1、题目 第七章直线和圆的方程圆的方程高考要求 1 掌握圆的标准方程和一般方程 2 了解参数方程的概念 理解圆的参数方程 3 掌握圆的方程的两种形式并会根据具体情况选择其中的一种解题;4 掌握圆系方程并会运用它解决有关问题;5 灵活运用圆的几何性质解决问题知识点归纳1圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆2 圆的标准方程圆心为（a，b） ，半径为 r 的圆的标准方程为 22)()(rbyax方程中有三个参量 a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆3 圆的一般方程二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0（ *）配方得（x+ ） 2+（ y+ ） 2=DE42D把方程 )04(02
2、FE其中，半径是 ，圆心坐标是 叫做圆的一般方程2FrD，（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x 2、y 2 项系数相等且不为零 没有 xy 项（2）当 D2+E24F=0 时，方程（*）表示点（ ， ） ；E当 D2+E24F0 时，方程（ *）不表示任何图形（3）根据条件列出关于 D、 E、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程4 圆的参数方程圆心在 O（0，0） ，半径为 r 的圆的参数方程是：cos()inxry是 参 数圆心在点 ，半径为 的圆的参数方程是：baC， r)(sinco是 参 数ryx在中消去 得 x2+y2=r2，在中消去 得（xa） 2+（yb） 2=r2，
3、把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程5 二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件若二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆，则有 A=C0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分在 A=C0，B=0 时，二元二次方程化为 x2+y2+ x+ y+ =0，ADEF仅当 D2+E24AF0 时表示圆故 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是：A= C0， B=0，D 2+E24AF06 线段 AB 为直径的圆的方程： 若 ，则以线段 AB 为直径的圆的方),(),(21yxB，程是 )()(
4、2121 yx7 经过两个圆交点的圆系方程：经过 ，011FyExDx的交点的圆系方程是：0222FyExDyx )(22211yxyx在过两圆公共点的图象方程中，若 =1，可得两圆公共弦所在的直线方程8 经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线 与圆0CByAxl：的交点的圆系方程是：02FEyDxy 0)(CByAx9 确定圆需三个独立的条件（1）标准方程： ， 22)()(rbax半半rba),(（2）一般方程： ， （0FEyDy )042FED,),(半ED24r题型讲解 例 1 (1)求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2xy3=0 上的圆的方程;(2)求以 O(0,0
5、),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形 OAB 外接圆的方程解：(1)设圆心 P(x0,y0),则有 ,20202020 )()3()()5(3yxyx解得 x0=4, y0=5, 半径 r= , 1所求圆的方程为(x4) 2+(y5)2=10(2)采用一般式,设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=2, E=4, F=0点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式例 2 设 A（ c，0） 、B（c，0） （c0）为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a（a0） ，求 P 点的轨迹分析：给曲线建立方程是解析
6、几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题解：设动点 P 的坐标为（x ，y ） ，由 =a（a0 ）得 =a，|BA2)(c化简，得（1a 2）x 2+2c（1+ a2）x +c2（1a 2）+（1a 2）y 2=0当 a=1 时，方程化为 x=0当 a1 时，方程化为 =22()2()c所以当 a=1 时，点 P 的轨迹为 y 轴；当 a1 时，点 P 的轨迹是以点（ c，0）为圆心，| |为半径的圆12a12ac点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数
7、式的运算化简能力有较高要求同时也考查了分类讨论这一数学思想例 3 一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3y=0 上，且直线 y=x 截圆所得弦长为2 ，求此圆的方程7分析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形解：因圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x3y =0 上，故设圆方程为 22(3)()9xbyb又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 ，7则有 + =9b2，2|()(解得 b=1 故所求圆方程为或22(3)()9xy22(3)(1)9xy点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）
8、建立方程求得a、b、r 或 D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数例 4 已知O 的半径为 3，直线 l 与O 相切，一动圆与 l 相切，并与O 相交的公共弦恰为O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程分 析 ： 问 题 中 的 几 何 性 质 十 分 突 出 ， 切 线 、 直 径 、 垂 直 、 圆 心 ， 如 何 利 用 这 些 几 何性 质 呢 ？解：取过 O 点且与 l 平行的直线为 x 轴，过 O 点且垂直于 l 的直线为 y 轴，建立直角坐标系MCBAoyx设动圆圆心为 M（x，y） ，O 与M 的公共弦为 AB， M 与 l 切于点 C，则|MA|=|MC|A
9、B 为O 的直径，MO 垂直平分 AB 于 O由勾股定理得|MA |2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC |=|y+3|， =|y+3|92x化简得 x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”例 5 已知 y 轴右侧一动圆 与一定圆 外切，也与 y 轴相切1C4)2(:yx（1）求动圆 圆心 M 的轨迹 C； 1（2）过点 T（2，0）作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点，求一点 ，使得)0,(xE是以点 E 为直角顶点的等腰直角三角形AB解（1）由题意知动点 M 到定点（2,0）与到定直线 的距离相等，则动点 M 的2x轨迹
10、是以定点（2,0）为焦点，定直线 为准线的抛物线所以点 M 的轨迹方程为2x.82xy又点 M 在原点时，圆并不存在，所以，动点 M 的轨迹 C 是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线，除去原点（2）设直线 22:,8,16lxmyxym代 入 得 ).(10642 或解 之 得设 的两个实数根，由韦达定理得122(,)(,),AxyBy则 是 方 程，821my所以，线段 AB 的中点坐标为 ),4(2mF而 ,118)(1| 221212 yyAB轴上存在一点 E，使AEB 为以点 E 为直角顶点的等腰直角三角形，x ，且 FAB直线 EF 的方程为： )4(42mxy令 得 E
11、 点坐标为 ，则 0y)0,(21|2F所以 .118422m解之得 ，则 E 点坐标为（10,0）例 6 已知圆 C 的圆心在直线 xy4=0 上,并且通过两圆 C1:x2+y24x3=0 和C2:x2+y24y3=0 的交点,(1) 求圆 C 的方程; (2)求两圆 C1 和 C2 相交弦的方程解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为： x2+y24x3+(x 2+y24y3)=0,即 (1+)(x 2+y2)4x4y33=0,即 =0,314yxyx圆心为 ( , ),1由于圆心在直线 xy4=0 上, 4=0, 解得 =1/32所求圆的方程为：x 2+y26x+2y3=
12、0(2)将圆 C1 和圆 C2 的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程点评：学会利用圆系的方程解题例 7 求过直线 2x+y+4=0 和圆 x2+y2+2x4y+1=0 的交点,且面积最小的圆的方程解法一：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直径端点的圆，于是解方程组 0142yx得交点 A(11/5,2/5), B(3,2),利用圆的直径式方程得:(x+11/5)(x+3) +(y2/5)(y2)=0,化简整理得 (x+13/5)2+(y6/5)2=4/5解法二: (运用曲线系方程)设过直线与用圆的交点的圆的方程为x2+y2+2x4y+1+(2x+y+4)=0, 即 (x+
13、1) 2+(y+ )2=445要使圆面积最小，必须半径最小，由于 r= = = ,452516)8(252当且仅当 =8/5 时，r 最小 故所求圆的方程是 (x+13/5)2+(y6/5)2=4/5例 8 求圆 关于直线 的对称圆方程241390xy340xy解：圆方程可化为 , 圆心 O(-2,6),半径为 1226y设对称圆圆心为 ，则 O与 O 关于直线 对称，(,)ab5xy因此有 解得2345061a3265ab所求圆的方程为223615xy点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心) 的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等例 9 设方程 ，若该方程表示一个2 24()()90ymym圆
14、，求 m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程解：配方得： 22 2(3)(14)67x该方程表示圆，则有，得 ，21670(,)7m此时圆心的轨迹方程为 ，消去 m，得 ，2314xy 24(3)1yx由 得 x=m+31(,)7m0,7所求的轨迹方程是 ，24(3)1yx0,47x点评：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中 20,47x例 10 已知圆 x2+y2=16,A（2，0） ，若 P,Q 是圆上的动点，且 ，求 PQ 中APQ点的轨迹方程解：设 PQ 中点 M 的坐标为（x,y） ，由已知圆的参数方程，可设 ， ，14cos,inP224cos,inQ-
15、212iixy 12128cossinxy（1）又 ， ， ，APQ1PAQK124sinsicoc化简得 1212124sincos 1x代入（1）式，得 ，8()xyx所以所求轨迹方程为 260小结：1 不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r 或 D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于 a、b、r（或 D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值2 求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程） ；（2）根据所给条
16、件，列出关于 D、E、F 或 a、b、r 的方程组；（3）解方程组，求出 D、E、 F 或 a、b、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程3 解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题学生练习 1 方 程 x2+y2 2（ t+3） x+2（ 1 4t2） y+16t4+9=0（ t R） 表 示 圆 方 程 ， 则 t 的 取 值 范 围 是A10，得 7t26t10） ，下列结论错误的是A 当 a2+b2=r2 时，圆必过原点 B 当 a=r 时，圆与 y 轴相切C 当 b=r 时，圆与 x 轴相切 D 当 bE，则 D=（ ）230xyEA B C 1 D 2
17、12答案: D11M（3，0）是圆 内一点，过 M 点最长的弦所在的直线方程8xy是（ ）A B xy30C D 26026xy答案: B12过点 C(-1，1)和 D（1，3） ，圆心在 x 轴上的圆的方程是_答案: （x-2） 2+y2=1013 方程 表示的曲线是_2()xy答案：两个半圆14已知圆 C 的圆心在直线 上，与直线 相切，且截直1:0lxy2:4310lxy线 所得弦长为 6，则圆 C 的方程：_3:40lxy（答案： ）22515过点 A（1，2）和 B（1，10）且和直线 相切的圆方程为_210xy答案: （x-3） 2+（y-6） 2=80 或（x+7） 2+（y-6
18、） 2=8016圆 上到直线 的距离等于 1 的点有_个39xy34答案: 217已知 BC 是圆 的弦，且 ，则 BC 的中点的轨迹方程是25xy6BC_答案: x 2+y2=1618 圆 关于点（1，1）的对称圆方程是_430yxq答案: （x-4） 2+（y+4 ） 2=40-3q19 圆 关于 y 轴对称的圆的方程是_p答案: 20xyq20 将 圆 x2+y2=1 按 向 量 平 移 得 到 圆 （ x+1） 2+（ y 2） 2=1，则 的坐标为_a a解：由向量平移公式即得 =（1，2）答案：（1，2）21 已知 P（1，2）为圆 x2+y2=9 内一定点，过 P 作两条互相垂直
19、的任意弦交圆于点 B、C，则 BC 中点 M 的轨迹方程为_解：Rt OMC 中，| MP|= |BC|（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）1故所求轨迹方程为 x2+y2x 2y2=0答案： x2+y2 x2 y2=022已知直线 与 x 轴和 y 轴分别交于 A，B ，求以线段 AB 为直径的圆的方程4答案: （x+1） 2+（y-2） 2=523 直线 y=k（x-3）+4 与曲线 有一个交点，求实数 k 的取值范围214x解：直线 y=k（x-3）+4 过定点 P（3，4） ，曲线 214yx化为 x2+（y-1） 2=4 ,因为 A（2,1）,B（-2,1）()y所以可得 ，又设 lPC: y-4=k（x-3 ）即 kx-y+4-3k=0,3,5PABk由 得 或 （舍）2141230k15230k综上所述，所求实数 k 的取值范围是： 或5k24 方程 表示圆，求实数 a 的取值范围，并求出其中半径最24(1)0axyaxy小的圆的方程解：原方程可化为22()4()()aa当 a 时，原方程表示圆20,a又 222(4)4() aar 当 ，所以半径最小的圆方程为min,a 221xy课前后备注
