1 ，12 12当 nk
5、1 时，命题成立由(1)(2)可知，对任意 nN *(n2) 命题都成立反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明跟踪训练 3 有 n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成 f(n)n 2n2 部分证明 (1)n1 时，分为 2 块，f(1)2，命题成立；(2)假设 nk(kN *)时，被分成 f(k)k 2k 2 部分；那么当 nk1 时，依题意，第 k1 个圆与前 k 个圆产生 2k 个交点，第 k1 个圆被截为 2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了 2k 个区域f(k 1
6、)f(k)2kk 2k 22k(k1) 2(k 1)2，即 nk1 时命题成立，由(1)(2)知命题成立呈重点、现规律1数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等2证明问题的初始值 n0 不一定，可根据题目要求和问题实际确定 n0.3从 nk 到 nk 1 要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1用数学归纳法证明等式 123(n3) (nN *)，验证 n1 时，左n 3n 42边应取的项是( )A1 B12C123 D1234答案 D解析 等式左边的数是从 1 加到 n3.当 n1 时，n34，故此时左边的数为从
7、 1 加到 4.2用数学归纳法证明“2 nn21 对于 nn 0 的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取( )A2 B3C5 D6答案 C解析 当 n 取 1、2、3、4 时 2nn21 不成立，当 n5 时，2 5325 2126，第一个能使2nn21 的 n 值为 5，故选 C.3已知 f(n) 1 (nN *)，证明不等式 f(2n) 时，f(2 k1 )比 f(2k)多的项数是( )12 13 1n n2A2 k 1 项 B2 k1 项C2 k项 D以上都不对答案 C解析 观察 f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)1 ，12 12k而 f(2k1
8、 )1 .12 12k 12k 1 12k 2 12k 2k因此 f(2k1 )比 f(2k)多了 2k项4用数学归纳法证明不等式 (nN *)的过程中，由 nk 递推到1n 1 1n 2 12n1124nk1 时，下列说法正确的是( )A增加了一项12k 1B增加了两项 和12k 1 12k 1C增加了 B 中的两项，但又减少了一项1k 1D增加了 A 中的一项，但又减少了一项1k 1答案 C解析 当 nk 时，不等式左边为 ，1k 1 1k 2 12k当 nk1 时，不等式左边为 ，故选 C.1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 25用数学归纳法证明“n 3(n1) 3(n2)
9、3(nN *)能被 9 整除” ，要利用归纳假设证nk1 时的情况，只需展开( )A(k 3)3 B(k2) 3C(k1) 3 D( k1) 3(k 2)3答案 A解析 假设当 nk 时，原式能被 9 整除，即 k3(k1) 3 (k2) 3 能被 9 整除当 nk1 时，( k1) 3( k 2)3(k3) 3 为了能用上面的归纳假设，只需将( k3) 3 展开，让其出现 k3 即可6已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a11，S nn 2an (nN *)依次计算出 S1，S 2，S 3，S 4后，可猜想 Sn的表达式为_答案 S n2nn 1解析 S 11，S 2 ，S 3 ，S
10、4 ，43 32 64 85猜想 Sn .2nn 17已知正数数列a n(nN *)中，前 n 项和为 Sn，且 2Sna n ，用数学归纳法证明：a n1an .n n 1证明 (1)当 n1 时，a 1S 1 (a1 )，12 1a1a 1(a n0)，21a 11，又 1，n1 时，结论成立1 0(2)假设 nk(kN *)时，结论成立，即 ak .k k 1当 nk1 时，a k1 S k1 S k (ak1 ) (ak )12 1ak 1 12 1ak (ak1 ) ( )12 1ak 1 12 k k 1 1k k 1 (ak1 ) .12 1ak 1 ka 2 ak1 10，解得
11、 ak1 (an0)，2k 1 k k 1 knk1 时，结论成立由(1)(2)可知，对 nN *都有 an .n n 1二、能力提升8对于不等式 n1 (nN *)，某学生的证明过程如下：当 n1 时，n2 n11，不等式成立12 1假设 nk (nN *)时，不等式成立，即 k1，则 nk 1 时， k2 k k 12 k 1 .假设 nk 时，不等式成立则当122 132 1n 1212 1n 2nk1 时，应推证的目标不等式是_答案 122 132 1k2 1k 12 1k 2212 1k 3解析 观察不等式中的分母变化知， .122 132 1k2 1k 12 1k 2212 1k
12、310证明：6 2n1 1 能被 7 整除(nN *)证明 (1)当 n1 时，6 21 17 能被 7 整除(2)假设当 nk(kN *)时，6 2k1 1 能被 7 整除那么当 nk1 时，6 2(k1)1 16 2k12 136(6 2k1 1)35.6 2k1 1 能被 7 整除，35 也能被 7 整除，当 nk1 时，6 2(k1)1 1 能被 7 整除由(1)，(2)知命题成立11求证： (n2，nN *)1n 1 1n 2 13n56证明 (1)当 n2 时，左边 ，13 14 15 1656不等式成立(2)假设当 nk(k2，kN *)时命题成立，即 .1k 1 1k 2 13
13、k56则当 nk1 时， ( 1k 1 1 1k 1 2 13k 13k 1 13k 2 13k 1 1k 1 1k 2 13k 13k 1 ) ( ) (3 ) ，13k 2 13k 3 1k 1 56 13k 1 13k 2 13k 3 1k 1 56 13k 3 1k 1 56所以当 nk1 时不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切 n2，nN *均成立12已知数列a n中，a 1 ，其前 n 项和 Sn满足 an Sn 2(n2)，计算23 1SnS1，S 2，S 3，S 4，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明解 当 n2 时，a nS nS n1 S n 2.1Sn
14、S n (n2)1Sn 1 2则有：S 1a 1 ，23S2 ，1S1 2 34S3 ，1S2 2 45S4 ，1S3 2 56由此猜想：S n (nN *)n 1n 2用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，S 1 a 1，猜想成立23(2)假设 nk(kN *)猜想成立，即 Sk 成立，k 1k 2那么 nk1 时，S k1 1Sk 21 k 1k 2 2 .k 2k 3 k 1 1k 1 2即 nk1 时猜想成立由(1)(2)可知，对任意正整数 n，猜想结论均成立三、探究与拓展13已知递增等差数列a n满足：a 11，且 a1，a 2，a 4 成等比数列(1)求数列a n的通项公式 an；
15、(2)若不等式(1 )(1 )(1 ) 对任意 nN *，试猜想出实数 m 的最小12a1 12a2 12an m2an 1值，并证明解 (1)设数列a n公差为 d(d0)，由题意可知 a1a4a ，即 1(13d)(1 d) 2，2解得 d1 或 d0(舍去)所以 an1(n1)1n.(2)不等式等价于 ，123456 2n 12n m2n 1当 n1 时，m ；当 n2 时，m ；32 358而 ，所以猜想， m 的最小值为 .32 358 32下面证不等式 对任意 nN *恒成立123456 2n 12n 322n 1下面用数学归纳法证明：证明 (1)当 n1 时， ，命题成立12 323 12(2)假设当 nk 时，不等式， 成立，123456 2k 12k 322k 1当 nk1 时， ，123456 2k 12k 2k 12k 2 322k 12k 12k 2只要证 ，322k 12k 12k 2322k 3只要证 ，只要证 2k2，2k 12k 2 12k 3 2k 12k 3只要证 4k28k34k 28k4，只要证 34，显然成立所以，对任意 nN *，不等式 恒成立123456 2n 12n 322n 1
