1、2018 届河南省南阳市第一中学校高三第七次考试数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 = x|-1x1， =x| 则故选 B2. 已知为虚数单位，为复数的共轭复数，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ，则 ，=3a=9，b=1，故选：C3. 的展开式中 的系数是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C考点：二项式定理4. 设变量 满足约束条件 ，若目标函数 （其中 ）的最大值为 ，则的最大值为
2、（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由 得直线 过 时取最大值，即令 ，其中 ，则令 ，解得当 时， ，当 时，当 ， ，故选 A点睛：本题为线性规划与导数结合的综合题型。线性规划求得最优解部分，因为 ，所以直线的斜率是负的，因此得到 时最优解，求导时要注意定义域，再结合单调性求出最值.5. 已知一个四棱锥的三视图及有关数，如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意得四棱锥的高为 2，底面积为 ，所以体积为考点：三视图【名师点睛】1解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直
3、观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据6. 世界数学命题“ 问题”：任取衣蛾自然数，如果它是偶数，我们就把它除以 ，如果它是奇数，我们就把它乘 再加上 ，在这一的一个变换下，我们就得到了一个现的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为 ，现根据此问题设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图，输入的 ，则输出 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据循环得 ，结束循环，输出 6，选 C.7. 在 中，角 所对的边分别为 ，若
4、，则角 的大小为（ ）A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C【解析】因为 ,所以 由正弦定理得 ,选 B.8. 已知函数 ，若 ，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 , ,所以 为 上单调递增函数,因为,所以 ,选 A.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.9. 在直角坐标系 中，设 为双曲线 的右焦点，
5、为双曲线 的右支上一点，且为正三角形，则双曲线 的离心率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为三角形 为正三角形，所以 ，设双曲线左焦点为 可得 ， ，根据双曲线的定义可得 ， ，故选 C.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;构造 的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据题设条件利用特殊直角三角形的性质从而找出 之间的关系，求出离心率10. 已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距
6、离之和的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：抛物线 y2=4x 的准线为 ，所以动点 P 到直线 的距离等于 ,所以动点 P 到直线和直线 的距离之和的最小值为焦点 到直线 4x3y+6=0 的距离考点：抛物线性质11. 已知函数 ，若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 因为 在区间 内没有零点，所以 或,所以 或,因此选 D.【点睛】函数 的性质(1) .(2)周期(3)由 求对称轴(4)由 求增区间;由 求减区间12. 已知定义在 上的奇函数 的导函数为 ，当 时， 满足 ，则 在 上的零点个数为 （ ）A.
7、 B. C. 或 D. 【答案】D【解析】根据题意可构造函数 则 由题当 时， 满足， ， ， 即函数 在 时是增函数，又 当 成立，对任意 是奇函数， 时， 即 只有一个根就是 0故选 D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 5 件产品中 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则 _【答案】【解析】 , 因此 14. 已知 为等比数列，且 ，则 的值为_【答案】【解析】 ,所以15. 在 中， 分别在线段 上，且 ，则_【答案】【解析】 所以 16. 已知四面体 ，则该四面体外接球的大圆的面积为_【答案】【解析】 点睛：涉及球与
8、棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 为数列 的前 项和且 .（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 的通项公式为 ，令 为的前 项和 ，求 .【答案】 （1） (2) .【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系式，再根据等比数列定义以及通项
9、公式求数列 的通项公式；（2）先合并求 ，再根据错位相减法求 和试题解析：（1）当 时， ，则 ，当 时，由 ，得 ，得 ，综上， 是公比为 ，首项为 的等比数列，所以 .易得 ，令 ，得 ，所以 .18. 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位 （单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上 6 段的频率作为相应段的频率，并假设每年河流水位互不影响.（1）求未来三年，至多有 1 年河流水位 的概率（结果用分数表示） ；（2）该河流对沿河 企业影响如下：当 时，不会造成影响下；当 时，损失 10000 元；当 时，损失 60000 元，为减少损失，现有种对应方案：方案一：防御 35
10、 米的最高水位，需要工程费用 3800 元；方案二：防御不超过 31 米的水位，需要工程费用 2000 元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案好，并说明理由.【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（）由二项分布求出未来 3 年，至多有 1 年河流水 的概率值；（）由随机变量的分布列与均值，计算方案一、二、三的损失是多少，比较选用哪种方案最好试题解析：（）由二项分布得，在未来 3 年，至多有 1 年河流水位 的概率为：.所以，在未来 3 年，至多有 1 年河流水位 的概率为 .（）由题意知.即 分别表示采取方案 1,2,3 的损失，由题知 ， 分布列如下：所以， .分布列如下：所以，
11、.因为采取方案 2 的损失最小，所以选择方案 2 最好.考点：频率分布直方图，离散型随机变量的分布列、期望、方程.19. 如图，四棱锥 中，底面 为梯形， 底面 ，.（1）求证：平面 平面 ；（2）设 为 上一点，满足 ，若直线 与平面 所成的角的正切值为 ，求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析（2） .【解析】试题分析：（I）由直角三角形可得 ，由线面垂直的性质可得 ，从而可得平面 进而可得结论；（II）以 点为坐标原点， 分别 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（I）由 ，可得 ，又 从而 ， 底面 ， ， 平面 所
12、以平面 平面 . （II）由（I）可知 为 与底面 所成角. 所以 ，所以 又 及 ，可得 , 以 点为坐标原点， 分别 轴建立空间直角坐标系，则 . 设平面 的法向量 .则由 得 取 同理平面 的法向量为 所以又二面角 为锐角.所以二面角 余弦值为 .【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离
13、.20. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线的焦点为 ，且 .（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过 的直线与抛物线相交于 两点，与圆 相交于 两点（ 两点相邻） ，过 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点 ，求 与 的面积之积的最小值.【答案】 （1） （2） .【解析】试题分析：（1）利用 构建关于 的方程，解得 ，也就是抛物线的方程为 .（2）设直线 ，利用焦半径公式可以得到 ，其中 为 到直线的距离，联立直线和抛物线的方程，消去 后可以得到 ，利用导数可以求出过 的切线方程，从而求出 ，故 ，从而求出面积乘积的最小值为 .解析：（1）由题意可知 ,由 ,则
14、,解得 ，抛物线 .点睛：圆锥曲线中的最值，往往需要构建目标函数，其自变量是斜率，截距或角等.在目标函数构建的过程中，应关注问题是否有焦点或准线有关以判断是否可以利用几何性质.另外，求抛物线 的切线，可以考虑利用导数来求切线的斜率.21. 已知函数 .（1）当 时，求函数 的极值；（2）是否存在实数 ，使得当 时，函数 的最大值为 ？若存在，取实数的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】 （1）见解析（2） .【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值（2）先求函数导数，根据导函数零点情况分类讨论，根据函数取最大值情况研究实数的取值范围：当 时，函
15、数先增后减，最大值为 ；当 时，再根据两根大小进行讨论，结合函数图像确定满足题意的限制条件，解出实数的取值范围试题解析：（1）当 时， ，则 ，化简得 ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，所以函数 在 处取到极小值为 ，在 处取得极大值 .（2）由题意 ，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，此时，不存在实数 ，使得当时，函数 的最大值为 ，当 时，令 有 或 ，（1）当 时，函数 在 上单调递增，显然符合题意 .（2）当 即 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，此时由题意，只需 ，解得 ，又 ，所以此时实数的取值范围是 .（3）当 即 时，函数 在 和 上单调
16、递增，在 上单调递减，要存在实数 ，使得当 时，函数 的最大值为 ，则 ，代入化简得 ，因为 恒成立，故恒有 ，所以 时，所以恒成立，综上，实数的取值范围是 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数， ） ，以原点 为极点， 轴作的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）已知点 是曲线 上一点，若点 到曲线 的最小距离为 ，求 的值.【答案】 （1）见解析（2） 或 .【解析】试题分析：（1）消去参数得到 的普通方程为 利用 可以把 的极坐
17、标方程化为直角坐标方程（2）把 的直角方程转化为参数方程，利用点到直线的距离公式算出距离为 ，利用得到 因为直线与椭圆是相离的，所以 或 ，分类讨论就可以得到 相应的值解析：（1）由曲线 的参数方程，消去参数，可得 的普通方程为： 由曲线 的极坐标方程得 ， 曲线 的直角坐标方程为 （2）设曲线 上任意一点 为 ， ，则点 到曲线 的距离为 ， ， ，当 时， ，即 ；当 时， ，即 或 点睛：一般地，如果圆锥曲线上的动点到直线的距离有最小值，那么这条直线和圆锥曲线的位置关系式相离的23. 已知函数 .（1）当 时，解不等式 ；（2）设不等式 的解集为 ，若 ，求实数的取值范围.【答案】 （1
18、） 或 （2） .【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）根据自变量范围化简不等式为 ，即 在 恒成立，根据函数最值列不等式组，即得实数的取值范围.试题解析：（1）当 时，原不等式可化为 ，当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ；当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 .当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ，综上所述，当 时，不等式的解集为 或 .（2）不等式 可化为 ，依题意不等式 在 恒成立，所以 ，即 ，即 ，所以 ，解得 ，故所求实数的取值范围是 .点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
