1、直线与圆的方程复习指导（二）一 热点剖析直线与圆是最基本的图形，有关直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题型在考试中出现较多空间直角坐标系及空间两点之间的距离常与空间向量结合出现与圆有关的应用问题也是考查的热点，既有基本知识的应用，又有综合运用知识分析问题、解决问题的综合应用二 圆的方程1确定圆的方程的条件圆的标准方程 中，有三个参数 ，只要求出 ，圆的22()()xaybrabr，abr，方程就被确定因此确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于 的方程组求 ，或abr，abr，直接求出圆心 和半径 ，一般步骤为：(
2、)ab，r（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为 ；22()()xaybr（2）根据已知条件，建立关于 的方程组；abr，（3）解方程组求出 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的，方程2点 与圆的位置关系0()Pxy，若 ，则点 在圆上；若 ，则点 在圆外；22abrP2200()()xaybrP若 ，则点 在圆内00()()xy3二元二次方程 是否表示圆的条件20xyDEF先将二元二次方程配方，得 （ ）2224DEFxy （1）当 时，方程（ ）表示以 为圆心，240DEF2，为半径的圆；2（2）当 时，方程（ ）表示点 ；2402DE，（3）当 时，方程（ ）没有实根，因此它
3、不表示任何图形DEF当方程（ ）表示圆时，我们把它叫做圆的一般方程，确定它需要三个独立条件，且 ，这就确定了求圆的方程的方法待定系数法F，240注意：用待定系数法求圆的方程，用一般形式比用标准形式在运算上简单，前者解的是三元一次方程组，后者解的是三元二次方程组4直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定的方法有两种（1）代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究若有两组不同的实数解，即 ，则相交；若有两组相同的实数解，即 ，则相切；若无实0 =0数解，即 ，则相离（2）几何法：由圆心到直线的距离 与半径 的大小来判断：当 时，直线与圆相drdr交；当 时，直线与圆
4、相切；当 时，直线与圆相离dr注意：为避免运算量过大，一般不用代数法，而是用几何法5直线与圆相切，切线的求法（1）当点 在圆 上时，切线方程为 ；0()Pxy，22xyr20xyr（2）当点 在圆 上，2()()abr则切线方程为 ；00()xy（3）斜率为 且与圆 相切的切线方程为 k22r21ykxr提示：斜率为 且与圆 相切的切线方程的求法，可以设切线为2()()xaybr，然后变成一般式 ，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求ykxm0km（4）点 在圆外，则设切线的方程为 ，变成一般式后，利用0()Py， 00()ykx圆心到直线的距离等于半径，解出 ，注意若此方程只有一个实根，则
5、还有一条斜率不存k在的直线，不要忽略6圆与圆的位置关系从交点个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论比如两圆只有一个交点时，虽然相切，但是是外切还是内切就很难分清楚所以判断两圆的位置关系通常还是从圆心距与两圆半径的关系下手，设两圆的圆心分别为 ，半径分别为12O，圆心距 ，则两圆相离 ；两圆外切 ；两圆相交12r，12Od12drdr；两圆内切 ；两圆内含 ；两圆是同心圆r1200d7直线和圆的方程的应用用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后对坐标和方程进行代数运算，最后把代数运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解
6、决几何问题的“三部曲” 第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素将平面几何问题转化为代数问题第二步：通过代数运算，解决代数问题第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论三 空间直角坐标系1空间直角坐标系的建立（1）在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置；在坐标平面上，一对有序实数）才能确定一个点的位置；在空间确定一个点的位置需要三个实数，如要确定一架()xy，飞机在空中的位置，我们不仅要指出地面的经度、纬度，还需要指出飞机距地面的高度如右图， 是单位正方体，以 为原点，分别以射线 的1OABCDO1OACD，方向为正方向，以线段 的长为单位长，建立三条数轴： 轴、 轴、 轴
7、，这时我们说xyz建立了一个空间直角坐标系 ， 轴、 轴、 轴叫做坐标xyzyz 轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， yz平面、 平面zx（2）在平面上画空间直角坐标系 时，一般使Oz 13590xOyz，2空间直角坐标系中点的坐标如右图，设 为空间一个定点，过 分别垂直于 轴、MMx 轴、y轴的平面，依次交 轴、 轴、 轴于点 设点zxyzPQR，和 在 轴、 轴和 轴上的坐标分别为 ，那么点PQ，Ryz就对应唯一的有序数组 ，记作 其中()z，()x，也可称为点 的坐标分量xyz，M反之，任意三个实数的有序数组 ，就能确定空间一个点与之对应我们可以()yz，在 轴、
8、轴、 轴上依次各取坐标为 的点 ，分别过 各作一个平xyzxPQR，PQR，面，分别垂直于 轴、 轴、 轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组 确xyz ()xyz，定的点 M这样，我们就在空间任意一点 与一个有序实数组（点的坐标）之间建立起了一一对M应的关系 ,xyz其中 叫做点 的横坐标，也叫点 的 坐标； 叫做点 的纵坐标，也叫点 的xyMM坐标； 叫做点 的竖坐标，也叫点 的 坐标yz z平面（通过 轴和 轴的平面）是坐标形如 的点构成的点集，其中xOxy(0)，为任意实数；，平面（通过 轴和 轴的平面）是坐标形如 的点构成的点集，其中zzyz为任意实数；y平面（通过 轴和 轴的平面）是坐标形如 的点构成的点集，其中 为xx(0)x， xz，任意实数轴是坐标形如 的点构成的点集，其中 为任意实数；(0)，轴是坐标形如 的点构成的点集，其中 为任意实数；yyy轴是坐标形如 的点构成的点集，其中 为任意实数z(0)z， z3.空间两点间的距离公式是平面两点间的距离公式的推广式，推导原理是直角三角形中的勾股定理空间任意一点 到原点 的距离 ()Pxyz，O22Pxyz空间任意两点 之间的距离122()ABxyz221 1()()ABxyz
