1、浅谈数学归纳法中 k 和 n 的时效性数学归纳法历来作为高中数学的必修内容，它对培养学生的数学思想，提高学生的分析问题和解决问题的能力，都有积极的作用，然而，学生在学习这一内容时，常常感到抽象难懂，我们先来看看数学归纳法的证题过程。例：用数学归纳法证明 2()nxyN能被（x+y）整除。证明： 21,()nxy时 能 被 （ 整除，命题成立。 1假设当 k时，命题成立 2即 2)xyxy能 被 （ 整 除那么，当 n=k+1 时22(1)2(1)222222nkkkkkkkkxyxyxyxyxyAAA2xy能 被 （ +)整 除 ， 根据归纳假设， 2kxy能被（x+y）整除，222()kky
2、x上 式 能 被 （ +)整除，也就是说，当 n=k+1 时，命题也成立。综合 知，命题对所有自然数 N 都成立， 证毕 1 2学生对上述证明过程的第二步觉得难以理解怎么可用假设来证明呢？n 是自然数，k 也是自然数，k、n 不是不同吗？为什么可以“假当 n=k 时命题成立呢” ，k 成立不就是 n 成立吗？还有 n=k，n=k+1 又是怎么一回事呢？学生对这些问题的存疑，势必影响学生对数学归纳法的理解和运用，要取得好的教学效果，必须先解决上述问题，但教材教参对上述问题也未做详述，多年的教学时间和探索，用“时效性”辨证地处理了 k 和 n 的关系，较好地解决了上述问题。所谓时效性，是指 k 和
3、 n 在证明过程的不同时刻有不同的含义和不同的效能，当命题证明正确后，k 和 n 就等有效了，即 k 和 n，n 就是 k；就本质而言，k 和 n 是相同的，都具有任意性，都是任意自然数，也即是所有自然数，差异体现在时效性上，我想学讲解，在未证明命题正确之前，k 和 n 是不同的，命题是要求证明对所有自然数 n 都成立，而归纳假设中的 k，此时未可理解为所有的自然数，这时应把假设“当 n=k 时命题成立”中的 k 理解为特指在无穷无尽的自然数 N 中，至少存在某一个能使命题成立的自然数，就特指这个自然数为 k（或者说，若连这样一个 k 值都找不到，那么，命题根本不成立，事实上，证明过程中的 已
4、验证当 n=1 时，命题成立，自然数 1 便可做为命题成立的特指的第一个 1k 值。 （事实上，步骤 中不一定验证 n=1 是否成立，而是验证当 0n时是否成立， 0n是 1使命题成立的最小自然数，所以，第一个特指的 k 值是 0）证明过程第 步中的 k、k+1，也是任意自然数，两者的联系和区别，体现在任意性和 2给定性，k 的任意性导致 k+1 的任意性，但一旦 k 给定后，k+1 始终是 k 的后继数，因此中的 k，k+1 的是数学归纳法证明的命题中所包含着的无穷多个特殊命题中的任意两相 2邻命题之间的因果关系如果 k 成立，那么 k+1 也成立，k 为因，k+1 为果，随着时效的改变，这
5、种因果关系随时都在传递中交换，在交换中传递，也就是递推。即由 知当 n=1 时，成立，由 有 n=k+1=1+1=2 时也成立，再取 k=2，且由 知， 1 2 2k+1=2+1=3 也成立。换一种说法，由 结合的递推过程就是： 1 2如果 k=1 时命题成立，那么 k=1+1=2 时，命题也成立；如果 k=2 时命题成立，那么 k=2+1=3 时，命题也成立“K=2 成立”是“k=1 ”成立的果，也是“k=3 ”成的因，也就是 k=1 的成立导致 k=2的成立，k=2 的成立又导致 k=3 的成立这样一直传递下去，直至传遍所有自然数，故命题对所有自然数都成立（以 0n开始的自然都成立） 。既
6、然命题对所有自然数都成立，k 也成了所有自然数，这时，k、n 等效，k 和 n 都是任意自然数至此，学生紧锁的眉头舒展开了，如释重负豁然开朗起来。另：数学归纳法证题的另一难点是怎样利用归纳假设“当n=k 时命题成立”来证明“n=k+1 时” ，命题也成立，对这个问题，首先应注意语句中的“也”字， “也”字强调了和前面的联系，说明了对前面“n=k 时成立”的依赖，应向学生强调，数学归纳法对第 步命题成立的判断，关键是结构形式的判断，这就需要很好的利 2用归纳假设，归纳假设一要用得上，要明确题目中归纳假设的结构形式，在 步的运算变 2形过程中把它分离起来，以利于判断“也成立” ，如前例中添项之后提取公因式，使之出现2()kxy这一项，利用归纳假设就可以判断它能被（x+y）整除，所以当 n=k+1 时，命题也成立。用数学归纳法证明与自然数有关的不等式时，为追求结构形式一致，有时还需要添加（或减掉）某个数（或项）也即是通过方法或缩小某些项来达到目的。
