1、第 21 课时 求函数零点近似值的一种计算方法二分法课时目标1.理解变号零点和不变号零点的概念2掌握函数零点存在的判定方法3能够正确利用二分法求函数零点的近似值识记强化1给定精确度 ，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：给定精确度 ，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间a， b，验证 f(a)f(b)0，给定精确度 ；(2)求区间(a，b )的中点 x1；(3)计算 f(x1)；若 f(x1)0，则 x1 就是函数的零点；若 f(a)f(x1)0，则令 bx 1(此时零点 x0( a，x 1)；若 f(x1)f(b)0，则令 ax 1(此时零点 x0( x1，
2、b) (4)判断是否达到精确度 ，即若| ab|，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复(2)(4)课时作业(时间：45 分钟，满分：90 分 )一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1用二分法求函数 f(x)x 32 的零点时，初始区间可选为 ( )A(0,1) B (1,2)C(2,3) D (3,4)答案：B解析：f(1)1，f(2) 6，f (1)f(2)0，故选 B.2对于定义在 R 上的函数 yf(x)，若 f(m)f(n)0( m，n R ，且 mn)，则函数yf (x)在 (m，n )内( )A只有一个零点B至少有一个零点C无零点D无法确定有无零点答案
3、：D解析：对于条件 f(m)f(n)0(m ，nR，且 mn)，根据下列三种函数图象可知 D 正确3用二分法求如图所示的函数 f(x)的零点时，不可能求出的零点是 ( )Ax 1 Bx 2Cx 3 Dx 4答案：C解析：能用二分法求零点的函数必须满足在区间a，b 上连续不断，且 f(a)f(b)0.而x3 两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选 C.4用二分法求方程 x33x 70 在(1,2)内的近似解的过程中，设函数 f(x)x 33x7，算得 f(1)0， f(1.25)0，f(1.5)0，f (1.75)0，则该方程的一个根落在区间( )A(1,1.25)内
4、B(1.25,1.5)内C(1.5,1.75) 内 D(1.75,2)内答案：B解析：由 f(1.25)0，f(1.5) 0，得 f(1.25)f(1.5)0，所以函数 f(x)的一个零点x0(1.25,1.5)，即方程 x33x70 的一个根落在区间(1.25,1.5)内5已知函数 yf( x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6y 123.56 21.45 7.82 11.45 53.76 128.88则函数 yf(x) 在区间1,6上的零点至少有( )A2 个 B3 个C4 个 D5 个答案：B解析：由表，可知 f(2)f(3)0，f (3)f(4)0，f (
5、4)f(5)0.由变号零点的性质，得函数yf (x)在区间 (2,3)，(3,4) ，(4,5)内各应至少存在 1 个零点，所以函数 yf(x)在区间1,6 上的零点至少有 3 个6函数 f(x)x 32x 23x 6 在区间 2,4上的零点必定在 ( )A2,1 B.52，4C. D.1，74 74，52答案：D解析：f 0， f 0.(74) (52)在 内存在零点74，52二、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分)7用二分法求函数 yf( x)在区间(2,4)上的近似解，验证 f(2)f(4)0，给定精确度 0.01，取区间(2,4) 的中点 x1 3，计算得 f(
6、2)f(x1)0，则此时零点2 42x0_.( 填区间)答案：(2,3)解析：f(2) f(x1)0 即 f(2)f(3)0，故零点 x0(2,3)8用二分法求方程 x32x 50 在区间(2,4)上的实数根时，取中点 x13，则下一个含有根的区间是_答案：(2,3)解析：令 f(x)x 32x 5，则 f(2)2 322510，f(3)3 3235160，故下一个含有根的区间为(2,3)9在 16 枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点) ，现在只有一台天平，若用二分法的思想，则最多称_次就可以发现这枚假币答案：4解析：将 16 枚金币均分成两份，放在天平两端，则假币一
7、定在较轻的 8 枚中；再将这8 枚均分成两份，则假币一定在较轻的 4 枚中，以此类推可得三、解答题(本大题共 4 小题，共 45 分)10(12 分) 证明：方程 x34 x20 在区间 2,0内至少有两个零点证明：设 f(x)x 34x 2，则 f(x)的图象是连续曲线，又 f(2)2 0，f(0)20，若取区间2,0内一点1，得 f(1)10，因此函数 f(x)满足 f(2)f(1) 0，f (1) f(0)0，即 f(x)在2，1、 1,0 内分别至少存在一个零点所以 f(x)在2,0内至少存在两个零点11(13 分) 已知函数 f(x)ax 32ax 3a4 在区间( 1,1)上有一个
8、零点(1)求实数 a 的取值范围；(2)若 a ，用二分法求方程 f(x)0 在区间( 1,1)上的根3217解：(1)若 a0，则 f(x)4，与题意不符，a0.由题意，得 f(1)f(1)8(a1)( a2)0，即Error!或Error!，1a2，故实数 a 的取值范围为(1,2)(2)若 a ，则 f(x) x3 x ，3217 3217 6417 2817f(1) 0，f(0) 0，f(1) 0，6017 2817 417函数 f(x)的零点在区间(0,1)上，又 f( )0，12方程 f(x)0 在区间(1,1)上的根为 .12能力提升12(5 分) 在用二分法求函数 f(x)的一
9、个正实数零点时，经计算，f(0.64)0，f (0.68)0，则函数 f(x)的一个正实数零点的初始区间为0.64,0.72，又 0.68(0.640.72)/2，且 f(0.68)0，所以一个正实数零点在区间 0.68,0.72上，且该区间的左、右端点精确到 0.1 所取的近似值都是 0.7，因此，0.7 就是所求函数的一个正实数零点的近似值13(15 分) 对于函数 f(x)，若存在 x0R ，使 f(x0)x 0 成立，则称 x0 为 f(x)的不动点已知 f(x)ax 2( t1)x( t1)(a0)(1)当 a1，t2 时，求 f(x)的不动点；(2)若对任意 tR ，函数 f(x)恒有两个相异的不动点，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a1，t 2 时，由 f(x)x 得 x23x1x，解得 x1.f(x)的不动点为1.(2)f(x) 恒有两个相异不动点，方程 ax2(t 1)x( t1)x 恒有不等两根，即方程 ax2tx(t1)0 有不等两根Error!对于一切 tR 恒成立 216 a216 a0，解得 0a1，实数 a 的取值范围是(0,1)
