1、说课等差数列前 n 项和的公式福建霞浦三中 侯世德教学目标A、知识目标：掌握等差数列前 n 项和公式的推导方法；掌握公式的运用。B、能力目标：（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。C、情感目标：（数学文化价值）（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物
2、主义思想的熏陶。（2）通过公式的运用，树立学生“大众教学“ 的思想意识。（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。教学重点：等差数列前 n 项和的公式。教学难点：等差数列前 n 项和的公式的灵活运用。教学方法：启发、讨论、引导式。教具：现代教育多媒体技术。教学过程一、创设情景，导入新课。师：上几节，我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，今天要进一步研究等差数列的前 n 项和公式。提起数列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯“神速求和“的故事，小高斯上小学四年级时，一次教
3、师布置了一道数学习题：“ 把从 1 到100 的自然数加起来，和是多少？“年仅 10 岁的小高斯略一思索就得到答案 5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。 （教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍） 。我们来看这样一道一例题。例 1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言解答。生 1:因为 1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可凑成 5 个 11，得到 55。生 2：可设 S=1+2+3+4+5+6+
4、7+8+9+10，根据加法交换律，又可写成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。上面两式相加得 2S=11+10+.+11=1011=11010 个所以我们得到 S=55，即 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55师：高斯神速计算出 1 到 100 所有自然数的各的方法，和上述两位同学的方法相类似。理由是：1+100=2+99=3+98=.=50+51=101，有 50 个 101，所以1+2+3+.+100=50101=5050。请同学们想一下，上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢？生 3：数列a n是等差数列，若 m+n=p+q，则 qpnmaa二、教授新课（尝试推导）师
5、：如果已知等差数列的首项 a1，项数为 n，第 n 项 an，根据等差数列的性质，如何来导出它的前 n 项和 Sn 计算公式呢？根据上面的例子同学们自己完成推导，并请一位学生板演。生 4：Sn=a 1+a2+.an-1+an 也可写成Sn=an+an-1+.a2+a1两式相加得 2Sn=（a 1+an)+(a2+an-1)+.(an+a1)n 个 =n(a 1+an)所以 Sn= (I)2(师：好！如果已知等差数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 n，则 an=a1+(n-1)d 代入公式(1)得Sn=na1+ d(II) 2)(n上面（I） 、 （II ）两个式子称为等差数列的前 n 项和
6、公式。公式（I）是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式（上底+下底）高2 相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第 n 项 an，高是项数 n。引导学生总结：这些公式中出现了几个量？（a 1，d，n，an，Sn） ，它们由哪几个关系联系？ 1an+(n-1)d， = + d；这些量中有几个可自由变化？（三个）从而了解到：12)(只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式（I）和（II ）的一些应用。三、公式的应用（通过实例演练，形成技能） 。1、直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）例 2、计算：（1）1+2+3+.+n（2）1+3+5+.+(2
7、n-1)（3）2+4+6+.+2n（4）1-2+3-4+5-6+.+(2n-1)-2n请同学们先完成（1）-（ 3） ，并请一位同学回答。生 5：直接利用等差数列求和公式（I） ，得（1）1+2+3+.+n= 2)1(n（2）1+3+5+.+(2n-1)= 2)n)(S（3）2+4+6+.+2n= =2)(n)1(师：第（4）小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用 Sn 公式求解？若不能，那应如何解答？小组讨论后，让学生发言解答。生 6：（4）中的数列共有 2n 项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式=1+3+5+.+(2n-1)-(2+4+6+.+2n)=
8、 =2n)1(n生 7：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=-1-1-.-1=-nn 个师：很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用 Sn 公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解。例 3、 （1）数列a n是公差 d=-2 的等差数列，如果=12， =75，求 ，d， 。2a1098a110S生 8：（1）由 =12 得 3a1+3d=12，即 a1+d=4321又d=-2， a1=6S =12 a1+66（-2 ）=-602生 9：（2）由 =12，a 1+d=432a 8+a9+a10=75，a 1+8d=25解
9、得 a1=1，d=3 =10a1+ =1450Sd9师：通过上面例题我们掌握了等差数列前 n 项和的公式。在 Sn 公式有 5 个变量。已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二） ，请同学们根据例 3 自己编题，作为本节的课外练习题，以便下节课交流。师：（继续引导学生，将第（2）小题改编） 数列a n等差数列，若 a1+a2+a3=12，a 8+a9+a10=75，且 Sn=145，求 a1，d，n 若此题不求 a1，d 而只求 时，是否一定非来求得 a1，d 不可呢？引导学生运用等0S差数列性质，用整体思想考虑求 a1+a10 的值。2、用整体观点认识 Sn 公式。例 4
10、，在等差数列a n， （1）已知 a2+a5+a12+a15=36，求 S16；（2）已知 a6=20，求S11。 （教师启发学生解）师：来看第（1）小题，写出的计算公式 S16= =8(a1+a6)与已知相比较，你)(166a发现了什么？生 10：根据等差数列的性质，有 a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以 S16=818=144。师：对！（简单小结）这个题目根据已知等式是不能直接求出 a1，a 16 和 d 的，但由等差数列的性质可求 a1 与 an 的和，于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。师：由于时间关系，我们对等差数列前 n 项和公式 Sn 的运用
11、一一剖析，引导学生观察当 d0 时，Sn 是 n 的二次函数，那么从二次（或一次）的函数的观点如何来认识 Sn 公式后，这留给同学们课外继续思考。最后请大家课外思考 Sn 公式（1）的逆命题：已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若对于所有自然数 n，都有 Sn= 。数列a n2)(1na是否为等差数列，并说明理由。四、小结与作业。师：接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。生 11：1、用倒序相加法推导等差数列前 n 项和公式。2、用所推导的两个公式解决有关例题，熟悉对 Sn 公式的运用。生 12：1、运用 Sn 公式要注意此等差数列的项数 n 的值。2、具体用 Sn 公式时，要根据已知灵活选择公式（I）或（II ） ，掌握知三求二的解题通法。3、当已知条件不足以求此项 a1 和公差 d 时，要认真观察，灵活应用等差数列的有关性质，看能否用整体思想的方法求 a1+an 的值。师：通过以上几例，说明在解题中灵活应用所学性质，要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人，去发现更多的性质，主动积极地去学习。本节所渗透的数学方法；观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。作业：P49：13、14、15、17
