1、2018 届河南省南阳市第一中学校高三第七次考试数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选 C.2. 已知全集 ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D【解析】 ,所以阴影部分所表示的集合为 ,选D.3. 若 ，则 成立的概率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 概率为 ,选 B.4. 已知平面向量 满足，与 的夹角为 ，且 ，则实数的值为（ ）A. B. C.
2、 D. 【答案】D【解析】 ,选 D.5. 直线 与圆 相交于 两点，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 直线 与圆 相交于 两点， 圆心到直线的距离 ，则 ，当 时， ，即充分性成立，若 ，则 ，即 ，解得 或 ，即必要性不成立，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A.6. 已知 是偶函数，当 时， 单调递减，设 ，则 的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选 C.7. 某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
3、循环依次为 所以 ,选 B.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】几何体可拼接成一个长为 3+3+2=8,底面为半径为 1 的圆的圆柱体,所以体积为 ,选 B.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解9. 已知函数 ，若 的值域为 ，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C
4、. D. 【答案】A【解析】因为当 时 ，选 A.10. 已知双曲线 ，直线交双曲线于 两点，若 的中点坐标为 ，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 ，则 所以 ，选 C.11. 已知函数 有两个零点，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 有两个零点又 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求
5、解12. 已知三棱锥 的两个顶点均在某球面上， 为该球的直径， 是边长为 4 的等边三角形，三棱锥 的体积为 ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 D 为 外接圆圆心 ，则三棱锥的外接球球心 O 满足 垂直平面 ABC，所以,选 D. 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分
6、，将答案填在答题纸上）13. 已知函数 ，直线 与曲线 相切，则 _【答案】0【解析】 14. 若 ，则 _【答案】【解析】 15. 设椭圆 的左右焦点为 ，右顶点 为是椭圆 上关于原点对称的两点（ 均不在 轴上） ，若直线 平分线段 ，则 的离心率为_【答案】【解析】设 三点共线，即点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16. 在 中， 是 边上的一点， ，若 为锐角，的面积为 ，则 _【答案】4【解析】 点睛：解三角形问题，多为
7、边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列数列 的前 项和且 ，且 .（1）求 的值，并证明： ；（2）求数列 的通项公式.【答案】 （1）见解析（2） .【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系式，因式分解化简得 ；令，可求得
8、 的值， （2）递推关系式表示隔项成等差数列，所以利用等差数列通项公式分别求奇数项与偶数项函数关系式，最后写出分段函数形式试题解析：（1）令 ，得 ，所以 ， ，两式相减得 ，因为 ，所以 .（2）由（1）可知，数列 为等差数列，公差为 ，首项为 ，所以当 为奇数时， ，数列 为等差数列，公差为 ，首项为 ，所以当 为偶数时， ，综上所述 .18. 如图，正方形 与梯形 所在的平面相互垂直， ,点 在线段 上.（1）证明：平面 平面 ；（2）若 平面 ，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析（2） .【解析】试题分析：（1）先根据计算，由勾股定理得 ，再由面面垂直性质定理得 平面 ，即得 ，
9、最后根据线面垂直判定定理得 平面 ，由面面垂直判定定理得结果（2）易证平面 ,所以利用等体积法进行转化 ，再根据线面平行性质定理得 ，可求三角形面积，最后根据锥体体积公式求体积试题解析：（1）证明：因为 ，所以 ，在梯形 中， ，所以 ，所以 ，所以 ，又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .（2）如图，连接 ，连接 ，平面 平面 平面 ，平面 ，所以 ，所以 ,因为 平面 平面 ，所以 ， ，所以 平面 ,所以 .19. 有一名同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对某种引领销售的影响，记录了 2015 年 7
10、月至 12 月每月 15 号下午 14 时的气温和当天的饮料杯数，得到如下资料：该同学确定的研究方案是：现从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据取线性回归方程，再用被选中的 2 组数据进行检验.（1）求选取 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选中的是 8 月与 12 月的两组数据，根据剩下的 4 组数据，求出 关于 的线性回归方程 ；（3）若有线性回归方程得到估计，数据与所宣称的检验数据的误差不超过 3 杯，则认为得到的线性回归方程是理想的，请问（2）所得线性回归方程是否理想.附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：， ， .【答案】 （1） （2
11、） （3）见解析【解析】试题分析：（1）先根据枚举法确定从这六组数据中选取 2 组的总事件数，再从中挑出满足条件的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率（2）先求平均数，再将数据代入公式求 以及（3）根据所求线性回归方程估计数据，并与实验数据比较，根据差与 3 大小作出判断试题解析：（1）从这六组数据中选取 2 组，共有 15 种等可能情况，分别为 ，其中选取 2 组数据恰好是相邻两个月有 5 中情况，分别为 ，故求选取 2 组数据恰好是相邻两个月的概率为 .（2） ，关于 的线性回归方程为 .（3）当 ， ，当 时， ， ，可以认为得到的线性回归方程是理想的.20. 已知抛物线 ，过焦点 的
12、直线交 于 两点， 是抛物线的准线与 轴的交点.（1）若 ，且 的面积为 ，求抛物线的方程；（2）设 为 的中点，过 作的垂线，垂足为 ，证明：直线 与抛物线相切.【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）由 可得 A,B 坐标，根据坐标表示三角形 面积，解出 p（2）设，则根据导数几何意义可得在 处的切线斜率；根据直线方程与抛物线方程，依次解出M,N 坐标，易得 斜率，由斜率相等证得结论成立试题解析：（1）因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故抛物线 的方程为 .（2）设直线 的方程为 ，联立 ，所以 ，其中 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以抛物线 在 处的切线斜率为 ，所以直线
13、 与抛物线相切.21. 已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）若 存在两个极值点 ，求证： .【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求导数，再转化讨论二次函数零点，根据判别式大于零与非正进行分类讨论，确定导函数符号，由导函数符号确定单调性（2）先根据韦达定理得 ，代入化简得 ， ，最后利用导数求函数 最小值，即得结论试题解析：（1） ，若 ，所以 在 上单调递增；若 ，解 ，得 ，或 ，解 ，得 ，此时 在 上单调递减.在 上单调递增，在 上单调递增.综上，当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递增.（2）由（2）知 时， 存在
14、两个极值点 ，且 是方程 的两根，所以 ，所以 ，令 ，所以 在 上单调递减，所以 ，所以点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程 为参数）以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆 的普通方程；（2）直线的极坐标方程是 ，射线 与圆
15、的交点为 ，与直线的交点为 ，求线段 的长.【答案】 （1） （2） .【解析】试题分析：（）根据 消去直线的参数方程可得普通方程；（）由题意得 ，由极坐标方程 得 ，由 解得 ，利用极坐标方程几何意义可得线段 的长 .试题解析：(I)由圆 的参数方程 （ 为参数）知，圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的普通方程为 将 代入得圆 的极坐标方程为 （）设 ，则由 解得 设 ，则由 解得 所以 【名师点晴】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如 等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式， 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可
16、以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题23. 已知 .（1）将 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象；（2）若 ，对 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) 见解析（2） .【解析】试题分析：(1)对自变量的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得解集(2)利用基本不等式,均值不等式，和 1 的妙用,注意等号成立的条件.（1）由已知，得函数 的图象如图所示.（2）因为， ，且 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立.因为 恒成立，所以 ，结合图象知 ，所以 的取值范围是 .点睛：（1）零点分区间去绝对值，画图像的方法(2) 1 的妙用，当 a+b 是定值时，都可以和 相乘注意用不等式时候,等号成立的条件
