1、1配餐作业(七十一)二项分布、正态分布及其应用(时间：40 分钟)一、选择题1周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为 0.60，则预估做对第二道题的概率为( )A0.80 B0.75C0.60 D0.48解析 记做对第一道题为事件 A，做对第二道题为事件 B，则 P(A)0.80， P(AB)0.60，因为做对第一道、第二道题这两个事件是相互独立的，所以 P(AB) P(A)P(B)，即 P(B) 0.75，故选 B。P ABP A 0.60.8答案 B2一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过 4 个有红绿灯的路口，假设在各路口是否遇到红
2、灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 2 min。则这位13家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率为( )A. B.13 227C. D.427 527解析 设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件 A，因为事件A 等于事件“这位家长送孩子在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，所以事件 A 的概率为 P(A) 。故选 C。(113) (1 13) 13 427答案 C3(2016河北名校模拟)从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1 个小球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为 ，从袋中随机摸出 1 个球，记
3、下颜色121316后放回，接连摸 3 次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为( )A. B.536 13C. D.512 12解析 所求问题的情况有两种：2 红 1 白，1 红 2 白，则所求概率PC 2C 2 。故选 C。1312 (13) 23 (12) 13 5122答案 C4(2016长春质检二)已知变量 X 服从正态分布 N(2,4)，下列概率与 P(X0)相等的是( )A P(X2) B P(X4)C P(0 X4) D1 P(X4)解析 由变量 X 服从正态分布 N(2,4)可知， x2 为该正态密度曲线的对称轴，因此P(X0) P(X4)。故选 B。答案 B5位于坐标原点的
4、一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 。质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率12是( )A. 5 BC 5(12) 25(12)CC 3 DC C 535(12) 2535(12)解析 移动五次后位于点(2,3)，所以质点 P 必须向右移动两次，向上移动三次。故其概率为 C 3 2C 5 C 5。故选 B。35(12) (12) 35(12) 25(12)答案 B6(2017南昌模拟)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是 30 项基础设施类工程、20 项民生类工程和 10 项产业建设类工程。现
5、有 3 名民工相互独立地从这 60 个项目中任选一个项目参与建设，则这 3 名民工选择的项目所属类别互异的概率是( )A. B.12 13C. D.14 16解析 记第 i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai、 Bi、 Ci， i1,2,3。由题意，事件 Ai、 Bi、 Ci(i1,2,3)相互独立，则 P(Ai) ， P(Bi) ， P(Ci) ， i1,2,3，故这 3 名民工选择的项目所属类别互3060 12 2060 13 1060 16异的概率是PA P(AiBiCi)6 。故选 D。312 13 16 16答案 D二、填空题37有一批种子的发芽率为 0
6、.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_。解析 设“种子发芽”为事件 A， “种子成长为幼苗”为事件 AB(发芽，又成活为幼苗)。出芽后的幼苗成活率为 P(B|A)0.8， P(A)0.9，根据条件概率公式 P(AB) P(B|A)P(A)0.90.80.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72。答案 0.728如图所示的电路中 a， b， c 三个开关，每个开关开或关的概率都是 ，且是相互独12立的，则灯泡甲亮的概率为_。解析 “设 a 闭合”为事件 A， “b 闭合”为事件 B， “c 闭合”为事件 C，则甲灯亮应为事件 A C
7、，且 A， B， C 之间彼此独立，且 P(A) P(B) P(C) ，由独立事件概率公式知B12P(A C) P(A)P( )P(C) 。B B (112) 12 12 18答案 189(2016唐山一模)1 000 名考生的某次成绩近似服从正态分布 N(530,502)，则成绩在 630 分以上的考生人数约为_。(注：正态分布 N( ， 2)在区间( ， )，( 2 ， 2 )，( 3 ， 3 )内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997)解析 由题意， 530， 50，在区间(430,630)的概率为 0.954，所以成绩在 630分以上的概率为 0.023，所以成绩在 630
8、 分以上的考生人数约为 1 1 0.95420000.02323。答案 2310设随机变量 服从正态分布 N( ， 2)，函数 f(x) x24 x 没有零点的概率是 ，则 等于_。12解析 根据题意，函数 f(x) x24 x 没有零点时，164 4，根据正态曲线的对称性，当函数 f(x) x24 x 没有零点的概率是 时， 4。12答案 44三、解答题11(2016全国卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 5保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该
9、险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 5概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值。解析 (1)设 A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费” ，则事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1，故 P(A)0.200.200.100.050.55。(2)设 B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”，则事件 B 发生当且仅当一年内出险次
10、数大于 3，故 P(B)0.100.050.15。又 P(AB) P(B)，故P(B|A) 。P ABP A P BP A 0.150.55 311因此所求概率为 。311(3)记续保人本年度的保费为 X，则 X 的分布列为X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2aP 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05E(X)0.85 a0.30 a0.151.25 a0.201.5 a0.201.75 a0.102 a0.051.23 a。因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23。答案 (1)0.55 (2) (3)1.2331112某中学为丰富教职工生
11、活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有 A， B 两个定点投篮位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分。规则是：每人投篮三次按先 A后 B 再 A 的顺序各投篮一次，教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是 和 ，且在 A， B 两点投12 13中与否相互独立。(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分 X 的分布列；(2)若教师乙与教师甲在 A， B 投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概5率。解析 (1)根据题意知 X 的可能取值为 0,2,3,4,5,7，P(X0) 2 ，(112) (1 13) 16P(X2)C ，1212 (1 13) (1 12) 1
12、3P(X3) ，(112) 13 (1 12) 112P(X4) ，12 (1 13) 12 16P(X5)C ，1212 (1 12) 13 16P(X7) ，12 13 12 112教师甲投篮得分 X 的分布列为X 0 2 3 4 5 7P 16 13 112 16 16 112(2)教师甲胜教师乙包括：甲得 2 分，3 分，4 分，5 分，7 分五种情形。这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为P 。13 16 112 (16 13) 16 (16 13 112) 16 (16 13 112 16) 112 (1 112) 1948答案 (1)见解析 (2)1948(时间：20 分
13、钟)1(2016安徽皖北联考)某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的 8 次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：(1)比较这两名同学 8 次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过 15 分的频率作为概率，假设甲、乙两名6同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的 2 次周练中，求甲、乙两名同学失分均超过 15 分的次数 X 的分布列和均值。解析 (1) 甲 (79111313162328)15，x 18乙 (78101517192123)15，x 18s (8) 2(6) 2(4) 2(2) 2(2) 21 28
14、213 244.75，2甲18s (8) 2(7) 2(5) 20 22 24 26 28 232.25。2乙18甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差比乙的方差较大(乙的方差比甲的方差较小)，所以乙同学做解答题相对稳定些。(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过 15 分的概率分别为 p1 ， p2 ，38 12两人失分均超过 15 分的概率为 p p1p2 ，316X 的所有可能取值为 0,1,2，依题意， X B ，(2，316)P(X k)C k 2 k， k0,1,2，k2(316)(1316)X 的分布列为X 0 1 2P 169256 78256 9256故 E(X)2
15、。316 38答案 见解析2(2017广西模拟)在一次全国高中五省大联考中，有 90 万名学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布 N( ， 2)。下表用茎叶图列举了 20 名学生的英语成绩，巧合的是这 20 个数据的平均数和方差恰好比所有 90 万个数据的平均数和方差都多 0.9，且这 20 个数据的方差为 49.9。7(1)求 ， ；(2)给出正态分布的数据： P( X )0.682 6，P( 2 X 2 )0.954 4。若从这 90 万名学生中随机抽取 1 名，求该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率；若从这 90 万名学生中随机抽取 1 万名，记 X 为这 1 万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数，求 X 的数学期望。解析 (1)通过计算可得这 20 个数据的平均数为90，x 由题可得 900.989.1， 7。49.9 0.9(2) 89.1， 7，(82.1,103.1)( ， 2 )，该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率为0.818 5。0.682 6 0.954 42由题可得 X 服从二项分布 B(10 000,0.818 5)， E(X)10 0000.818 58 185。答案 (1) 89.1， 7 (2)0.818 5 8 185
