1、1配餐作业(四十四)空间点、直线、平面之间的位置关系(时间：40 分钟)一、选择题1下列说法正确的是( )A若 a ， b ，则 a 与 b 是异面直线B若 a 与 b 异面， b 与 c 异面，则 a 与 c 异面C若 a， b 不同在平面 内，则 a 与 b 异面D若 a， b 不同在任何一个平面内，则 a 与 b 异面解析 由异面直线的定义可知。故选 D。答案 D2(2016山东高考)已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内。则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 若直线 a， b 相交
2、，设交点为 P，则 P a， P b。又 a ， b ，所以P ， P ，故 ， 相交。反之，若 ， 相交，则 a， b 可能相交，也可能异面或平行。故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件。故选A。答案 A3设 A、 B、 C、 D 是空间中四个不同的点，下列命题中，不正确的是( )A若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面B若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线C若 AB AC， DB DC，则 AD BCD若 AB AC， DB DC，则 AD BC解析 若 AB AC， DB DC， AD 不一定等于 BC，C 不正确。
3、故选 C。答案 C4若空间三条直线 a， b， c 满足 a b， b c，则直线 a 与 c( )A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交或异面都有可能2解析 当 a， b， c 共面时， a c；当 a， b， c 不共面时， a 与 c 可能异面也可能相交。故选 D。答案 D5空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形解析 顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形，又因为空间四边形的两条对角线互相垂直，所以平行四边形的两邻边互相垂直，故顺次连接四边中点的四边形一定是矩形。故选 B。答案 B6四棱锥 P ABCD
4、的所有侧棱长都为 ，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，则 CD 与5PA 所成角的余弦值为( )A. B.255 55C. D.45 35解析 因为四边形 ABCD 为正方形，故 CD AB，则 CD 与 PA 所成的角即为 AB 与 PA 所成的角，即为 PAB 或其补角。在 PAB 内， PB PA ， AB2，利用余弦定理可知 cos PAB 5PA2 AB2 PB22PAAB ，故选 B。5 4 5252 55答案 B二、填空题7给出下列命题，其中正确的命题有_。如果线段 AB 在平面 内，那么直线 AB 在平面 内；两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点 A， B， C
5、；若三条直线 a， b， c 互相平行且分别交直线 l 于 A， B， C 三点，则这四条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面；两组对边相等的四边形是平行四边形。解析 显然正确。若两平面有三个不共线的公共点，则这两平面重合，故不正确；三条直线两两相交于同一点时，三条直线不一定共面，故不正确；两组对边相等的四边形可能是空间四边形，不正确。答案 38如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB， CD， EF， GH 在原正方体中互为异面直线的对数为_。解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB， CD， EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD， EF
6、 与 GH， AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交， CD 与 GH 相交， CD 与 EF 平行。故互为异面的直线有且只有 3 对。答案 39设 a， b， c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题：若 a b， b c，则 a c；若 a b， b c，则 a c；若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若 a平面 ， b平面 ，则 a， b 一定是异面直线；若 a， b 与 c 成等角，则 a b。正确的命题是_(写出全部正确结论的序号)。解析 由公理 4 知正确；当 a b， b c 时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故不正确；当
7、a 与 b 相交， b 与 c 相交时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a ， b ，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内” ，故不正确；当 a， b 与 c 成等角时， a 与 b 可以相交、平行，也可以异面，故不正确。答案 三、解答题10.如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形， BAD FAB90， BC 綊 AD， BE 綊 FA， G， H 分别为 FA， FD 的中点。12 12(1)求证：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C， D， F， E 四点是否共面？为什么？解析 (1)证明：由题设知， FG
8、GA， FH HD，4所以 GH 綊 AD。又 BC 綊 AD，12 12故 GH 綊 BC。所以四边形 BCHG 是平行四边形。(2)C， D， F， E 四点共面。理由如下：由 BE 綊 FA， G 是 FA 的中点知， BE 綊 GF，12则四边形 BGFE 是平行四边形，所以 EF 綊 BG。由(1)知 BG CH，所以 EF CH，故 EC， FH 共面。又点 D 在直线 FH 上，所以 C， D， F， E 四点共面。答案 (1)见解析 (2)共面，理由见解析11.如图所示，在三棱锥 P ABC 中， PA平面 ABC， BAC60， PA AB AC2， E是 PC 的中点。(1
9、)求证： AE 与 PB 是异面直线；(2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值。解析 (1)证明：假设 AE 与 PB 共面，设此平面为 。 A ， B ， E ，平面 即为平面 ABE， P平面 ABE，显然这与 P平面 ABE 矛盾， AE 与 PB 是异面直线。(2)取 BC 的中点 F，连接 EF， AF，则 EF PB， AEF(或其补角)就是异面直线 AE 和PB 所成的角。 BAC60，PA AB AC2， PA平面 ABC， AF ， AE ， EF ，3 2 25cos AEF ，AE2 EF2 AF22AEEF 2 2 3222 14即异面直线 AE 和 PB 所成
10、角的余弦值为 。14答案 (1)见解析 (2)14(时间：20 分钟)1设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1， 和 a，且长为 a 的棱与长为 的棱异面，2 2则 a 的取值范围是( )A(0， ) B(0， )2 3C(1， ) D(1， )2 3解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为 a 的棱长一定大于 0且小于 。故选 A。2答案 A2过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，这样的直线 l 可以作( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析 如图，连接体对角线 AC1，显然 AC1与棱 AB
11、， AD， AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为。联想正方体的其他体对角线，如连接 BD1，则 BD1与棱 BC， BA， BB1所成的角都相等，2因为 BB1 AA1， BC AD，所以体对角线 BD1与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等。同理，体对角线 A1C， DB1也与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，过 A 点分别作 BD1， A1C， DB1的平行线都满足题意，故这样的直线 l 可以作 4 条。故选 D。答案 D3(2016浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD， AB BC3， CD1， AD ， ADC90。沿直线 AC 将 ACD 翻折成 ACD，直5线 A
12、C 与 BD所成角的余弦的最大值是_。6解析 作 BE AC， BE AC，连接 D E，则 D BE 为所求的角或其补角，作 D N AC于点 N，设 M 为 AC 的中点，连接 BM，则 BM AC，作 NF BM 交 BE 于 F，连接 D F，设 D NF ， D N ， BM FN ， D F2 5cos ， AC D N56 306 152 302 253， AC FN， D F AC， D F BE，又 BF MN ，在 Rt D FB 中，63D B295cos ，cos D BE ，当且仅当 0时取“” 。BFD B 639 5cos 66答案 664.如图，在四棱锥 P A
13、BCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， DAB60，对角线AC 与 BD 交于点 O， PO平面 ABCD， PB 与平面 ABCD 所成角为 60。(1)求四棱锥的体积；(2)若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值。解析 (1)在四棱锥 P ABCD 中， PO平面 ABCD， PBO 即为 PB 与平面 ABCD 所成的角，即 PBO60，在 Rt ABO 中， AB2， OAB30， BO1。 PO平面 ABCD， OB平面 ABCD， PO OB。在 Rt POB 中， PO BOtan60 ，3易知底面菱形的面积 S2 222 ，34 3四棱锥 P ABCD 的体积 VP ABCD 2 2。13 3 3(2)取 AB 的中点 F，连接 EF， DF，7 E 为 PB 中点， EF PA。 DEF 即为异面直线 DE 与 PA 所成的角(或其补角)。在 Rt AOB 中， AO OP，3 PA ， EF 。662易知 DF DE ，3cos DEFDE2 EF2 DF22DEEF ， 3 2 (62)2 3 22362 24即异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 。24答案 (1)四棱锥 P ABCD 的体积 VP ABCD2(2)异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为24
