2019届河南省信阳高级中学高三第一次大考数学（理）试题（解析版）.doc

1、第页 12019 届河南省信阳高级中学高三第一次大考数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 Ax 2x30，Bxyln（2x），则 ABA. （1，3） B. （1，3 C. 1， 2） D. （1， 2）【答案】C【解析】分析：解一元二次不等式得到集合 A，求对数函数的定义域得到集合 B，然后再求交集即可详解：由题意得 ，AB 故选 C点睛：本题考查二次不等式的解法、函数定义域的求法和集合的交集，考查学生的运算能力，属于容易题2. 下列命题中，正确的是A. R，sinx0co

2、sx 0B. 复数 z1，z2，z3C，若 0，则 z1z 3C. “a0，b0”是“ 2”的充要条件D. 命题“ R， x20”的否定是：“ R， x20”【答案】D【解析】分析：对四个选项分别分析、排除后可得结论详解：对于 A，由于 ，所以 A 不正确对于 B，当 时，则 ，所以 0，但 ，故B 不正确对于 C， “ 2”的充要条件是“a0，b0”或“a0，b0” ，即 同号，故 C 不正确对于 D，由含量词的命题的否定得结论正确第页 2故选 D点睛：解答判断所给命题是否正确的问题时，一是要注意综合法在解题中的应用，即通过推理来验证所给命题是否正确；二是要注意举反例的应用，特别是说明一个命

3、题不正确时只需通过一个反例来说明即可3. 我国古代有着辉煌的数学研究成果 周髀算经 、 九章算术 、 海岛算经 、 孙子算经 、 辑古算经等 10 部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这 10 部专著中有 7部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这 10 部专著中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据古典概型概率公式求解详解：从 10 部专著中选择 2 部的所有结果有 种设“所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件 A，则 A 包含的基本事件

4、个数为由古典概型概率公式可得 故选 A点睛：解答古典概型概率问题时要注意两点：一是对概率类型的判定；二是准确求出所有的基本事件个数和事件 A 包含的基本事件的个数 ，然后按照公式求解4. 若 x（ ，1），alnx，b ，c ，则A. bca B. cba C. bac D. abc【答案】A【解析】分析：根据函数的性质得到 的取值范围后可得结果详解：由题意得 ， ， ， 故选 A点睛：比较大小时，可根据题意构造出函数，然后根第页 3据函数的单调性进行判断若给出的数不属于同一类型时，可先判断出各数的符号（或各数所在的范围） ，然后再比较大小5. 设 ，则 的展开式中常数项是A. 160 B.

5、160 C. 20 D. 20【答案】B【解析】 【解析】 ,所以 展开式的通项为：，令 ，常数项是 ，故选 A.6. 执行如图所示的程序框图。若 p08，则输出的 nA. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】分析：依次运行所给出的程序后可得输出结果详解：依次运行框图中的程序，可得：第一次： ，满足 ，继续运行；第二次： ，满足 ，继续运行；第三次： ，不满足 ，停止运行 ，输出 故选 B第页 4点睛：算法框图的填充和功能是算法问题在高考中的主要考查形式，和函数、 数列的结合是算法问题的常见载体，解决问题的关键是搞清算法的实质 ，模拟运行算法的结果 7. 把边长为 1 的正方形

6、沿对角线 折起，使得平面 平面 ，形成三棱锥 的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：C 在平面 ABD 上的射影为 BD 的中点 O，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，所以：左视图的面积等于考点：三视图8. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，b4，则ABC 的面积的最大值为A. 4 B. 2 C. 3 D. 【答案】A【解析】分析：由已知式子和正弦定理可得 ，再由余弦定理可得 ，由三角形的面积公式可得所求详解：在ABC 中 ， ，由正弦定理得 ， 又 ，第页 5 ， ， 在ABC 中，由余弦定理得， ，当

7、且仅当 时等号成立ABC 的面积 .故选 A点睛：用余弦定理解三角形时常用到整体代换的解题思路，即运用公式变形可得 ，对于公式中的 ，又常与三角形的面积公式结合在一起在求三角形中的最值问题时，往往要用到基本不等式，解题时要注意不等式的使用条件，特别是要判断等号能否成立9. 某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得 分,负者得 分,平局两人各得 分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：对于四个选项中给出的参赛人数分别进行分析，看是否满足条件，然

8、后可得结论详解：对于 A，若参赛人数最少为 4 人，则当冠军 3 次平局时，得 3 分，其他人至少 1 胜 1 平局时，最低得3 分，所以 A 不正确对于 B，若参赛人数最少为 5 人，当冠军 1 负 3 平局时，得 3 分，其他人至少 1 胜 1 平局，最低得 3 分，所以 B 不正确对于 C，若若参赛人数最少为 6 人，当冠军 2 负 3 平局时，得 3 分，其他人至少 1 胜 1 平局，最低得 3 分，此时不成立；当冠军 1 胜 4 平局时，得 6 分，其他人至少 2 胜 1 平局，最低得 5 分，此时成立 综上 C 正确对于 D，由于 7 大于 6，故人数不是最少 所以 D 不正确故选

9、 C点睛：本题考查推理问题，考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力 解题时要根据所给出的条件进行判断、分析，看是否得到不合题意的结果第页 610. 如图，已知函数 的图象与坐标轴交于点 ，直线 交 的图象于另一点 ， 是 的重心.则 的外接圆的半径为A. 2 B. C. D. 8【答案】B【解析】分析：根据题意求出函数 的解析式，然后求出 B、C 和 D 的坐标，再利用正弦定理求出外接圆半径 R详解： 是 的重心， ， ，点 的坐标为 ，函数 的最小正周期为 ， ， 由题意得 ，又 ， ， ，令 得 ，点 的坐标为 ， ，故 ， 又点 是 的中点，第页 7点 的坐标为 ， 设 的外接圆

10、的半径为 ，则 ， 故选 B点睛：本题的综合性较强，考查学生分析问题和解决问题的能力解题时首先要注意求解析式中的 的方法，在求得函数的解析式后从而可得点 的坐标，然后再结合正弦定理求解即可11. 已知 ，直线 与函数 的图象在 处相切，设 ，若在区间上，不等式 恒成立，则实数A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最大值【答案】D【解析】试题分析： ， ，所以 ，又 ， ，所以 ， ， ，当 时， ，因此 在 上递增，所以 ，从而 在 上是增函数， 的最小值为 ，最大值为 ，因此由在区间 上,不等式 恒成立得 ，解得 或 ，所以 最大值为故选 D考点：导数的几何意义，导数与单调

11、性、最值【名师点睛】本题是一道综合题，解题要求对所涉及的知识都能正确理解运用首先考查导数的几何意义，通过导数求函数图象的切线方程知识点求出参数 值，不等式 恒成立，转化为求函数 的最值，从而解相应不等式得出结论，这里求 的最值时，要确定单调性，也即要确定导数 的正负，对导数 的正负不易确定时，可对它再一次求导 ，由 的正负，确定 的单调性，从而确定正负，是我们常用的方法12. 已知 P 为椭圆 上一个动点，过点 P 作圆 的两条切线，切点分别是 A，B，则第页 8的取值范围为A. - ，） B. - ， C. 2 3， D. 2 3， ）【答案】C【解析】分析：利用圆的切线与圆心和切点连线垂直

12、得到直角三角形，设 的夹角为 2，通过解直角三角形求出 的长；利用向量的数量积公式表示出 ，再根据三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元并结合基本不等式可求出最值详解：如图， 的夹角为 2，则 令 ，则 ，当且仅当 ，即时等号成立， 的最小值为 又点 在椭圆的左端点时， 的值最大，此时 ， . 的最大值为 . 的取值范围为2 3， 故选 C点睛：解答解析几何中的最值问题时，可选取适当的变量，将目标函数表示为该变量的函数，然后根据所得函数的解析式的特征选择求最值的方法，常用的方 法有单调性法和基本不等式法第页 9二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知向量与 的

13、夹角为 30，且 1， ，则 _【答案】【解析】分析：由 得到关于 的方程，解方程可得 的值详解： ， 又向量与 的夹角为 30，且 1， ，整理得 ，解得 点睛：本题考查向量数量积的运算和向量模的求法，解题的关键是根据数量积的运算律得到关于 的方程，然后通过解方程可得所求14. 已知实数 ， 满足 ，若 的最大值为 ，则正数 的值为_【答案】2【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，结合题意找到最优解，进而可得所求详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由 得 ，平移直线 ，结合图形可得当直线经过可行域内的点 M 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 取得最大值由 得 ，故点 M

14、的坐标为( )所以 第页 10由题意得 ，解得 点睛：利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线 l；(2)平移将 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置有时需要进行目标函数 l 和可行域边界的斜率的大小比较；(3)求值解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值15. 双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 ， 分别在双曲线的左右两支上，且， ，线段 交双曲线 于点 ， ，则该双曲线的离心率是 _【答案】【解析】分析：运用双曲线的对称性由条件可设 N 的坐标，由中点坐标公式可得 的坐标，再由 在双曲

15、线上得到关于 的关系式，从而可得双曲线的离心率详解：根据题意画出图形如图所示由题意得 ， 由 ，可设 ， ，可得点 的坐标为 点 在双曲线上，第页 11 ，消去整理得 ，离心率 点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不等式， 利用 和 转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围16. 如图，在长方体 中， ， ，点 在侧面 上若点 到直线 和的距离相等， 则 的最小值是_【答案】【解析】如图在面 A1ABB1 建立 P 面直角坐标系，设 P（x，y）（0x2，0y2）点 P 到直线 AA1 和 CD 的距离相等， ，即

16、 x2=y2+1A 1P=当 P（ ，1）时，A 1P 最小为 .故填 .点睛：本题直接解答比较困难，采用坐标法比较简洁易懂，所以方法的选择很关键. 当我们遇到直角三角形、等腰三角形、矩形、长方体等有垂直关系的几何图形时，可以尝试利用坐标法解答,看是否简洁.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第页 1217. 已知数列 满足 （1）证明： 是等比数列；（2）求 【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（）利用递推公式可以得到 的表达式，两个式子相减即可得到 与 的表达式；构造数列 ，即可证明 为等比数列。（）利用 为等比数列，可求得 的通

17、项公式；将 分为等比数列和等差数列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和。详解：（）由 得： ，因为 ，所以 ，从而由 得 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.（）由（1）得 ，所以 .点睛：本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点。形如（ ），在构造数列时，可在等式两边同时加上 构成等比数列。18. 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，DA=DP，BA=BP第页 13（1）求证： ；（2）若 ，求二面角 DPCB 的正弦值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：.（1）取 中点 ，易证 面 ，所以 ， （2）以 所在

18、直线分别为轴建立空间直角坐标系，平面 的法向量 ，设平面 的法向量 = ，即 .试题解析：（1）证明：取 中点 ，连 ， ， ， ， 面 ，又 面 ，（2） ， ， ， 是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， . ，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ，从而得 ， ， ，设平面 的法向量第页 14则 ，即 ， ，设平面 的法向量 ，由 ，得 ，设二面角 为 ，点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.

19、据中国日报网报道：2017 年 11 月 13 日，TOP500 发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是 MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14品牌B2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21（1）从品牌 A 的 12 次测试中，随机抽取一次，求测试结果

20、小于 7 的概率；（2）从 12 次测试中，随机抽取三次，记 X 为品牌 A 的测试结果大于品牌 B 的测试结果的次数，求 X 的分布列和数学期望 E（X）；（3）经过了解，前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.【答案】 （1） ；（2）见解析；（3）见解析第页 15【解析】试题分析：（）从品牌 的 12 次测试中，测试结果打开速度小于 的文件有 次，利用古典概型，即可求解相应的概率；（）在 12 次测试中，品牌 的测试结果大于品牌 的测试结果的次数共有 次，确定随

21、机变量的可能的取值为 ，求出取每个数值的概率，列出分布列，利用公式求解数学期望；（）结合题设中已有数据，能够运用以下其中一个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由即可.试题解析：（）从品牌 的 12 次测试中，测试结果打开速度小于 7 的文件有：测试 1、2、5、6、9、10、11，共 7 次，设该测试结果打开速度小于 7 为事件 ，因此 （）12 次测试中，品牌 的测试结果大于品牌 的测试结果的次数有：测试 1、3、4、5、7、8，共 6 次，随机变量 所有可能的取值为：0，1， 2，3随机变量 的分布列为：0 1 2 3（）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情

22、况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，结合已有数据，能够运用以下 8 个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，标准 1: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值与后 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打第页 16开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准 2: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差与后 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处

23、理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准 3：会用品牌 A 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值与品牌 B 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的平均值大于品牌 B 前 6 次测试结果的平均值，品牌 A 后 6 次测试结果的平均值小于品牌 B 后 6 次测试结果的平均值，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌

24、B）标准 4：会用品牌 A 前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差与品牌 B 前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的方差大于品牌 B 前 6 次测试结果的方差，品牌 A 后 6 次测试结果的方差小于品牌 B 后 6 次测试结果的方差，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌 B）标准 5：会用品牌 A 这 12 次测试结果的平均值与品牌 B 这 12 次测试结果的平均值进行阐述（品牌 A 这 12 次测试结果的平均值小于品牌 B 这 12 次测试结果的平均值，品

25、牌 A 打开文件的平均速度快于B）标准 6：会用品牌 A 这 12 次测试结果的方差与品牌 B 这 12 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A这 12 次测试结果的方差小于品牌 B 这 12 次测试结果的方差，品牌 A 打开文件速度的波动小于 B）标准 7：会用前 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数、后 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数进行阐述（前 6 次测试结果中，品牌 A 小于品牌B 的有 2 次，占 1/3. 后 6 次测试中，品牌 A 小于品牌 B 的有 4 次，占 2/3. 故品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度

26、慢于 B，品牌 A 打开含有文字和图片的文件的速度快于 B）标准 8：会用这 12 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数进行阐述（这12 次测试结果中，品牌 A 小于品牌 B 的有 6 次，占 1/2.故品牌 A 和品牌 B 打开文件的速度相当）参考数据期望 前 6 次 后 6 次 12 次品牌 A 5.50 9.83 7.67品牌 B 4.33 11.83 8.08第页 17品牌 A 与品牌B4.92 10.83方差 前 6 次 后 6 次 12 次品牌 A 12.30 27.37 23.15 品牌 B 5.07 31.77 32.08 品牌 A 与品牌B8.27

27、 27.97 20. 已知抛物线 ，圆 ，点 为抛物线 上的动点， 为坐标原点，线段 的中点的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程；（2）点 是曲线 上的点，过点 作圆 的两条切线，分别与 轴交于 两点.求 面积的最小值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（）由题意可得，设中点坐标 ，表示出点 ，将其代入到抛物线方程中，即可得到抛物线 的方程；（）由题意可设切线方程为： ，进而得到切线与 x 轴的交点为 ，由圆心到切线方程的距离为半径，得到 ，由韦达定理，可得到 的函数关系式，利用函数的单调性可求出面积最小值.试题解析：（）设 ，则点 在抛物线 上，所以 ，即 ，所以曲线 C 的方程为

28、： （）设切线方程为： ，令 y=0，解得 ，所以切线与 x 轴的交点为 ，圆心(2，0)到切线的距离为 ，第页 18 ，整理得： ，设两条切线的斜率分别为 ，则 ，记 ，则 ， ， 在 上单增， ， ， 面积的最小值为 【点睛】本题主要考查以抛物线与圆的方程为载体，考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆相切问题，切线的性质，同时考查了利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强，正确利用已知条件转化成一元二次方程，再利用韦达定理即可求出面积的函数表达式，再利用函数的单调性即可求出最值.21. 已知函数（1）求 的极值；（2）当 时，设 ，求证：曲线 存在两条斜率为 且不重合的切线.【答案】 （1

29、）极小值 ；（2）见解析【解析】分析：（）对 a 分类讨论，利用导数求函数的极值. （）先把问题转化为曲线 在点， 处的切线不重合，再利用反证法证明.详解：（） ，令 ，得 当 时， 与 符号相同，当 变化时， ， 的变化情况如下表：第页 19 极小 当 时， 与 符号相反，当 变化时， ， 的变化情况如下表： 极小 综上， 在 处取得极小值 .（） ，故 注意到 ， ， ，所以， ， ，使得 因此，曲线 在点 ， 处的切线斜率均为 . 下面，只需证明曲线 在点 ， 处的切线不重合.曲线 在点 （ ）处的切线方程为 ，即 假设曲线在点 （ ）处的切线重合，则 令 ，则 ，且 .由（）知，当 时

30、， ，故 所以， 在区间 上单调递减，于是有 矛盾.因此，曲线 在点 ( )处的切线不重合点睛：本题的难点在第 2 问的解题思路，难点一是问题转化为只需证明曲线 在点 ，第页 20处的切线不重合.难点二是，直接证明不重合不好证明，所以本题选择了反证法证明.对于含有否定概念的命题，一般利用补集法或反证法解答证明.22. 在平面直角坐标系 中，圆 C 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 ，曲线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，曲线 C1 与圆 C 的交点为 O，P 两点，与直线 l 的交点为

31、 Q，求线段 PQ 的长【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）将参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程即可 （2）由题意得到点 的极坐标，然后根据两点极径的差可得线段的长度详解：(1)将参数方程 消去参数可得圆的普通方程 ，即 将 代入上式得 ，即 所以圆 C 的极坐标方程为 （2）由 得 ，其中 ；由 ，得 ，其中 所以 ，即线段 PQ 的长为 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解， 可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系， 用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标23. 已知函数 （1）解不等式 ；（2）若正实数 a，b 满

32、足 ，试比较 与 的大小，并说明理由第页 21【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集， （2）先根据绝对值三角不等式得 最大值，再根据基本不等式可得 最小值，最后根据两者关系确定大小关系.试题解析：（1）由题知 ，当 时，2x24，解得 x3；当 时，24，矛盾，无解；当 时，2x24 ，x1；所以该不等式的解集为x| x3 或 x1 （2）因为 ，当且仅当 时，取“=” ，所以 ，即 又 当且仅当 时取等号所以 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向