1、2018 届河南省南阳市第一中学校高三第七次考试理数试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 11|2,|ln()02xABx ，则 ()RACB（ ） A B (, C ) D ,2. 已知 i为虚数单位， z为复数 的共轭复数，若 9zi，则 z （ ）A 1 B i C 3i D i3. 42()x的展开式中 x的系数是 （ ）A B C D 12 4. 设变量 ,xy满足约束条件304yx，若目标函数 zaxby（其中 0,ab）的最大值为3，则 2ab的最大值为（ ）A
2、1 B C 3 D 45.已知一个四棱锥的三视图及有关数，如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A 23 B C 3 D 23 6.世界数学命题“ 31x问题”：任取衣蛾自然数，如果它是偶数，我们就把它除以 2，如果它是奇数，我们就把它乘 再加上 ，在这一的一个变换下，我们就得到了一个现的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为 1，现根据此问题设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图，输入的 5N，则输出 i （ ）A 3 B 5 C 6 D 7 7. 在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，若 2,sinco2bB，则角 A的大小为
3、（ ）A 06或 12 B 03 C 0或 15 D 0 8. 已知函数 ,1xf，若 32()faf，则实数 a的取值范围为（ ）A 1(,)2 B (3,) C (,02 D 1(, 9.在直角坐标系 xOy中，设 F为双曲线2:0,)xyab的右焦点， P为双曲线 C的右支上一点，且 P为正三角形，则双曲线 的离心率为 （ ）A 3 B 2 C 13 D 23 10. 已知直线 1:460lxy和直线 2:1lx，抛物线 24yx上一动点 P到直线 1l和直线 2l的距离之和的最小值是（ ）A 35 B 2 C 5 D 3 11. 已知函数 21cossin(0,)2wxf xwxR，若
4、 fx在区间 (,2)内没有零点，则 w的取值范围是（ ）A 5(0,)12 B 5(0,12 C 5(0,6 D 51(,62 12.已知定义在 R上的奇函数 fx的导函数为 fx，当 0时， fx满足 2fxffx ，则 fx在 上的零点个数为 （ ）A 5 B 3 C 1或 D第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 5 件产品中 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为 ，则 ()E 14.已知 na为等比数列，且 22013504axd，则 20142014()a 的值为 15.在 ABD中， ,AEC分别在线
5、段 ,ADB上，且 1,343ECB，则 16.已知四面体 00,6,6,9CA，则该四面体外接球的大圆的面积为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 ,nnabS为数列 na的前 项和且 22,()nnSabN.（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 nc的通项公式为,2,4nnbca为 奇 数为 偶 数，令 nT 为的前 项和 nc，求 2nT.18. 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位 X（单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上 6 段的频率作为相应段的频率，并假设每年河流水位互不影响.（1）求
6、未来三年，至多有 1 年河流水位 27,31X的概率（结果用分数表示） ；（2）该河流对沿河 A企业影响如下：当 时，不会造成影响下；当 27,31X时，损失10000 元；当 3,5X时，损失 60000 元，为减少损失，现有种对应方案：方案一：防御 35 米的最高水位，需要工程费用 3800 元；方案二：防御不超过 31 米的水位，需要工程费用 2000 元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案好，并说明理由.19.如图，四棱锥 PABCD 中，底面 AB为梯形， PD底面 ABC，/,1,2AB.（1）求证：平面 平面 ；（2）设 H为 C上一点，满足 3CH，若直线 PC与平面 B所成的
7、角的正切值为 63，求二面角 PB的余弦值.20. 已知抛物线 2(0)xpy的焦点为 F，直线 4x与 轴的交点为 P，与抛物线的焦点为 Q，且 54QFP .（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过 的直线 l与抛物线相交于 ,AD两点，与圆 22(1)xy相交于 ,BC两点（ ,AB两点相邻） ，过 ,AD两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点 M，求 A与 DM的面积之积的最小值.21.已知函数 2ln(1),fxaxR .（1）当 4a时，求函数 yf的极值；（2）是否存在实数 (,2)b，使得当 (1,xb时，函数 fx的最大值为 fb？若存在，取实数 a的取值范围，若不存在，请
8、说明理由.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 (xtym为参数， R） ，以原点 O为极点， x轴作的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2的极坐标方程为 223(0)cos.（1）写出曲线 1的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）已知点 P是曲线 2C上一点，若点 P到曲线 1C的最小距离为 ，求 m的值.23.已知函数 ()3fxaR .（1）当 2a时，解不等式 1xf ；（2）设不等式 3xf的解集为 M，若 1,32，求实数 a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BDCAC 6-10:ACB
9、CB 11、D 12、D二、填空题13. 72 14. 2 15. 34 16.20 三、解答题17.解：（1）当 1n时， 1Sa，则 12，当 2n时，由 12nSa，得 12nna，得 12na，综上， na是公比为 ，首项为 的等比数列，所以 n.易得212212()(),4nnncc，令 121(4)nnnp，01213237()44(4)nnnT 得 01212 (64)4 3(1)41nnn nn ，所以 2719nnT.18.解：（1）由二项分布可得，未来三年，至多有 1 年河流水位 27,3X的概率3237()()44PC，所以未来三年，至多有 1 年河流水位 2,3X的概率
10、 2.（2）由题意知： (27)0.4(71)05,(315)0.1PPPX,用 123,X分别表示采取方案 ,的损失，由题知 X，分布列如下：所以 1()630.120.9310EX,3分布列如下：所以 1()630.120.9310EX,因为采取方案 2 的平均损失最小所以采取方案 2 较好.19.解：（1）由 ,/,ADCBADB，可得 2D，又 2,4BCD，所以 B，从而 2，因为 P底面 C，所以 P，因为 ，所以 BC平面 PD，所以平面 PB平面 C.（2）由可知 为 底面所成的角，所以 6tan3BP，所以 3,1PBD，又 3H 及 2，可得 64,5HD，以 D点为坐标原
11、点， ,ACP分别 xyz 轴建立直角坐标系，则 (1,0)(,)(0)(,0)BP，设平面 PB的法向量 (,)nxyz，则由45nHyzx，取 (1,54)n，同理平面 C的法向量为 (1,2)m，所以 27cos,mn,又二面角 HPBC为锐角，所以二面角 HPBC的余弦值为 27.20.解：（1）由已知 8(4,0),2pQFp ，因为 5QFP，所以 52 ，得 ，所以抛物线的方程为 24xy.（2）设 12:,(),()lykABx 联立方程 24x，得 40k，由24xy，得 xy，所以直线 11:()MAyx，即21，同理可求得2:4D，联立2124xy，解得 (,1)Mk，所
12、以 (2,1)k到 l的距离为221kdk，所以 2 221()()14ABMCDSBdAFDk，当且仅当 0k取等号，当 时 ABM与 CD面积之积的最小值为 1.21.解：（1）当 14a时， 2ln()4fxx，则 12fxx，化简得 ()2xf，所以函数 f在 (1,0)上单调递增，在 (0,1)上单调递减，且 3(0),(1)ln4ff，所以函数 yx在 处取到极小值为 3ln24，在 0x处取得极大值 0.（2）由题意 (21)af，当 0a时，函数 fx在 (,0)上单调递增，在 (0,)上单调递减，此时，不存在实数 (1,2)b，使得当 (1,)xb时，函数 的最大值为 fb，
13、当 时，令 fx有 或 12xa，（1）当 2a时，函数 在 (,)上单调递增，显然符合题意.（2）当 0即 1a时，函数 fx在 (1,0)和 (,)2a上单调递增，在 (,)a上单调递减，此时由题意，只需 1f，解得 ln2，又 l，所以此时实数 的取值范围是 1la.（3）当 02a即 2时，函数 fx在 (,)2和 (0,)上单调递增，在 1(,)上单调递减，要存在实数 1b，使得当 1xb时，函数 fx的最大值为 fb，则 ff，代入化简得 lnl4a，ln2l1()42gaa，因为 ()04ga恒成立，故恒有 ()0g，所以 1时，所以恒成立，综上，实数 的取值范围是 (ln,).
14、22.解：（1）由曲线 1C的参数方程，消去参数 t，可得 1C的普通方程为 0xym，由曲线 2的极坐标方程得 223cos3,0，所以曲线 2C的直角坐标方程为213xy.（2）设曲线 2上任意一点 (cos,in),0,P，则点 P到曲线 1C的距离为2cos()3i62mmd，因为 0,，所以 cos()1,cos()2,366，当 3m时， 34，即 3m，当 20时， 2，即 ，所以 4或 6.23.解：（1）当 a时，原不等式可化为 3123x，当 3x时，原不等式可化为 2，解得 0x，所以 x；当 2时，原不等式可化为 x，解得 2，所以 12.当 x时，原不等式可化为 313，解得 x，所以 ，综上所述，当 a时，不等式的解集为 |0或 1.（2）不等式 13xfx可化为 33xa，依题意不等式 a在 1,2恒成立，所以 1xx，即 ，即 a，所以132a，解得 1423，故所求实数 a的取值范围是 14,23.
