1、第二章 2.3一、选择题1(2015海南市文昌中学高二期中) 用数学归纳法证明 1(nN )，在验证 n1 时，左边的代数式为( )1n 1 1n 2 13n 1A. B. 12 13 14 12 13C. D112答案 A解析 在 1(nN )中，1n 1 1n 2 13n 1当 n1 时，3n14，故 n1 时，等式左边的项为： ，12 13 14故选 A.2(2015郑州市登封高二期中) 用数学归纳法证明1aa 2a n1 (nN *，a1)，在验证 n1 时，左边所得的项为( )1 an 21 aA1 B1aa 2C1a D1aa 2a 3答案 B解析 因为当 n1 时，a n1 a
2、2，所以此时式子左边 1aa 2.故应选 B.3(2015承德市存瑞中学高二期中) 用数学归纳法证明 123 25 2(2n1)2 n(4n21) 过程中，由 nk 递推到 nk 1 时，不等式左边增加的项为( )13A(2k) 2 B(2k3) 2C(2k2) 2 D(2 k1) 2答案 D解析 用数学归纳法证明 123 25 2(2n1) 2 n(4n21)的过程中，13第二步，假设 nk 时等式成立，即 123 25 2(2k1) 2 k(4k21) ，13那么，当 nk1 时，1 23 25 2(2k1) 2(2 k1) 2 k(4k21)(2 k1) 2，13等式左边增加的项是(2k
3、1) 2，故选 D.4对于不等式 n1(nN )，某学生的证明过程如下：n2 n(1)当 n1 时， 11，不等式成立12 1(2)假设 nk(kN )时，不等式成立，即 n2 Bn3 时，2 nn2Cn4 时，2 nn2 Dn5 时，2 nn2答案 D解析 当 n1 时，2 112，即 2nn2；当 n2 时，2 22 2，即 2nn 2；当 n3 时，2 352，即 2nn2；当 n6 时，2 662，即 2nn2；猜想当 n5 时，2 nn2；下面我们用数学归纳法证明猜测成立，(1)当 n5 时，由以上可知猜想成立，(2)设 nk(k5)时，命题成立，即 2kk2，当 nk1 时，2 k
4、1 22 k2k2k 2k 2k2(2 k1) (k 1)2，即 nk1 时，命题成立，由(1)和(2)可得 n5 时，2 nn2；故当 n2 或 4 时，2 nn 2；n3 时，2 nn2.故选 D.点评 此题考查的知识点是整数问题的综合应用，解答此题的关键是从特例入手猜测探究，然后用数学归纳法证明猜测成立12设凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k1 边形的内角和 f(k1)f(k) _.( )A2 BC. D2 3答案 B解析 将 k1 边形 A1A2AkAk1 的顶点 A1 与 Ak相连，则原多边形被分割为 k 边形 A1A2Ak与三角形 A1AkAk1 ，其内角和 f(k1)是k
5、 边形的内角和 f(k)与A 1AkAk1 的内角和 的和，故选 B.13(20142015揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n 3(n1) 3(n2) 3(nN *)能被 9 整除” ，要利用归纳假设证 nk1 时的情况，只需展开( )A(k 3)3 B(k2) 3C(k1) 3 D( k1) 3(k 2) 3答案 A解析 因为从 nk 到 nk1 的过渡，增加了( k1) 3，减少了 k3，故利用归纳假设，只需将( k3) 3 展开，证明余下的项 9k227k27 能被 9 整除14(2014合肥一六八中高二期中) 观察下列各式：已知ab1，a 2b 23，a 3b 34，a 4b 47
6、，a 5b 511，则归纳猜测 a7b 7( )A26 B27C28 D29答案 D解析 观察发现，134,347,4711,71118,11 1829，a 7b 729.二、填空题15用数学归纳法证明“2 n1 n 2n2(nN *)”时，第一步的验证为_答案 当 n1 时，左边4，右边4，左右，不等式成立解析 当 n1 时，左右，不等式成立，nN *，第一步的验证为 n1 的情形16对任意 nN *,34n2 a 2n1 都能被 14 整除，则最小的自然数a_.答案 5解析 当 n1 时，3 6a 3 能被 14 整除的数为 a3 或 5，当 a3 时且 n3 时，3103 5 不能被 1
7、4 整除，故 a5.三、解答题17在平面内有 n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点求证：这 n 条直线将它们所在的平面分成 个区域n2 n 22证明 (1)n2 时，两条直线相交把平面分成 4 个区域，命题成立(2)假设当 nk(k2)时，k 条直线将平面分成 块不同的区域，命题成立k2 k 22当 nk1 时，设其中的一条直线为 l，其余 k 条直线将平面分成 块区域，直k2 k 22线 l 与其余 k 条直线相交，得到 k 个不同的交点，这 k 个点将 l 分成 k1 段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域 k1 块从而 k1 条直线将平面分成 k1
8、 块区域k2 k 22 k 12 k 1 22所以 nk1 时命题也成立由(1)(2)可知，原命题成立18(1)用数学归纳法证明：122 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 (nN *)nn 12(2)求证：1 22 23 24 2(2 n1) 2(2n) 2n(2n1)(nN *)解析 (1)当 n1 时，左边1 21，右边(1) 0 1，11 12左边右边，等式成立假设 nk(kN *)时，等式成立，即122 23 24 2(1) k1 k2(1) k1 .kk 12则当 nk1 时，122 23 24 2(1) k1 k2(1) k(k1) 2(1) k1 ( 1) k(k1) 2kk 12(1) k(k1) (1) k .k 1 k2 k 1k 1 12当 nk1 时，等式也成立，根据、可知，对于任何 nN *等式成立(2)n1 时，左边1 22 23，右边3，等式成立假设 nk 时，等式成立，即 122 23 24 2(2k 1)2(2k) 2k(2k1) 2.当 nk1 时，1 22 23 24 2(2k1) 2(2 k)2(2k1) 2(2 k2) 2k(2k 1)(2k 1)2(2k 2) 2k(2 k1)(4 k3)(2k 25k 3)(k1)2(k1)1 ，所以nk1 时，等式也成立由得，等式对任何 nN *都成立
