1、直线、圆的方程一 【课标要求】1直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式） ，体会斜截式与一次函数的关系；2圆与方程回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。二 【命题走向】直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定
2、圆的方程。预测 2010 年对本讲的考察是：（1）2 道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程三 【要点精讲】1倾斜角：一条直线 L 向上的方向与 X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 ,0。2斜率：当直线的倾斜角不是 900 时，则称其正切值为该直线的斜率，即 k=tan;当直线的倾斜角等于 900 时，直线的斜率不存在过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x 2)的直线的斜率公式:k=t an 12xy（若 x1x 2，则直线 p1p2 的斜率不
3、存在，此时直线的倾斜角为 900） 。4直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称 方程 说明 适用条件斜截式 y=kx+b k斜率b纵截距 倾斜角为 90的直线不能用此式点斜式 y-y0=k(x-x0) (x0，y 0)直线上已知点，k斜率 倾斜角为 90的直线不能用此式两点式 12= 12(x1，y 1)，(x 2，y 2)是直线上两个已知点 与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式 ax+ by=1 a直线的横截距b直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式 Ax+By+C=0 BA， C，
4、 分别为斜率、横截距和纵截距 A、B 不能同时为零直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于 x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。5圆的方程圆心为 ),(baC，半径为 r 的圆的标准方程为： )0()()(22rbyax。特殊地，当 0时，圆心在原点的圆的方程为： r。圆的一般方程 02FEyDxy，圆心为点 )2,(ED，半径42FEDr，其中 42。二元二次方程 022 FEyxCyBxA，表示圆的方程的充要条件是：、 2x项 y项的系数相同且不为 0，即 A； 、没有 xy 项，即 B=0；、04FED。四
5、【典例解析】题型 1：直线的倾斜角例 1 （2008 四川理，4） 直线 3yx绕原点逆时针旋转 09，再向右平移个单位，所得到的直线为( A )（） 1 （） 13yx （）3yx（） x【解】：直线 3y绕原点逆时针旋转 09的直线为 13yx，从而淘汰（） ， （D ）又将 1x向右平移个单位得 ，即 13 故选A；【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减” ；点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力图例 2(上海文，18)过圆 22(1)()1Cxy： 的
6、圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B， O被圆分成四部分（如图） ，若这四部分图形面积满足 |,SS则直线AB 有（ ）（A） 0 条 （B） 1 条 （C） 2 条 （D） 3 条【解析】由已知，得： ,IVIIISS，第 II，IV 部分的面积是定值，所以， II为定值，即 II为定值，当直线AB 绕着圆心 C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB 只有一条，故选 B。【答案】B题型 2：斜率公式及应用例 3全国文 16）若直线 m被两平行线 12:0:30lxylxy与 所截得的线段的长为 ，则 的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 .（写
7、出所有正确答案的序号）【解析】解：两平行线间的距离为 21|3|d，由图知直线 m与 1l的夹角为 o30，1l的倾斜角为 o45，所以直线 m的倾斜角等于 07540o或 05o。【答案】（2）已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作y 轴的平行线与函数 ylog 2x 的图象交于 C、D 两点。（1）证明点 C、D 和原点 O 在同一条直线上。（2）当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标解析：（1）如图，实数 x，y 满足的区域为图中阴影部分（包括边界） ，而yx0表示点（x ，y ）与原点连线的斜率，则直线 AO 的斜率最大，
8、其中 A 点坐标为y B P（ 2， 1） O A x 132，此时 kOA32，所以 yx的最大值是 32。点评：本题还可以设 ，则 yk，斜率 k 的最大值即为yx的最大值，但求解颇费周折。（2）证明：设 A、B 的横坐标分别为 x1，x 2，由题设知 x11，x 21，点A（x 1， log8x1） ，B（x 2，log 8x2）.因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以 2818logl，又点 C、D 的坐标分别为（x 1，log 2x1） ， （x 2，log 2x2）由于 log2x1 lo813log 8x1，lo g2x2 lo83lo g8x2，所以 OC 的斜率和 OD 的
9、斜率分别为 2821812 l3l,l3l xkxkODOC 。由此得 kOCk OD，即 O、C、 D 在同一条直线上。由 BC 平行于 x 轴，有 log2x1lo g8x2，解得 x2x 13将其代入 2818lol，得 x13log8x13x 1log8x1.由于 x11，知 log8x10，故 x133x 1，x 1 ，于是点 A 的坐标为（ 3，log 8 ）.点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力点评：也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。但将问题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰
10、。题型 3：直线方程例 4已知直线的点斜式方程为 yx1342，求该直线另外三种特殊形式的方程。解析：（1）将 移项、展开括号后合并，即得斜截式方程2543xy。（2）因为点（2，1） 、 （0， 52）均满足方程 yx1342，故它们为直线上的两点。由两点式方程得： yx1即 yx132（3）由 452知：直线在 y 轴上的截距 b52又令 y0，得 x13故直线的截距式方程 52点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。例 5直线 l经过点
11、P（-5，-4） ，且与两坐标轴围成的三角形面积为 5，求直线 l的方程。解析：设所求直线 l的方程为 1byax，直线 l过点 P（-5，-4） ， 54，即 5ab。又由已知有 12ab，即 0，解方程组450，得： ab24或 5故所求直线 l的方程为： xy521，或 xy51。即 8520xy，或 0点评：要求 l的方程，须先求截距 a、b 的值，而求截距的方法也有三种：（1）从点的坐标 a， 或 ， 中直接观察出来；（2）由斜截式或截距式方程确定截距；（3）在其他形式的直线方程中，令 x0得 y轴上的截距 b；令 y0得出 x 轴上的截距 a。总之，在求直线方程时，设计合理的运算途
12、径比训练提高运算能力更为重要。解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。题型 3：直线方程综合问题例 5 （重庆理，1）直线 1yx与圆 21y的位置关系为（ ）A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离【解析】圆心 (0,)为到直线 ，即 0x的距离 12d，而201，选 B。【答案】B【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；【突破】：数形结合，使用点 C到直线 l的距离距离公式例 6 （天津文，14）若圆 42yx与圆 )0(622ayx的公共弦长为32，则 a=_.【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ay1 ，利用圆心（0，0）到直线
13、的距离 d 1|a为 322，解得 a=1.【答案】1（2）已知动圆过定点 P（1，0） ，且与定直线 l：x=1 相切，点 C 在 l 上。（）求动圆圆心的轨迹 M 的方程；（）设过点 P，且斜率为 3的直线与曲线 M 相交于 A、B 两点。（i）问：ABC 能否为正三角形？若能，求点 C 的坐标；若不能，说明理由；（ii）当ABC 为钝角三角形时，求这种点 C 的纵坐标的取值范围。（）解法一，依题意，曲线 M 是以点 P 为焦点，直线 l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为 y2=4x.解法二：设 M（x，y） ，依题意有|MP |=|MN|，所以|x+1|= 2)1(。化简得：y 2=
14、4x。（） （i）由题意得，直线 AB 的方程为 y= 3（x1）.由 .4),(32xy消 y 得 3x210x +3=0， 图解得 x1= 3，x 2=3。所以 A 点坐标为（ 3,） ，B 点坐标为（3，2 3） ，|AB|=x1+x2+2= 6。假设存在点 C（1，y ） ，使ABC 为正三角形，则| BC|=|AB|且|AC |=|AB|，即.)36(2()3( ,122y由得 42+（y+2 ） 2=（ 4） 2+（y 3） 2，解得 y= 931。但 y= 4不符合，所以由，组成的方程组无解因此，直线 l 上不存在点 C，使得ABC 是正三角形。（ii）解法一：设 C（1，y）使
15、ABC 成钝角三角形，由 .1),(3xy得 y=23，即当点 C 的坐标为（1，2 3）时，A、B 、C 三点共线，故 y2 3。又|AC |2=（1 ） 2+（y ） 2= 3498+y2，|BC|2=（3+1） 2+（y+2 3） 2=28+4 y+y2，|AB|2=（ 6） 2= 95。当CAB 为钝角时，cosA= |2|22ACB|AC|2+|AB|2，即 925634928348yy，即 y 39时，CAB 为钝角当|AC |2|BC|2+|AB|2，即 925634283498yy，即 y|AC|2+|BC|2，即 22348349856yy，即 0)(,03422 yy。该不
16、等式无解，所以ACB 不可能为钝角因此，当ABC 为钝角三角形时，点 C 的纵坐标 y 的取值范围是)32(9310yy或。解法二：以 AB 为直径的圆的方程为（x 5） 2+（y+ 3） 2=（ 8） 2。圆心（ 32,5）到直线 l：x =1 的距离为 8，所以，以 AB 为直径的圆与直线 l 相切于点 G（1， 32） 。当直线 l 上的 C 点与 G 重合时， ACB 为直角，当 C 与 G 点不重合，且 A、B 、C 三点不共线时，ACB 为锐角，即 ABC 中，ACB 不可能是钝角。因此，要使ABC 为钝角三角形，只可能是CAB 或CBA 为钝角过点 A 且与 AB 垂直的直线方程
17、为 )31(32xy。令 x=1 得 y= 932。过点 B 且与 AB 垂直的直线方程为 y+2 3（x 3） 。令 x=1 得 y= 30。又由 .),1(x解得 y=2 ，所以，当点 C 的坐标为（1 ，2 3）时，A、B 、C 三点共线，不构成三角形。因此，当ABC 为钝角三角形时，点 C 的纵坐标 y 的取值范围是 y932（y2 ） 。点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、
18、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。题型 4：圆的方程例 7 （1）已知ABC 的三个项点坐标分别是 A（4，1） ，B（6，3） ，C（3，0） ，求ABC 外接圆的方程。分析：如果设圆的标准方程 22()()xaybr，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数 a，b，r，写出圆的标准方程；如果注意到ABC 外接圆的圆心是ABC 三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标和半径，也可以写出圆的标准方程。解法一：设所求圆的方程是 22()()xyr因为 A（4，1） ，B（6，3） ，C （3，0）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于
19、是 22()(),30.abr可解得 21,35.abr所以ABC 的外接圆的方程是 (1)()xy。解法二：因为ABC 外接圆的圆心既在 AB 的垂直平分线上，也在 BC 的垂直平分线上，所以先求 AB、BC 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标。 31264ABk， 0(3)6BCk，线段 AB 的中点为（5，1） ，线段 BC的中点为 (,)，AB 的垂直平分线方程为 1(5)2yx，ExyOCBA图 41BC 的垂直平分线方程 3()2yx解由联立的方程组可得 1,. ABC 外接圆的圆心为（1，3） ，半径 22|(41)(3)5rAE。故ABC 外接圆的方程是 xy点评：解
20、法一用的是“待定系数法” ，解法二利用了圆的几何性质（2）求过 A（4，1） ，B（6，3） ，C （3，0）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：细心的同学已经发现，本题与上节例 1 是相同的，在那里我们用了两种方法求圆的方程现在再尝试用圆的一般方程求解（解法三） ，可以比较一下哪种方法简捷。解析：设圆的方程为 20xyDEF因为三点 A（4，1） ，B（6，3） ，C （3，0）都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标分别代入方程，得到关于 D，E ，F 的一个三元一次方程组：2()300DEF，解得2615。所以，圆的方程是 2615xy。圆心是坐标（1，3） ，半径为 24rF。点评：“待定系数法”是求圆的方程的常用方法 一般地，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程方便些例 8若方程 xymxym2 2431690()()。（1）当且仅当 在什么范围内，该方程表示一个圆。（2）当 在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程。解析：（1）由 xyxy2 24()()，27614)3( mm，当且仅当 6702时，即 |1时，给定的方程表示一个圆。（2）设圆心坐标为 ()xy， ，则xm341712()（ m为参数） 。
