1、圆的标准方程课标解读 栏目功能：按课程标准和考试要求，分课标要求和学习目标两方面去写，通过本栏目，使教师的教学更具有针对性，学生的学习更具有目的性.编写要求：课标要求和学习目标左右栏排版单独成块，课标要求主要围绕三维目标进行展开，学习目标是从学生应该掌握的角度进行写作.课标要求 学习目标1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程。2会根据不同的已知条件，利用坐标法、数形结合这一数学思想以及转化与化归思想求出圆的标准方程3培养学生细心的学习习惯、认真的学习态度，激发学生学习数学的兴趣1会推导圆的标准方程，使学生掌握圆的标准方程的特点2能根据所给有关圆心、半径的具体条件用待定系数法准确地写出圆的标准
2、方程3能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径 4.会判断点与圆的位置关系.教学策略 栏目功能：针对本节教学内容，在教材处理、教法等方面简要阐述一些有建设性的教学建议，使教师的教学目标性强、针对性强.编写要求：注意应突出启发性、过程式原则，不要写的太死，要写出最好的教学手段，怎样处理新旧知识的联系以及处理问题的方法和注意事项，不要完全照搬教参。1本节重点是圆的标准方程结构特征的正确理解与认识；在给定条件下求圆的标准方程的一般思维方法。难点是用数形结合法求圆的标准方程。2在得到圆的标准方程 之后，用“曲线与方程”的思想解释22)()(rbyax坐标满足方程的点一定在曲线上。即若点 M 在圆上，由
3、上述结论可知，点 M 的坐标适合方程；反之，若 N 的坐标适合方程，说明点 N 与圆心 A 的距离为 r。3对于圆的标准方程 ，应强调其圆心为 C(a,b)，半径为 r，22)()(ryx注意方程中的减号。4提出坐标法的思想，即根据给出的圆心坐标以及半径写出圆的方程从几何到代数；根据坐标是否满足方程，来认识所对应的几何对象之间的关系从代数到几何。5在引导学生列关于 a、b、r 的方程或方程组时，要注意联系平面几何的知识，尤其是其中的一些直角三角形、垂弦定理。学习策略 栏目功能：说明学习本节内容时应注意的问题和应采用的策略，以便学生更好的理解和掌握本章内容。编写要求：注意要用条目式呈现，层次性条
4、理性要强。1在本节的学习中，要注意圆的标准方程 ，通过两点间的距22)()(rbyax离公式理解和记忆，且通过圆的标准方程可以直接得到圆心和半径、通过圆心和半径可以直接得到圆的标准方程。2在掌握了标准方程之后，要能从“是” 、 “否”两个方面来判断点与方程的关系，3要注意数形结合思想及方程思想的运用。4求标准方程常用待定系数法，根据题目的条件列出关于 a、b、r 的方程或方程组。情景创设 栏目功能：激起学生的学习本节知识、探究问题、发现问题的兴趣和斗志，同时也能更好地体现新课标理念.编写说明：1.在报刊、网络或相关信息上精选或精编一段新颖的、可读性强的、趣味性强的与本节相关的生产、生活、社会、
5、科技等美文、小故事、图片等，作为本节知识的导入，引导学生去探索、发现问题，激发学生的学习兴趣.2.如果与本节相关的材料确实不好找，也可以从知识回顾的角度或自己精编一个与本节有关的问题去写.3.注意篇幅不易过长.同学们，你们做过摩天轮吗？登高而望远，不亦乐乎。世界上最巨大的摩天轮是座落于泰晤士河畔的英航伦敦眼，距地总高达 135 公尺然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在排行上应该与重力式摩天轮分开来计算因此目前世界最大的重力式摩天轮应位于日本福冈的天空之梦福冈，是直径 112 公尺，离地总高 120 公尺的摩天轮。对于这些摩天轮，我们如何通过建立平面直角坐标系，利用方程的知识来研究
6、呢？合作探究栏目功能：通过对本节重要知识点和典型解题方法的探究，进一步强化学生对知识和方法的探索感悟和认知过程，使学生对问题的认识是一个层层递进、不断攀升、不断升华的过程，从而遵循由特殊到一般的认识问题和解决问题的基本思路、基本方法编写要求：1.对于基本概念、公式、定理、方法的讲解.一般是先通过具体一例子引出问题或者由创设的情景提出问题，然后进行探究（议一议，思考等） ，一定要体现思维过程，最后得出一般性的结论（提升总结）.2.在第 1 条的写作时，自选取课本或其它资料上的一些典型例题进行讲解示例.3.对于本节的“应用”可设为最后一个探究，选取典型例题进行讲解（不要和前面的探究中例题设置角度重
7、复）探究一 探究圆的标准方程想一想：初中学习圆的定义如何？我们在初中已经学习了圆的有关知识，圆的几何特征是在平面内圆上任一点到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹 )叫做圆，定点就是圆心，定长就是半径议一议：确定圆需要哪些条件？一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来了.探究：如图 4-1-1-1，设圆心是 C(a,b)，半径为 r，设 P(x,y)是圆上任意一点，则 CP=r，由两点间的距离公式得 ，即得圆的标准方程：bxa22)()(其中圆心为 C(a,b)，半径为 rryx提升总结：圆心为 C(a,b)，半径为 r 的圆的标准方程为 。22)()(rbyaxxyO C Pr图 4
8、-1-1-1温馨提示：(1)如果圆心在坐标原点，此时 a=b=0，圆的方程为 22ryx(2)圆的标准方程 圆心为 C(a,b)，半径为 r，这呈现了圆的22)()(ryax几何特征.例 1 求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是 ；5(2)圆心在点 C(8,8)，半径是 2008；(3)经过点 P(5,1)，圆心在点 C(8, ).3分析：根据圆心和半径直接代入标准方程。解：(1) ；(2) ；52yx 22208)()8(yx(3) 方法一：圆的半径 ，圆心在点 C(8, )，5)31(5CPr 3圆的方程是 .2)3()(2yx方法二：圆心为 C(8, )，故设圆的方程为
9、，22)()8(ryx又点 P(5,1)在圆上， ， 。22)1(85(r5所求圆的方程是 .53)yx点拨：确定圆的标准方程只需要确定圆心的坐标和圆的半径即可，因此圆心和半径被称为圆的两要素。例 2 写出下列方程表示的圆的圆心和半径(1) ；yx(2) ( )；22)3(a0(3) ( ).)1byx分析：搞清圆的标准方程 ( )中，圆心为( )，半径为22)rbyx0ba,，本题易于解决r解：(1)圆心(0,0)，半径为 ； (2)圆心(3,0)，半径为 ；|(3)圆心( )，半径为 .1,2|b点拨：(2)、(3)两题 仅为半径的平方，没有给定 ，所以半径2,a 0,ba.|bar或探究
10、二 如何确定点与圆的位置关系？在平面直角坐标系中，圆一旦确定，该平面内的任何一点与圆的位置关系都确定下来那么该如何确定呢？想一想：初中学习圆的内容时，点与圆的位置关系有哪些？点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外。议一议：如何通过距离进行比较呢？其判断方法是看点到圆心的距离 d 与圆半径 r 的关系dr 时点在圆外议一议：如何通过方程进行比较呢？探究：以圆 为例，在圆上的点 都满足 221xy0(,)xy2201xy数形结合易知点 都在圆的内部，它们都满足1(0,)(,)23、 、 事实上若点 在圆22210()、 221()0(,)xy的内部，过点 作 轴的垂线，交圆于 ，
11、显然有 且 ，从0,xy01,xy01|y221而有 也就是说圆的内部的点 都满足 222010(,)0x数形结合易知点 都在圆的外部，它们都满足1(,),(,)65、 、 事实上若点 在圆的外部，2221()、22210(,)xy过点 作 轴或 轴的垂线，(1)若与圆有交点，则同理可得 ，(2) 若均与0,xyy 221圆无交点，则 ，从而也有 也就是说圆的外部的点00|1,|rr220xy都满足 0(,)22将圆替换为 ，结论同样成立2()()()xayb提升总结：点 在圆 上等价于 ；0(,)y20r2200()()(0)xaybr点 在圆 内部等价于 ；2()()() 点 在圆 外部等
12、价于 0,x2xayb2200温馨提示：点与圆的位置关系的比较有以上两种方法，几何法与代数法。例 3 写出以点 A(2, )为圆心， 5 为半径的圆的标准方程，并判断点 M(5, )，N(2,3 7)，P(10, )与该圆的位置关系19分析：先求出圆的标准方程，然后再判断。解：圆的标准方程为 .2)3()2(yx方法一：因为 ，所以点 M 在圆上rMA575|因为 ，所以点 N 在圆内N)1()(| 22因为 ，所以点 P 在圆外rP0930|方法二：因为 ，所以点 M 在圆上25)7()25(因为 ，所以点 N 在圆内41因为 ，所以点 P 在圆外0)39()0(22点拨：求点与圆心之间的距
13、离或将点的坐标代入方程是关键探究三 如何确定圆的标准方程的方法和步骤？想一想：圆的标准方程中有几个参变数？使用什么方法求解？议一议：圆的标准方程中含有三个参变数，必须具备三个独立的条件，才能定出一个圆的方程。当已知曲线为圆时，一般采用待定系数法求圆的方程提升总结：求圆的标准方程的一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为 22)()(rbyax(2)根据已知条件，建立关于 a，b，r 的方程组；(3)解此方程组，求出 a，b，r 的值； .(4)将所得的 a，b，r 的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程例 4 在平面直角坐标系中，求与 x 轴相交于 A(1,0)和 B(5
14、,0)两点且半径为 的圆的标5准方程.分析：设出标准方程进行求解或利用平面几何的知识求解。解：方法一：设圆的标准方程为 .5)()(22byax因为点 A，B 在圆上，所以可得到方程组： 解得 a=3，b=,)0()(122.1所以圆的标准方程是 或 .5)1()3(22yx 5)1()3(22yx方法二：由 A、B 两点在圆上，那么线段 AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线 上，于是可以设圆心为 C(3,b)，又 AC= 得：. 解得 b=1 或 b= 5)13(2b1因此，所求圆的标准方程为 或 . 5)()3(22yx 5)1()3(22yx点拨：
15、本题求解的核心就是求出圆心的坐标，待定系数法是最容易想到的办法；但用待定系数法计算有时会比较麻烦如果在求解有关这类问题时能够结合圆的有关几何性质来考虑（如垂径定理等），可以使思路比较直观而且计算会简洁些探究四 圆的标准方程的求解与应用例 5 已知一个圆 经过两个点 ，且圆心在直线 上，C(2,3)(,5)AB、 :230lxy求此圆的方程分析：已知三个条件，直接利用待定系数求出圆心坐标和半径即可可以直接代入、利用圆的性质、圆的定义进行等价转化解：方法一：设所求圆的方程为 22()()(0)xaybr由已知条件得： (*)22()3,5.abr两式相减得：2222222()()()()()()(
16、3)(5)0a ab展开整理得 240ab又圆心在直线 上，所以 :3lxy230ab联立方程得 解之得 ,.1,将其再代入(*)式中的任何一个方程，解得 2r故所求圆的方程为 22(1)()0xy方法二：因为 已知,3,5AB、所以 中点为 ， B(04)Ak从而 的中垂线方程为 ，即 2(0)yx240xy解方程组 得23,.x1,.所以圆心为 (1,)C从而圆 的半径 22|()3()10rA故所求圆的方程为 210xy方法三：因为圆心 在直线 上:l所以点 的坐标可表示为 (,)b又 ，所以 |CAB22223(3)3()(5)bb解得 2b从而圆心为 ，半径 (1,) 2210r故所
17、求圆的方程为 22()10xy点拨：三种方法都是利用待定系数法其中方法一是直接法，即将圆上的点的坐标代入圆的方程进行求解；方法二是利用圆的性质作等价转化，即弦的中垂线经过圆心转化求解；方法三是利用圆的定义作等价转化，即圆上的点到圆心的距离都相等上述三种方法都需要熟练掌握，其中利用圆的性质作等价转化既方便又快捷例 6 有一种商品， A，B 两地都有出售，且价格相同某地居民从两地之一购得商品后运回的费用：A 地每公里的费用是 B 地每公里费用的 3 倍已知 A，B 两地的距离是 10公里，顾客选择 A 地或 B 地购买这件商品的标准是包括运费和价格的总费用较低求 P 地居民选择 A 地或 B 地购
18、货总费用相等时，点 P 所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点?分析：本题是一个实际问题，要通过建立数学模型来解决，要判断曲线的形状，实际上是求曲线的方程，宜用解析法.解：如图 4-1-1-2 所示，以 A、B 所在的直线为 x 轴，线段 AB 中点为原点建立直角坐标系.AB=10，A( ,0)，B(5,0).5设 P(x,y)，P 到 A、B 所在购物费用相等时有：价格+A 地运费= 价格+B 地运费， ，22)5()(3yxayxa化简整理，得 .4145(1)当 P 点在以( ,0)为圆心， 为半径的圆上时，居民到 A 地或 B 地购货总费用 xyA BOP
19、 图 4-1-1-2相等.(2)当 P 点在上述圆内时， ，22)415()4(yx .0)(859)5( 222 yxyx ，故此时到 A 地购物最合算.)(3yx(3)当 P 点在上述圆外时，同理可知，此时到 B 地购物最合算.点拨：作为应用要注意领悟题目的实际意义，对于曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点，这实际是研究点与圆的关系问题.例 7 如果实数 x、y 满足方程 . 6)3()(22yx求(1) 的最大值与最小值；(2) 的最大值与最小值.分析：由题目可以获取信息点(x,y)在圆 上，故应考虑 与)()(22yxxy的几何意义，然后借助图形求解。yx解：(1)设 P(x
20、,y)，则 P 点的轨迹就是已知圆 C： . 6)3()(22而 的几何意义就是直线 OP 的斜率(O 为坐标原点)，如图 4-1-1-3 所示，x设 =k，则直线 OP 的方程为 .ykxy由图可知，当直线 OP 与圆相切时，斜率取最值.点 C 到直线 的距离 . xy1|3|2kd当 ，即 时，直线 OP 与圆相切. 61|3|2k 的最大值与最小值分别是 和 .xy23(2)设 ，则 ，由图知直线与圆相切时，截距 b 取最值.bbxy而圆心 C 到直线 的距离为 ，2|6|bd ，即 时，直线 与圆相切，62|b32xy 的最大值与最小值分别为 与 .yx632点拨：针对这个类型的题目一
21、般考虑所求式子的集合意义，然后利用数形结合的方法求出其最值。xyOP2P1C(3,3)图 4-1-1-3备选例题 栏目功能：供教师课堂选用编写要求：学生用书无此栏目，只教师用书有，供教师课堂选用，一般 23 个为宜.例 1 已知点 在圆 上，求 的值(41,2)Pa2(1)xya分析：本题是点与圆的位置关系问题，直接利用点与圆的位置关系的等价条件求解解：因为点 在圆 上,所以 ，化简得 22()(2063(21)03a解之得 或 1a30点拨：判断点在圆上、圆内、还是在圆外，一般是将点的坐标代入，并利用相应的等价条件求解，由于是等价条件，所以逆向应用求解参数范围的方法也一样例 2 设圆的方程为
22、 ，过点 的直线 交圆于点 ， 是坐标原点，24xy(0,1)MlAB、O点 为 的中点，当 绕点 旋转时，求动点 的轨迹方程PABl P分析：动点 为 的中点，所以点 是由点 而决定，另外点 又由点AB、的直线 来决定，找到最初的“动”是解决问题的关键。(0,1)Ml解：设点 的坐标为 、 (,)xy12(,)(,)Axy、因 在圆上，所以 、2214两式相减得 210所以 1212()().xxyy当 时，有 120x并且 1212,.xyx将代入并整理得 21()4xy当 时，点 的坐标为（0，2） 、 （0，2） ，这时点 的坐标为（0，0）也满12AB、 P足，所以点 的轨迹方程为
23、P1()4xy点拨：将所求点 坐标设为 ，相应的已知点 的坐标设为 ，再用 表, Q0(,)xyxy、示 即 ，然后代入已知点 满足的方程 ，消去 得到0xy、0(,)xghy 0f,0所求曲线的方程，体现设而不求思想本题是将 看作整体进行代121212,xyx换例 3 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O(如图 4-1-1-4 所示) 的东偏南 ( )方向 300km 的海面 P 处，并以102cos20kmh 的速度向西偏北 方向移动台风侵袭的范围为圆形区45域，当前半径为 60km，并以 l0kmh 的速度不断增大问几小时后图 4-1-1-4该城市开始受到台风的
24、侵袭？分析：建立适当的平面直角坐标系，将条件转化为圆的相关知识求解。解：如图 4-1-1-5 所示，建立坐标系：以 O 为原点，正东方向为 轴正方向x在时刻 (h)时，台风中心 的坐标为：t ),(yxP.20173,0tyx此时台风侵袭的区域是：，其中 .22)()(tryx601)(tr若在 时刻城市 O 恰好开始受到台风的侵袭，则有t，222)601()0()(t即 222 )601(.)01733 ttt，02862t解得， =12 或 =24t答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭点拨：解决本题的关键是实际问题转化为相应的数学模型，台风侵袭的区域是个圆面，将“城市 O 受到台风侵袭
25、” 这一条件转化为点 O 在圆上或圆内去解决问题，同学们在做题过程中要认真体会化归思想的妙用达标体验 栏目功能：供学生课内练习用，强化所学知识，体验成功的喜悦.编写要求：1.一般 56 个题为宜，要立足于本课所涉及的基础知识，基本技能和基本方法的训练，能使 80%的学生巩固所学基本要点，且能当堂处理完；2.题目的呈现顺序应与本课时知识点的出现顺序一致；3.难度控制好，应由易到难排列；4.学生用书留足学生的答题空，教师用书用解析、有答案；5.模拟题、高考题、课本练习题应注明题源.1圆 的圆心和半径分别为( )22(8)()10xyA B C D ,08,(8,)10(8,)101解析：根据圆的标
26、准方程的定义和参数的几何意义，直接写出圆心坐标和半径答案：D。2已知一圆的圆心为点 A(2, )，一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上，则3此圆的方程是( ).A 13 B 1322)3()yx 22)3()(yxC 52 D 52(图 4-1-1-52解析：由中点坐标公式得直径的两个端点为(4,0)，(0, )，所以半径6.13)0()4(22r答案：A。3在平面直角坐标系中，方程 的曲线形状是( ).01)4(2yxyxA一条直线和一个圆 B一条线段和一个圆C一条直线和圆的一部分 D一条线段和圆的一部分3解析：由题意得 或 ，且 .01yx2yxyx答案：C。4（2007 湖南 1
27、1）圆心为 且与直线 相切的圆的方程是 ()， 44解析：圆心 ，半径 ，所求圆的方程为(1)， 2|1|r。2()1(2yx答案： )1()5（2006 全国理 15）过点 的直线 将圆 分成两段弧，(,2)l2()4xy当劣弧所对的圆心角最小时，直线 的斜率l_.k5 解析：由题设知此直线应与过点(1, )与圆心的直线垂直. ，所以 .210k 21k答案：6已知点 (1)求以 为直径的圆 的标准方程；(2)已知点(3,5)7,2)AB、ABC，若点 在圆 上，求 的最大值和最小值5(3,)2PQC|PQ6解：(1)以 为直径的圆 方程为 ，即(3)7(5)20xy，配方化为标准方程是 107310xy2(2)由 及圆心 ，知 ，所以 ，5(,)2P7(,)2|65PCmax5|62PQCrmin|6QCr反思感悟 栏目功能：认真总结本课时所接触的数学思想、数学方法，不要求面面俱到，但必须把本课时的核心问题进行提炼、升华，用精练的语言表述出来，以便学生能对本节所学知
