1、空间直角坐标系的建立技巧运用“坐标法”解答空间几何体问题时，往往需要建立空间直角坐标系依据空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系，是解决问题的基础和关键为此，下面例谈几种常见的建系技巧一、利用共顶点的互相垂直的三条棱建系例 1 如图 1，正方体 的棱长为 ， 、 分别是 、 的中点，1ABCDaPQ1ACD求 的长PQ解：如图，以 为坐标原点，分别以棱 、 、 所在的直线为 轴建立AABD1xyz， ，空间直角坐标系，则 、 、 、 由中点坐标(0)Ca， ， 1()a， ， (0)， ， ()Ca， ，公式，得 、 ， 2P， ， 2Q， ， 2， ，
2、所以 |aaa二、利用线面垂直关系建系例 2 如图 2，已知 ， ， 平面 ，且 ，ABC 90 SABC|2A， ，求线段 的长度|13BC|4S解：如图 2，以 为坐标原点，分别以 、 所在直线为 轴、 轴，以在平面AACSxz内过 作垂直于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，则有 、BCyAy(20)C， ，(130)， ， 平面 ， 平面 ，SABCABC 又 ，|4在 中，Rt，22|3SAC (03)， ，故 222| (10)()9B三、利用面面垂直关系建系例 3 如图 3，在三棱柱 中， 是边长为 4 的等边三角形，平面 平SABC SAC面 ， ， 为 的中点求证： AC|
3、23D|SAD证明：取 中点为 ，连结 ACOSB， ，SB， 且 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， SOACSO如图 3，以 为原点， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系B， ， xyz， ，则 、 、 由中点公式得 xyz(20)， ， (30)， ， (2)S， ， (130)D， ， ，2|13SD又 ， |3A|SD四、利用正棱锥的中心与高所在的直线建系例 4 如图 4 所示，正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ， 为 的中点，-ABCaESC与 交于 点，问在线段 上是否存在一点 ，使得 的长为 ？若存在，CBDOF3a找出 点的位置；若不存在，请说明理由F解：设 分别为
4、 的中点如图 4，以 为原点，分别以 所MN， ABC， OMONS， ，在的直线为 轴建立空间直角坐标系 ，则 ， ，xyz， ， -xyz02aA， ， 02aB， ， 02aC， ， 02aD， ， 2| ，22|SOCa 20a， ， 为 的中点， ESC24aE， ， 所在的直线方程为 ，BDyx假设在 上存在一点 ， ，使得 ，(0)F， ， 2a， 3|EFa整理得 ， 243ax61x，故在线段 上存在点 或 满足题意。BD02Fa， ， 6012Fa， ，空间直角坐标系考点分析空间直角坐标系是平面直角坐标系知识的推广，教材中涉及该知识的内容较少，空间直角坐标系为将来学习向量方
5、法解决立体几何问题打下了基础，因此空间直角坐标系也是高考的重点内容。高考对空间直角坐标系的考查一般是与空间向量结合起来，不单独命题。也可能以选择题、填空题的形式出现，如考查空间直角坐标系中有关点的坐标的求解，空间两点的距离等。一、考查基本知识点例 1、下列命题中，正确的个数是（ ）（1）在空间直角坐标系中，x 轴上的点的坐标一定是（0，b，c） ；（2）在空间直角坐标系中，yOz 平面上点的坐标可以写成（ 0，b，c） ；（3）在空间直角坐标系中，z 轴上点的坐标可以记做（0，0，c） ；（4）在空间直角坐标系中，xOz 平面上点的坐标是（a，0，c ）A、1 B、2 C、3 D、4解：在空间
6、直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有两个为 0（如 x 轴上的点的纵坐标、竖坐标均为 0） ；坐标平面内的点的坐标有一个为 0（如 xOz 平面内的点的纵坐标为 0） ，因此题目中（2） （3） （4）三个命题正确，故选 C.点评：学习空间直角坐标系必需会用空间直角坐标表示点的位置，求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足所对应的数值即为点在该轴上的坐标。二、解决实际应用问题例 2、正方体 的棱长为 a， ，CBADO |2|,|2| MCBNCA求 MN 的长解：如图，建立空间直角坐标系，A （a，0，0） ，C（0，a，0） ，所以 ，aA|因为 ，所以 N 点的坐标为 ，又 M 在平面31|,2| ACN),32(内，BC所以同理可知 M 点的坐标为 ，)2,(a所以 .35)02()3(3| 2 aaN点评：考试说明要求“会推导空间两点的距离公式” ，因此考生要了解公式的推导过程，并能够利用公式解决一些简单的问题，在建立空间直角坐标系时，要注意原点的选取和各点的坐标的设法，求距离时两个点相对应的坐标之间是相减而不是相加。
