1、2018 届广西壮族自治区贺州市桂梧高中高三上学期第五次联考数学（理）试卷（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 集合集合集合故选 A2. 已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点是 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】复数在复平面内对应的点是故选 C3. 对经过某路段的汽车进行车速统计，得到频率分布直方图如图所示，若本路段限速 60 ，且每天经过该路段的车辆为 100 辆，则其中超速的车辆大约有（ ）A. 80
2、辆 B. 60 辆 C. 40 辆 D. 20 辆【答案】B【解析】根据频率分布直方图可得：若本路段限速 60 ，且每天经过该路段的车辆为 100 辆，则其中超速的车辆大约有 辆故选 B4. 在各项均为正数的等比数列 中，若 ， ，则 （ ）A. 12 B. 32 C. D. 【答案】D【解析】 ， ，等比数列 的各项均为正数故选 D5. 设实数 满足： ， ， ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得 ，所以 。选 A。6. 已知锐角 满足 ，则 （ ）A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】由题意得 ，又 为锐角， ， 。 .选 C。7. 执行如图所
3、示的程序框图，则输出的 为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C【解析】当 时， ；当 时， ；当 时， ；当时， ；当 时， ；当 时， ，此时退出循环，故输出的为 ，故选 C点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 已知实数 满足不等式组 ，则函数 的最大值为（ ）A. 2 B. 4 C. 5 D. 6【答案】D【解析】作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，由 得 。平移直线 ，结
4、合图形可得，当直线经过可行域内的点 C 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时取得最大值。由 ，解得 ，故点 C 的坐标为（1,2） 。 。选 D。9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体为右侧的一个半圆锥和左侧的一个三棱锥拼接而成。由三视图中的数据可得其体积为 。选 A。10. 设点 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 且 轴垂直的直线与双曲线 交于 两点，若 的面积为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ，则 ， 。又 ， ， ， ，该双曲线的渐近线方程为 。选 D。
5、点睛：双曲线的渐进线是双曲线的中药性质之一，也是高考的常考点，题型一般以选择题或填空题的形式出现。求双曲线的渐近线方程时，可利用 转化为关于 的方程或不等式，其中常用到双曲线渐近线的斜率与离心率的关系，即。11. 已知 ，函数 的部分图像如图所示，则函数 图像的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，又函数 过点 ， ，则令 ，则当 时，故选 C12. 已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，若关于 的方程恰有 5 个不同的实数根 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】定义在 上的函数 满足 为奇函数作出函数 的图象关于 的方程 恰有 5 个不
6、同的实数根由图象可知 ，设 ，则 ，由图象可知 ，故.故选 B点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 展开式中各项的二项式系数之和为 _【答案】32【解析】 展开式中各项的二项式系数之和为故答案为14. 已知 ， ，若 与垂直，则 的值为_【答案】-5【解析】 ， ，且 与垂直 ，即故答案为1
7、5. “裴波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多裴波那契发现，因为裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”. 裴波那契数列 满足： ， ， （ ，），记其前 项和为 ，设 （为常数），则 _ （用表示）【答案】【解析】 ， ， （ ， ）故答案为16. 正四面体 的所有棱长均为 12，球 是其外接球， 分别是 与 的重心，则球 截直线 所得的弦长为_【答案】【解析】由题意可将正四面体 补全为棱长为 的正方体，则球 是正方体的外接球，其半径，设正四面体的高为 ，则 ，又 到直线 的距离为球 截直线 所得的弦长为故答案为点睛：（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，
8、即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用；（2）对于一些不规则的图形，要注意补形法在解题中的应用，通过把图形补成长方体或正方体可使得问题的解决变得简单易行.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中， ， .（1）若 ，求 ；（2）若 ，求 的面积 .【答案】(1) (2) 当 时， 当 时， .【解析】试题分析：（1）根据题设条件结合正弦定理即可得出 ；（2）根据余弦定理可得 的值，再根据三角形面积公式即可得解.试题解析：（1） ,在 中，由正弦定理得 ，.（2）在 中，由余弦定理得,解得 或 ,当 时
9、， ，当 时， .18. “双十一”期间，某淘宝店主对其商品的上架时间 （分钟）和销售量 （件）的关系作了统计，得到如下数据：经计算： ， ， ， .（1）该店主通过作散点图，发现上架时间与销售量线性相关，请你帮助店主求出上架时间与销售量的线性回归方程（保留三位小数） ，并预测商品上架 1000 分钟时的销售量；（2）从这 11 组数据 中任选 2 组，设 且 的数据组数为 ，求 的分布列与数学期望.附：线性回归方程公式： ， 【答案】(1) 预测商品上架 1000 分钟时销售量约为 2157 件;(2) 的分布列为 = . 【解析】试题分析：（1）根据题意，计算线性回归系数，写出线性回归方程
10、，即可预测商品上架 1000 分钟时的销售量；（2）由（1）知， 且 的数据组数有 6 组，则 的可能取值为 0,1,2.，由此能求出 的分布列和 .试题解析：（1）由题知： = = =2.008，= =400-2.008125=149，回归直线方程为 ；当 时， ，故预测商品上架 1000 分钟时销售量约为 2157 件.（2）由（1）知， 且 的数据组数有 6 组，所以 的可能取值为 0,1,2. = = ， = = ， = = ， 的分布列为0 1 2 = = .19. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值
11、.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】试题分析：本题考查空间中线面平行的判定方法和用空间向量求二面角。 （1）作辅助线，在平面内找到一条直线使得它与 平行，然后用线面平行的判定定理证明。 （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，根据两向量的夹角求出二面角的余弦值。试题解析;(1)证明：连 ,由三棱柱是直三棱柱可得 , 四边形 为矩形，由矩形性质得 过 的中点 M,又 是 的中点 ，又 ， ,；(2) 解： ， , ., 两两垂直。建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 , ,设平面 的法向量为 ，则 ，令 则 ， 又易知平面 的一个法向量为 ，平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .点睛
12、：用向量法求二面角大小的两种方法（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小（2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，解题中要注意结合图形图形判断出所求二面角是锐角还是钝角20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 交椭圆 于 ， 两点，的周长为 16， 的周长为 12.（1）求椭圆 的标准方程与离心率；（2）若直线与椭圆 交于 两点，且 是线段 的中点，求直线的一般方程.【答案】(1) 椭圆 E 的标准方程为 ，离心率 (2) 【解析】试题分析：（1）由直线 交椭圆
13、 于 ， 两点， 的周长为 16， 的周长为 12，可得 ， ，再结合 ，即可求出 ， ， 的值， 从而求出椭圆 的标准方程与离心率；（2）由（1）知 ，易知直线的斜率存在，设为 ，设 ，利用点差法，即可求出 ，从而求出直线的一般方程.试题解析：（1）由题知 ，解得椭圆 E 的标准方程为 ，离心率 .（2）由（1）知 ，易知直线的斜率存在，设为 ，设 ,则， ，又 是线段 CD 的中点，故直线的方程为 ，化为一般形式即： .点睛：当遇到直线与椭圆的相交弦中点问题时可以运用点差法，解得直线斜率与中点坐标之间的数量关系，从而可以求出直线方程.21. 已知函数 （其中是自然对数的底数， ）.（1）讨
14、论函数 的单调性；（2）当函数 有两个零点 时，证明： .【答案】(1) 当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；当 时，函数 在 R 上单调递增.(2) 见解析.【解析】试题分析：（1）对 求导， 再对 进行分类讨论，根据导数与函数的单调性的关系，即可求得函数的单调性；（2）当 时，由（1）知函数 单调递增，不存在两个零点，故 ，设函数 的两个零点为 ，代入到 ，可得 ，作差后，令 结合，求得 ，欲证 ，只需证明，构造 ，求导，根据函数的单调性即可求得，从而证出 .试题解析：（1）解：当 时，令 ，即当 时， ，当 时， ，即函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；当 时
15、， 恒成立，故此时函数 在 R 上单调递增.（2）证明：当 时，由（1）知函数 单调递增，不存在两个零点，所以设函数 的两个零点为 ，则设解得 ，所以欲证 ，只需证明设 ，则设 ，则 单调递增 在区间 上单调递增 ，故 成立点睛：（1）对于研究含参数的函数的单调性时，要注意对参数进行合理的分类讨论，分类时要做到不重不漏；（2）证明不等式： 时，通过函数的零点将其转化为证 成立，适当变形后构造函数 ，进而只需求证明 即可，通过函数的单调性的判断可证得结论成立 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系和直角坐标
16、系中，极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的非负半轴重合，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.（1）求曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；（2）判断曲线 与曲线 的位置关系，若两曲线相交，求出两交点间的距离.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）曲线 的极坐标方程为 ，即 ，利用 ，即可化为直角坐标方程，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 消去 即可化为普通方程；（2）由（1）知曲线 和曲线 都是圆，将两圆方程相减即可得两圆公共弦所在的直线方程， 即可求出两交点间的距离.试题解析：（1） ，将 代入上式整理得曲线 的直角坐标方程为 ，由 为参数）消去参数
17、得曲线 的普通方程为 .（2）由（1）知曲线 是圆心为 （1,0） ，半径 的圆，曲线 是圆心为 （0,1） ，半径 =2 的圆， ，两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在的直线方程为 ，圆心 到公共弦所在直线的距离为 = ，公共弦长为 = . 23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）若函数 的最小值为 2，求实数的值；（2）若命题“存在 ，满足不等式 ”为假命题，求实数的取值范围.【答案】(1) 或 (2) 【解析】试题分析：（1）因为 ，结合题设条件，即可求出实数的值；（2）由命题“存在 ，满足不等式 ”为假命题，可推出当 时， 恒成立，即可求出实数的取值范围.试题解析：（1）因为 ，所以 . 令 ，得 或 ，解得 或 . （2）若命题“存在 ，满足 ”是假命题，则当 时， 恒成立. 当 时， ， . 由 ，得 ，即 ，即 .据题意， ，则 解得 .所以实数的取值范围是 . 点睛：根据绝对值的定义，去掉绝对值符号是解决绝对值问题的最基本策略，解含有绝对值的不等式，比较简单的是含一个绝对值符号的，一般直接使用公式，还有不等式两边各含一个绝对值符号，一般用两边平方的方法解决，含两个或两个以上绝对值符号的不等式一般采用零点分区间讨论法.
