1、空间直角坐标系学习目标主要概念：空间直角坐标系-从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系 O-xyz，点 O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴。坐标平面-通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面。右手直角坐标系-在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y轴的正方向，若中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。空间直角坐标系中的坐标-对于空间任一点 M，作出 M 点在三条坐标轴 Ox 轴、Oy轴、Oz 轴上的射影，若射影在相应数轴上的
2、坐标依次为 x、y、z，则把有序实数对(x, y, z)叫做 M 点在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x, y, z)，其中 x 叫做点 M 的横坐标，y叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标。教材分析一、重点难点本节教学重点是建立空间直角坐标系，难点是用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、知识探求、思考交流三个板块组成。第一板块 问题提出 解读借助平面直角坐标系，我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置，那么空间的点如何表示呢？类比于平面直角坐标系的建立。通过具体情境，如要确定教室内所挂电灯的位置，一方面发现用平面直角
3、坐标系不能再确定点的位置，需要第三个坐标，拓宽了思维空间；另一方面感受建立空间直角坐标系的必要性。第二板块 知识探求 解读如何建立空间直角坐标系？ 1、在平面直角坐标系的基础上，通过原点再增加一根竖轴，就成了空间直角坐标系。2、如无特别说明，本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。3、空间直角坐标系象平面直角坐标系一样，有“三要素”：原点、坐标轴方向、单位长度。4、在平面上画空间直角坐标系 O-xyz 时，一般使， ，且使 y 轴和 z135xOzy90yz轴的单位长度相同，x 轴上的单位长度为 y 轴(或 z 轴) 的单位长度的一半，即用斜二测的方法画。第三板块 思考交流 解读1、为什么空间的点
4、 M 能用有序实数对(x, y, z)表示？设点 M 为空间直角坐标系中的一点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交 x 轴、y 轴、z 轴于 P、Q、R 点，设点 P、 Q、R 在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别是 x、y 和 z，那么点 M 就有唯一确定的有序实数组(x, y, z)；反过来，给定有序实数组 (x, y, z)，可以在 x 轴、y 轴、z 轴上依次取坐标为 x、y 和 z 的点P、Q 和 R，分别过 P、Q 和 R 点各作一个平面，分别垂直于 x 轴、y 轴、z 轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组(x, y, z)确定的点 M。拓展阅读如果
5、把坐标法理解为通过某一特定系统中的若干数量来决定空间位置的方法，那么战国时代魏人石申用距度（或入宿度）和去极度两个数据来表示恒星在天球上位置的星表，可以说是一种球面坐标系统的坐标法。古希腊的地理学家和天文学家也广泛地使用球面坐标法。西晋人裴秀（223271）提出“制图六体” ，在地图绘制中使用了相当完备的平面网络坐标法。用坐标法来刻划动态的、连结的点，是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工具的关键。阿波罗尼在中，已借助坐标来描述曲线。十四世纪法国学者奥雷斯姆用“经度”和“纬度”(相当于纵坐标和横坐标) 的方程来刻划动点的轨迹。十七世纪，费马和笛卡儿分别创立解析几何，他们使用的都是斜角坐标系：
6、即选定一条直线作为 X 轴，在其上选定一点为原点，y 的值则由那些与 X 轴成一固定角度的线段的长表示。1637 年笛卡儿出版了他的著作，这书有三个附录，其中之一名为，解析几何的思想就包含在这个附录里。笛卡儿在中论述了正确的思想方法的重要性，表示要创造为实践服务的哲学。笛卡儿在分析了欧几里得几何学和代数学各自的缺点，表示要寻求一种包含这两门科学的优点而没有它们的缺点的方法。这种方法就是几何与代数的结合-解析几何。按笛卡儿自己的话来说，他创立解析几何学是为了“决心放弃那仅仅是抽象的几何。这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题。我这样作，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何
7、” 。关于解析几何学的产生对数学发展的重要意义，这里可以引用法国著名数学家拉格朗日的一段话：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从而以快速的步伐走向完善” 。十七世纪之后，西方近代数学开始了一个在本质上全新的阶段。正如恩格斯所指出的，在这个阶段里“最重要的数学方法基本上被确立了；主要由笛卡儿确立了解析几何，由耐普尔确立了对数，由莱布尼兹，也许还有牛顿确立了微积分” ，而“数学中的转折点是笛卡儿的变量。有了它，运动进入了数学，因而，辩证法进入了数学，因而微分和积分的运算也就立刻成为必要的了” 。恩格斯在这里不仅指出了
8、十七世纪数学的主要内容，而且充分阐明了这些内容的重要意义。解析几何学的创立，开始了用代数方法解决几何问题的新时代。从古希腊时起，在西方数学发展过程中，几何学似乎一直就是至高无上的。一些代数问题，也都要用几何方法解决。解析几何的产生，改变了这种传统，在数学思想上可以看作是一次飞跃，代数方程和曲线、曲面联系起来了。最早引进负坐标的英国人沃利斯，最早把解析几何推广到三维空间的是法国人费马，最早应用三维直角坐标系的是瑞士人约翰 贝努利。 “坐标”一词是德国人莱布尼兹创用的。牛顿首先使用极坐标，对于螺线、心形线以及诸如天体在中心力作用下的运动轨迹的研究甚为方便。不同的坐标系统之间可以互换，最早讨论平面斜
9、角坐标系之间互换关系的是法国人范斯库腾。我们今天常常把直角坐标系叫做笛卡儿坐标系，其实那是经过许多后人不断完善后的结果。典型例题解析例 1：在空间直角坐标系中，作出点 M(6，2, 4) 。点拨 点 M 的位置可按如下步骤作出：先在 x 轴上作出横坐标是 6 的点 ，再将 沿与 y 轴平行的方向向左移动 2 个单位得到点 ，11 2M然后将 沿与 z 轴平行的方向向上移动 4 个单位即得点 M。2解答 M 点的位置如图所示。总结 对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步
10、培养空间想象能力。变式题演练在空间直角坐标系中，作出下列各点：A(-2,3，3)；B(3，-4,2)；C(4,0，-3) 。答案：略例 2：已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。点拨 先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系。解答 正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10，正四棱锥的高为 。23以正四棱锥的底面中心为原点，平行于 AB、BC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为 A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(
11、-2,2，0) 、D(-2，-2,0) 、P(0,0， )。23总结 在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标。变式题演练在长方体 中，AB=12，AD=8， =5，试建立适当的空间直角坐1DCBA1A标系，写出各顶点的坐标。答案：以 A 为原点，射线 AB、AD、 分别为 x 轴、 y 轴、z 轴的正半轴，建立空1间直角坐标系，则 A(0,0，0)、B(12,0，0)、C(12,8，0) 、D(0,8 ，0)、 (0, 0，5) 、1(12,0，5)、 (12,8，5)、 (0,8，5) 。1B1C1D例 3：在空间直角坐标系中，求出经
12、过 A(2,3，1) 且平行于坐标平面 yOz 的平面 的方12M（6，-2,4） Oxyz624OA BCDPxyz程。点拨 求与坐标平面 yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面 yOz 平行的平面内的点的特点来求解。解答 坐标平面 yOzx 轴，而平面 与坐标平面 yOz 平行，平面 也与 x 轴垂直，平面 内的所有点在 x 轴上的射影都是同一点，即平面 与 x 轴的交点，平面 内的所有点的横坐标都相等。平面 过点 A(2,3，1)，平面 内的所有点的横坐标都是 2，平面 的方程为 x=2。总结 对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中
13、类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与 x 轴(或 y 轴)平行的直线的方程。变式题演练在空间直角坐标系中，求出经过 B(2,3，0)且垂直于坐标平面 xOy 的直线方程。答案：所求直线的方程为 x=2,y=3.知识结构知识点图表学法指导1、在建立空间直角坐标系 O-xyz 时，要注意使 ，135xOzy，且使 y 轴和 z 轴的单位长度相同，x 轴上的单位长度为 y 轴(或 z 轴) 的单位90yOz长度的一半。2、在确定给出空间图形各顶点的坐标时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，以便于计算所需确定的点的坐标。3、对于空间直角坐标系中的问题，要善于用类比于平面直角坐标系中相关问题的求解方法解决。空间直角坐标系 右手直角坐标系 点的坐标的确定
