1、数学归纳法应用举例对于数学的学习，应具备“能力” ，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力通过本章的复习，培养推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力一、推理部分1知识结构框图：2合情推理：与统称为合情推理归纳推理：类比推理：定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知，从而推出结论但是结论的可靠性有待证明推理过程：从具体问题出发归纳类比3演绎推理：定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理； 学习要点：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：大前提：；小前提：；结论：集合
2、简述：大前提： xM且 x 具有性质 P； 小前提： yS且 ；结论： y 也具有性质 P；合情推理与演绎推理的关系：合情推理中的归纳推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；二、证明部分知识结构框图综合法与分析法综合法:分析法：学习要点：在解决问题时，经常把综合法与分析法合起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程反证法：学习要点：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与，或等矛盾3数学归纳法一般地，证明一个与正整数 有关的命题的步骤如下：（1） （归纳奠基）；（2） （归纳递推）其证明的
3、方法叫做数学归纳法学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可特别地，在证明第二步 1nk时命题成立，一定要用上归纳假设 nk时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；数学归纳法常和合情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提 三、考查要求“合情推理”是一种重要的归纳、猜想的推理，它是发现问题和继续推理的基础逻辑思维能力主要体现为对演绎推理的考查试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考查，又考虑如何使用解答题（以证明题的形式）突出进行考查，立体几何是考查演绎推理的最好素材数学归纳法很少单独考查，由于数列是和自然
4、数有关的，因此，经常和数列一起考查，常与归纳猜想相结合进行综合考查对于数学的学习，应具备“能力” ，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力一推理部分1知识结构：推理 归纳和情推理类比2和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推演绎推理理类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 定义特点
5、；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论但是结论的可靠性有待证明例如：已知 2()53fn，可以 (1)0f， (2)30,f(3)0,41f，于是推出：对入任何 nN，都有 ()fn；而这个结论是错误的，显然有当 时， (5)3f因此，归纳法得到的结论有待证明例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行” ；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的” 类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的推理过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类
6、比 猜想3演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理） 定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理； 数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：大前提：已知的一般原理（ M是 P） ； 小前提：所研究的特殊情况（ S是 ） ；结论：由一般原理对特殊情况作出判断（ 是 ） ；集合简述：大前提： x且 具有性质 ； 小前提： yS且 ；结论： 也具有性质 P；例题 1若定义在区间 D 上的函数 ()fx对于 D 上的 n个值 12,nx ，总满足 122() )nfxffn ，称函数 ()f为D 上的凸函数；现已知 ()six在 (
7、0,)上是凸函数，则 ABC中，sisiABC的最大值是 解答：由 1212()()()nnxxffffn （大前提）因为 ()sinfx在 (0,)上是凸函数 （小前提）得 3)ABCABff （结论）即 3sinsini2 因此， iiABC的最大值是注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型和情推理与演绎推理的关系：和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例设 ()2xaf， ()2xag（其中 0a且 1）（1）请你推测 5能否用 (),3(2),fg来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其
8、推广.解答:（1）由 (3)2()fgf32a3a2a5又 (5)g52因此， 3()(2)fgf（2）由 5g 3即 () ()()ff于是推测 xy (gyxy证明：因为： ()2xaf， )2xa（大前提）所以 ()gxyxy， ()gy 2ya， ()f 2ya， （小前提及结论）所以 ()fxgf 2aya 2xyaxy ()gxy 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造 (23)g(3)2()fgf是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论 ()gxy ()()fyxfy二证明部分知识结构综合法证明 直接证法分析法综合法与分析法综合法；利用
9、已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程例已知： 0ab，求证：2 2()()88证明： 因为所以2 2()()abab数学归纳法间接证法 反证法2 22()()()44abab|2abab121ab又由已知 0ab，因此， 1ba成立由于以上分析步步等价，因此步步可逆故结论成立解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反
10、之属于综合法(2)这里表示了 1ba,( 0b)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例 4.求证抛物线 2()ypx，以过焦点的弦为直径的圆必与2px相切.证明：（如图）作 AA 、BB 垂直准线，取 AB 的中点 M，作 MM 垂直准线.要证明以 AB 为直径的圆与准线相切只需证MM 12AB由抛物线的定义：AA AF，BB BF所以ABAA BB 因此只需证MM 12（AA BB ）根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.所以以过焦点的弦为直径的圆必与 2px相切.xoABMBMAyF 以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种
11、重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数有关的命题的步骤如下：（1） （归纳奠基）证明当取第一个值 0时命题成立；（2） （归纳递推）假设 k（ (,)nk时命题成立，证明当1nk时命题也成立。就可以断定对从 0开始的所有正整数都成立其证明的方法叫数学归纳法（3）学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可特别地，在证明第二步 1nk时命题成立，一定要用上归纳假设 k时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；数学归纳法常和和情推理综合应用，特别常以归纳推
12、理为前提例已知数列 na的前 和为 nS，其中 (21)nnSa且 3a(1)求 23,a(2)猜想数列 n的通项公式，并用数学归纳法加以证明解答：（1） 2122()6Saa又 13，则 25，类似地求得 315（2）由 a， 13， 7a猜得： (2)n以数学归纳法证明如下：当 1时，由（1）可知等式成立；假设当 nk时猜想成立，即 1(2)kak那么，当 1时，由题设 ()nnS得(21)kkSa， 11()2kkSa所以 kk ()1k 2k11()2kkSaKa1()k 2因此， 1(3)2k所以 1()ka(1)2()1kk这就证明了当 n时命题成立.由、可知命题对任何 N都成立.
13、解题评注：（1）本题首先采用了归纳推理，即由特殊到一般的推理；（2）解题时注意已知式 (21)nnSa对任何 N都成立，因此要注意其变形应用；归纳假设已用上，在上面的横线处，是解题关键的一步. 三高考要求高考强调对数学思维能力的考查， “和情推理”是一种重要的归纳、猜想推理，它是发现问题和继续推理的基础.逻辑思维能力主要体现在对演绎推理的考察.试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考察，又考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考察，立体几何是考察演绎推理的最好教材.近几年数学归纳法很少单独考察，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考察，常与归纳猜想相结合进行综合考察
