1、2017 届河北省邯郸市高三上学期质量检测数学（理）试题 数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数 满足 ，则 等于（ ）z341izA B C D7i7i7i7i2.设集合 ，则 等于（ ）40,3xxBxABA B C D0,4,911,93. 若 ，则 的值为（ ）tansi2tan6A B C. D 353573194.已知 为数列 的前 项和，若 且 ，则 等于（ ）nSnaa2nS4aA6 B12 C. 16 D245. 直线 与双曲线 的左支、右支分别交于 两
2、点， 为坐标2yb210,xybaBC、 O原点，且 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）OA B C. D5235356.若函数 在区间 上递减，且 ，则（ ）20.2log4fxx1,a0.2lg.,bcA B C. Dcbabcabcac7.若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 .下面程NmnmodNn1mod4序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理.执行该程序框图，则输出的 等于i（ ）A4 B8 C. 16 D328.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A6 B9 C. 12 D189.设 满足约束条件 若 ，则 仅在点 处取得最大值,xy2
3、60,1,xy2,9azaxy74,3的概率为（ ）A B C. D917165110.已知抛物线 的焦点为 ，点 为 上一动点，2:04CypxFPC，且 的最小值为 ，则等于（ ）4,0,PA5A4 B C. 5 D729211.已知 这 3 个0sin3cos,2cos,6fxgafxaxgxh， ，函数在同一直角坐标系中的部分图象如下图所示，则函数 的图象的一条对称轴方程可以为（ ）A B C. D6x136x231x291x12.已知函数 若关于 的方程 存在 2 个实数根，则 的取3,12xfx=fxaa值范围为（ ）A B C. D 24,0,40,24,3,40,第卷（共 90
4、 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 的系数为 1x2x14.随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为 ，已知向量 ，m,12,4ABmC设 ，则 的数学期望 XABCXEX15.在公差大于 1 的等差数列 中，已知 ，则数列 的前 20 项na21231064,6aana和为 16.已知四面体 的每个顶点都在球 的表面上， , 底面DO5,8ABCAD， 为 的重心，且直线 与底面 所成角的正切值为 ，则球 的表面ABCGG12O积为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题
5、满分 10 分）在 中，内角 的对边分别是 ，已知 .ABCBC、 、 abc、 、 222sinisinABC（1 ）若 ，求 的面积；24baA（2 ）求 的最小值，并确定此时 的值.cc18. （本小题满分 12 分）已知某企业近 3 年的前 7 个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1 ）试问这 3 年的前 7 个月中哪个月的平均利润最高？（2 ）通过计算判断这 3 年的前 7 个月的总利润的发展趋势；（3 ）试以第 3 年的前 4 个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第 3 年 8 月份的利润.相关公式： .1122,nniiii ii iixyxybaybx1
6、9. （本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和 ，且 成等比数列.na2nSp2510,a（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）若 ，求数列 的前 项和 .2140nnbanbnT20. （本小题满分 12 分）四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ，PABCDABPABCD， 为线段 上一点，且 ，点 分别为线32， E:72E： FGM、 、段 的中点.、 、（1 ）求证： 平面 ；（2 ）若平面 与直线 交于点 ，求二面角 的余弦值.EFGNPMNA21. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的焦距为 2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为2:1xyCab，过椭圆 的右焦点作斜率为
7、的直线 与椭圆 相交于 两点，线段 的中430klCAB、 AB点为 .P（1 ）求椭圆 的标准方程；C（2 ）过点 垂直于 的直线与 轴交于点 ，且 ，求 的值.PABxD327Pk22. （本小题满分 12 分）已知函数 .2lnl1fxaxaR（1 ）若 ，求证： ；2l2lnfx（2 ）若 ，求 的最大值；20000,a（3 ）求证：当 时， .1xfa试卷答案一、选择题1.A .13417iiiz2.A , .09AxBx04ABx3.C ， .tan4si602323tan60714.B ， ， ， ， .21S121nnS4312aS5.B 由 为等腰直角三角形得， ， .联立
8、与 得ABC45ABOOBk2yb2xy,点 的坐标为 ，则 ，5xa5,2ab2ab2531ea6.D 结合复合函数的单调性可得 的递减区间为 ，20.2log54fxx1,， ，又 ， .1,2a01a0.,bcbc7.C 2,3,mod;4,7,2mod3,2od5;8,25,1mod3;ininnin ，则输出 .16,4,23,15i 16i8.B 该几何体是一个直三棱柱切去右上方 部分所得，如下图所示，其体积为4.3142=99.B 作出不等式组表示的可行域，可知点 为直线 与 的交743， 260xy10xy点，所以数形结合可得直线 的斜率 ，即 .故由几何概型可得所求概zaxy
9、a率为 .927110.D 设 ，2,0,Pmnpm则 2244A，22816164ppp当 （ ， ）时， 取得最小值m00PA216415p又 ，则 .易知点 在抛物线 上，则 .04p3BC392pBF11.C ，由 得 ，2sinfxaxmax2f 1a ，i3f，由图可知, 在 处没有意义的是曲线 的图象, 而 的图2cos6gx3xhxgx象在 上的第一个最高点为 ,从而, 的图象为在 上先增后减,026g,02的曲线,剩下的那条曲线就是 的图象.fx ， ,12362T ，sin,sin63fxxhxk ，52i2i6412gh令 5=+11xkxkZ故选 C.12.B 设 33
10、+4,1,21,xgxf x当 时， 递增，1gx当 时， ， 递减， .x210gx24,0gx当 时， ， 递减， .23g ,作出 的图象，由图可知，当 存在 2 个实数根. ,4,2afa13. 的展开式中 的项为 .105x2x32510Cx14. 4 ， ，,3ACBXABm 的分布列为X .1357946EX15. ， . ， .82510=6aa512=64a18当 ，不合题意.当 ， .1,d18,d53n故数列 的前 20 项和为 .n 738216. 取 的中点 ，连接 ，则 ，因为6349BCEA225433GAE底面 ，所以直线 与底面 所成角为 ，则 ，ADDBCD
11、1tanADG所以 ，设 外接圆的半径为 ，则 ，所以1Ar5223sin6rAB，从而球 的表面积为 .22634ODrO2449D17.（ 1）由正弦定理可得 ，22abc ， ，24ba6c由余弦定理可得 ， ，1os4C15sin4 的面积为 .ABi2ab（2 ） ，2cab ，当且仅当 ，即 时取等号，caba2此时 ，即 ，224c故 的最小值为 ，此时 .ca18.解：(1) 由折线图可知 5 月和 6 月的平均利润最高.(2)第 1 年前 7 个月的总利润为 (百万元)，12357428第 2 年前 7 个月的总利润为 (百万元)，=31第 3 年前 7 个月的总利润为 (百
12、万元)，46这 3 年的前 7 个月的总利润呈上升趋势.(3) ，224.5,130,1243654xy ，240.830.b ，5a ，.8yx当 时， (百万元)，估计 8 月份的利润为 940 万元.0.83=9.419.解：(1) 当 时， .2n12nnaSp（2 ）由(1) 可得 ，25751127nnbn .251154579 9n nT 20.(1)证明：在等腰 中， ,APB12cos3PBA则由余弦定理可得 , .239E 423E , .224PEBPB平面 平面 ，平面 平面 ，ACDACDAB 平面 .(2)解：由已知可得 ，/N以 为坐标原点， 分别为 轴， 轴，
13、轴，建立空间直角坐标系如图所示，EPEB、 、 xyz则 ，422,0,10,233PM从而 .422,10,133PMN设平面 的法向量为 ，则 ，N,nxyz0,nPMN即 ，4220,33xyz令 ，可得平面 的一个法向量为 .yPM3,2n由（1）知平面 的一个法向量为 ,AN40EP,435cos,2nEP由图可知二面角 的平面角为锐角，MNA故二面角 的余弦值为 .P3521.解：(1) 过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 ，设右焦点的坐标为 ，依题意43,0c知，又 ，2243cab1b解得 ，2,1abc椭圆 的方程为 .C243xy(2)设过椭圆 的右焦点的直线 的方程为
14、 ，l1ykx将其代入 中得， ，2143xy22348410kxk设 ，12,AB则 ，2218,3434kkxx ，1212228634kyk 为线段 的中点，PAB点 的坐标为 ，2243,k又直线 的斜率为 ，D1k直线 的方程为 ，P223443kyx令 得， ，由点 的坐标为 ，0y2kxD2,0k ,222 424333 7DPk 42180k ， .21k22.解：(1) 设 ，则 .ln0gxx1xgx当 时， ，函数 递减；当 时， ，函数 递增.010ggx所以当 时， .x1x , , .2lna2l2lnfxax(2) 解：由 得 或 （由（1）知不成2000nlf00lnx立舍去），即 ，02lnxa设 ，则 ，2lhx321lnxhx当 时， ,函数 递增；当 时， ,函数 递减，所以10e0 12e0hxhx当 时，, .12maxhemax1e（3 ）证明： 2 223lnllnln1f xax3=ln14xxa.22 2222211l ln44axaxaxa当 时, , .1x24122214故 ，等号若成立，则 即 ，由（1 ）知 不faxln1xalnxlnx成立，故等号不成立，从而 .2fxax
