1、3.3.2函数的极值与导数,【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材,了解函数的极值与导函数值的正、负转换的关系,并理解函数极值的的求法.,【知识链接】1.导数的运算法则(1)f(x)g(x)=f(x)g(x);(2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+ f(x)g(x);(3) 2.函数的单调性与其导函数的正负的关系在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)0,右侧f(x)0.,根据以上探究过程,试着写出函数的极大(小)值的定义及求法:1.函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,且_,在点x=a附近的
2、左侧_,右侧_,则a叫做极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.2.函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都大,且_,在点x=a附近的左侧_,右侧_,则a叫做极大值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极大值.,f(a)=0,f(x)0,f(a)=0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,【合作探究】1.函数的极值包含哪些值?提示:函数的极值包括极大值和极小值.2.函数的极大值一定大于极小值吗?提示:不一定,极值刻画的是函数的局部性质,反映了函数在某一点附近的大小情况,极大值可能比极小值还小.,【过关小练】1.函数y=f(x)的导数y与函数值和
3、极值之间的关系为()A.导数y由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B.导数y由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C.导数y由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D.导数y由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值【解析】选D.由导数y与函数值的变化情况以及极值之间的关系,可知选项D正确.,2.已知函数y=|x2-1|,则()A.y无极小值,且无极大值B.y有极小值-1,但无极大值C.y有极小值0,极大值1D.y有极小值0,极大值-1【解析】选C.函数y=|x2-1|的大致图象如图所示.所以函数y有极小值0,极大值1.,3.x=0是否是函数f(x)=x3的极值点?【解析】在x=0处,曲线
4、的切线是水平的,即f(x)=0,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小,故不是极值点.,【归纳总结】理解极值概念时需注意的五点(1)函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的.(2)极值点是函数定义域内的点,而函数定义域的端点绝不是函数的极值点.(3)若f(x)在定义域a,b内有极值,那么f(x)在a,b内绝不是单调函数,即在定义域区间上的单调函数没有极值.,(4)极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值,且在某一点的极小值可能大于另一点的极大值.(5)f(x)=0只是可导函数f(x)在x0处取得极值
5、的必要条件,不是充分条件.,类型一:求函数的极值【典例1】(1)(2015西安高二检测)设函数f(x)=xex,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点(2)求函数y=3x3-x+1的极值.,【解题指南】(1)可先对函数求导,令其导函数值等于0,求它的极值点即可.(2)首先对函数求导,然后求方程y=0的根,再检查y在方程根左右的值的符号,进而得出极值.【解析】(1)选D.求导得f(x)=ex+xex=ex(x+1),令f(x)=ex(x+1)=0,解得x=-1.当x-1时,f(x)0,所以x=-1是函数f
6、(x)的极小值点.,(2)y=9x2-1,令y=0,解得x1= ,x2=- .当x变化时,y和y的变化情况如下表:因此,当x=- 时,y有极大值,并且y极大值= .而当x= 时,y有极小值,并且y极小值= .,【规律总结】利用导数求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域.(2)求导数f(x).(3)解方程f(x)=0得方程的根.(4)利用方程f(x)=0的根将定义域分成若干个小开区间,列表,判定导函数在各个小开区间的符号.(5)确定函数的极值,如果f(x)的符号在x0处由正(负)变负(正),则f(x)在x0处取得极大(小)值.,【巩固训练】求函数y=2x+ 的极值.【解析】函数的定义域为(-,0
7、)(0,+).y=2- ,令y=0,得x=2.当x变化时,y,y的变化情况如下表:由表知:当x=-2时,y极大值=-8;当x=2时,y极小值=8.,【补偿训练】设函数f(x)=x3+ax2-9x的导函数为f(x),且f(2)=15.(1)求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值.【解析】(1)因为f(x)=3x2+2ax-9,因为f(2)=15,所以12+4a-9=15,所以a=3.所以f(x)=x3+3x2-9x,所以f(x)=3x2+6x-9,所以f(0)=0,f(0)=-9,所以函数在x=0处的切线方程为y=-9x.,(2)令f(x)=0,得x=-3或x=1.
8、当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:即函数f(x)在(-,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以当x=-3时,f(x)有极大值27,当x=1时,f(x)有极小值-5.,类型二:利用函数极值求参数的值【典例2】(2015南京高二检测)已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处的极小值为-1,试确定a,b的值,并求f(x)的单调区间.【解题指南】f(x)在x=1处的极小值为-1包含以下的含义:一是f(1)=-1,二是f(1)=0.,【解析】由已知得f(x)=3x2-6ax+2b,所以f(1)=3-6a+2b=0,又因为f(1)=1-3a+2b
9、=-1,由解得a= ,b=- ,所以f(x)=x3-x2-x.由此得f(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),令f(x)0,得x1,令f(x)0,得- x0得x3,令f(x)0,右侧f(x)0时,01.所以函数f(x)=-6x3+9x2的极小值为f(0)=0.,2.已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=- 时都取得极值,且f(-1)= 求a,b,c的值.【解析】f(x)=3x2+2ax+b,令f(x)=0,由题设知x=1与x=- 为f(x)=0的解.所以解得a=- ,b=-2,所以f(x)=3x2-x-2.,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,由上表知,函数
10、在x=1与- 处取得极值.所以a=- ,b=-2.所以f(x)=x3- x2-2x+c,由f(-1)=-1- +2+c= ,得c=1.,类型三:函数极值的综合应用【典例3】(1)(2015厦门高二检测)若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.9(2)已知函数f(x)=x3-3ax-1(a0).若函数f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.,【解题指南】(1)由极值点处的导函数值等于0,可求出关于a,b的等式,进而求出ab的最大值.(2)先由已知条件求出a值,确定f
11、(x),再由直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同交点,利用数形结合求出m的范围.,【解析】(1)选D.f(x)=12x2-2ax-2b,由条件知f(1)=0,所以a+b=6,所以ab =9,等号在a=b=3时成立.,(2)因为f(x)在x=-1处取得极值,所以f(-1)=3(-1)2-3a=0,所以a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3,由f(x)=0解得x1=-1,x2=1.当x0;当-11时,f(x)0.所以由f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.,作出f(x)的大致图象如图所示:因为直线y=m与函数
12、y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).,【延伸探究】1.(变换条件,改变问法)若本例(2)“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何?改为“一个交点”呢?【解析】由例(2)解析可知:当m=-3或m=1时,直线y=m与y=f(x)的图象有两个不同的交点;当m1时,直线y=m与y=f(x)的图象只有一个交点.,2.(变换条件)若本例(2)中条件改为“已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x= 处取得极值,其他条件不变,求m的取值范围.【解析】由题意可得f(x)=-3x2+2ax,由 可得a=2,所以f(x)=-x3+2x2-4,则f(x)=-
13、3x2+4x.令f(x)=0,得x=0或x= ,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,所以m的取值范围是,【规律总结】1.三次函数有极值的充要条件三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a0)有极值导函数f(x)=3ax2+2bx+c=0的判别式=4b2-12ac0.,2.三次函数单调性与极值(设x10,则f(x)在R上是增函数;若a0时,若a0,则f(x)的增区间为(-,x1)和(x2,+),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;若a0时,函数f(x)没有极值点.【证明】因为f(x)=ax2+blnx(a
14、b0),所以f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2ax+ 当ab0时,若a0,b0,则f(x)0,f(x)在(0,+)上是单调递增的;若a0时,函数f(x)没有极值点.,2.(2015杭州高二检测)已知a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a.(1)求函数f(x)的极值,并画出其图象(草图).(2)当a为何值时,方程f(x)=0恰好有两个实数根?【解析】(1)由f(x)=-x3+3x+a,得f(x)=-3x2+3,令f(x)=0,得x=1或x=-1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,由表可知函数f(x)的极小值为f(-1)=a-2;极大值为f(1)=a+2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象,如图所示,这里,极大值a+2大于极小值a-2.,(2)结合图象,当极大值a+2=0时,有极小值小于0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰有两个实数根,所以a=-2满足条件;当极小值a-2=0时,有极大值大于0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰好有两个实数根,所以a=2满足条件.综上,当a=2时,方程恰有两个实数根.,
