1、2018 届广西桂梧高中高三上学期第五次联考理数试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 0|xA， 0)(1|xB，则 BA（ ）A )5,0 B )4,1 C 4, D )5,41,2.已知 i为虚数单位，复数 z在复平面内对应的点是 ),2(，则 zi（ ）A 513 B i3 C i531 D i33.对经过某路段的汽车进行车速统计，得到频率分布直方图如图所示，若本路段限速 60 hkm/，且每天经过该路段的车辆为 100 辆，则其中超速的车辆大约有（ ）A 80 辆 B60 辆 C40 辆
2、 D 20 辆4.在各项均为正数的等比数列 na中，若 415， 8126a，则 9a（ ）A 12 B 32 C. 26 D5.设实数 cba,满足： 3log12， 3ab， cln，则 cba,的大小关系为（ ）A B C. D a6.已知锐角 满足 tn，则 2sit（ ）A 23 B2 C. 2 D 17.执行如图所示的程序框图，则输出的 n为（ ）A5 B 6 C. 7 D88.已知实数 yx,满足不等式组 0421yx，则函数 3yxz的最大值为（ ）A 2 B 4 C. 5 D69.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 3168 B 3168 C. 612
3、 D 4310.设点 21,F分别是双曲线 )0(:2ayxC的左、右焦点，过点 1F且 x轴垂直的直线 l与双曲线C交于 BA,两点，若 2的面积为 6，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A xy3 B xy3 C. xy2 D xy211.已知 102da，函数 )sin()(Af )|,0(的部分图像如图所示，则函数xf)4(图像的一个对称中心是（ ）A )1,2( B )2,1( C. )1,27( D )2,43(12.已知定义在 R上的函数 )(xf满足 0)(xff，且 1,(,2710(log)(2xxf，若关于 x的方程 )()tf恰有 5 个不同的实数根 54321,，则 54
4、31的取值范围是（ ）A )1,2( B )1,( C. ),( D ),(二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. )(x展开式中各项的二项式系数之和为 14.已知 1,a， ),3(xb，若 ba与 垂直，则 x的值为 15.“裴波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多裴波那契发现，因为裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”. 裴波那契数列 na满足： 1， 2a， 21nna（3n， *N） ，记其前 n项和为 nS，设 ta2018（ 为常数） ，则 203140526SS （用 t表示）16.正四面体 BCDA的所有棱长均为 12，球
5、 O是其外接球， NM,分别是 ABC与 D的重心，则球 O截直线 M所得的弦长为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中， 3， 4A.（1）若 4A，求 B；（2）若 1，求 C的面积 S.18. “双十一”期间，某淘宝店主对其商品的上架时间 x（分钟）和销售量 y（件）的关系作了统计，得到如下数据：经计算： 125x， 40y， 572)(1iiiyx， 2864)(1iix.（1）该店主通过作散点图，发现上架时间与销售量线性相关，请你帮助店主求出上架时间与销售量的线性回归方程（保留三位小数） ，并预测商品上架 1000
6、 分钟时的销售量；（2）从这 11 组数据 ),(iyx中任选 2 组，设 xi且 yi的数据组数为 X，求 的分布列与数学期望.附：线性回归方程公式： 12()niiiiiybx， ab19. 如图，在直三棱柱 1CBA中， ， 41CAB， 52A， NM,分别是1,CBA的中点.（1）求证： /MN平面 1AC；（2）求平面 与平面 B所成的锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆 :E)0(12bayx的左、右焦点分别为 )0,(1cF， ),(2，直线 cx交椭圆于 A， B两点， 1F的周长为 16， 21AF的周长为 12.（1）求椭圆 的标准方程与离心率；（2）若直线 l与椭圆 E交
7、于 DC,两点，且 ),(P是线段 CD的中点，求直线 l的一般方程.21.已知函数 kxef2)(1（其中 e是自然对数的底数， Rk）.（1）讨论函数 的单调性；（2）当函数 )(xf有两个零点 21,x时，证明： 21x.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系和直角坐标系中，极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x轴的非负半轴重合，曲线 C的极坐标方程为 0cos2，曲线 D的参数方程为 sin21coyx（ 为参数）.（1）求曲线 C的直角坐标方程和曲线 的普通方程；（2）判断曲线 与曲线 的位置关系，
8、若两曲线相交，求出两交点间的距离.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 |3|)(xaxf )(R.（1）若函数 的最小值为 2，求实数 a的值；（2）若命题“存在 1,0x，满足不等式 |5|)(00xf”为假命题，求实数 a的取值范围.试卷答案1、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B 4.【答案】D【解析】由等比数列的性质有 228519614,8aa， 9482a.5.【答案】A【解析】 2log3a，22033 2()1,ln03baca，故 cab.6.【答案】B【解
9、析】 )2(1tant2， 又 为锐角， ,4 sin2i4， 2sin. 7.【答案】C【解析】当 120S时， ；当 16S时， 3；当 108S时， 4n；当 92S时，5；当 6时， n；当 4时， 7.此时退出循环，故输出的 为 7，故 C 项正确.8.【答案】D【解析】作出可行域如下图，当直线 3yxz过点 C 时， z最大，由 1024xy得 12xy，所以z的最大值为 69.【答案】A【解析】三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得，故其体积 211816424333V，故选 A.10.【答案】D【解析】设 )0,(1cF， ),(0yA，则 ,20yac则 20
10、4a，又 62ABFS,6241ac， 1,22ba，故该双曲线的渐近线方程为 xy.11.【答案】C【解析】 10dx， 4(),3T.又 2,13.显然 2A，所以()2sin()3fx.则 )2sin()6fax，令 Zkx6，则Zk,1，当 时， 17x，故 C 项正确.12.【答案】B【解析】作出函数 )(f的图象，由图象可知 )1,(t，设 54321xx，则6,5421xx，由图象可知 ,3x，故 )1,(5432x.1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-1-212xyO x5x4x1 x2 x3A(-3,1)B(-1,-1)C(1,1)D(3,-1)二、填空题:本题共
11、 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填写在题中的横线上.13.【答案】32【解析】二项式系数之和为 32.14.【答案】 5【解析】由题知 ()0ab，即 5,014x.15.【答案】 t【解析】 taaaaSS 2018620174201520163201452016 .16.【答案】 34【解析】正四面体 ABCD可补全为棱长为 的正方体，所以球 O是正方体的外接球，其半径632R，设正四面体的高为 h，则 64)3(122，故 641hNM，又 41MN,所以 O到直线 MN的距离为 )6(，因此球 截直线 所得的弦长为13)2(63(2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明
12、过程或演算步骤.17. 解：（1） 542B,在 AC中，由正弦定理得 sinsiACB，3sin264B.(6 分)（2）在 AC中，由余弦定理得2 2 1cos32BCABCA,1364B,解得 或 1,（8 分）当 3BC时， 1sin32SACB， （10 分）当 时， .（12 分）18.解：（ 1）由题知： b= 21)(iiiiixy= 86457=2.008， （2 分） a= xy=400-2.008125=149，回归直线方程为 14908.2xy；（4 分）当 10x时， 57，故预测商品上架 1000 分钟时销售量约为 2157 件. （6 分）（2）由（1）知， xi
13、且 yi的数据组数有 6 组，所以 X的可能取值为 0,1,2. )0(XP= 215C= ， )1(XP= 215C= ， )2(P= 16C= 3， （9 分） 的分布列为 X0 1 2P63 EX= 132610= .19. (1)证明：如图，连接 ,ACB,因为该三棱柱是直三棱柱， 1,则四边形 1AB为矩形，由矩形性质得 1B过 的中点 M在 1AC中，由中位线性质得 1/NC，又 1MN平 面， A平 面,/平 面；(2) 解： 12,4,25BCAC， ABC,如图，分别以 为 zyx轴正方向建立空间直角坐标系，11(0,)(,0)(,)(,0), (,2)(1,04)MN,NM
14、,（8分）设平面 的法向量为 mxyz，则2,400mCz，令 1,则 4,y3x，(4,31)， （10分）又易知平面 BA的一个法向量为 (1,0)n，2426cos, 3|mn，即平面 MNC与平面 1所成的锐二面角的余弦值为 1.（12分）20.解：（1）由题知 2246acb，解得423abc，椭圆 E 的标准方程为 16xy，离心率 12ea.（2）由（1）知 (2,3),)AB，易知直线 l的斜率存在，设为 k，设 12(),()CxyD， ， ,则2126xy，221106x，1121212()()xyy，又 )2,(P是线段 CD 的中点， 12124,xy1234ykx，故
15、直线 l的方程为 )(32y，化为一般形式即： 03.21.（1）解：因为 kexf1)，当 0k时，令 ln0(得 ，所以当 (,ln1)xk时， )(xf，当 (ln,)x时， ，所以函数 )f在区间 上单调递减，在区间 1上单调递增；（3 分）当 0k时， (1kexf恒成立，故此时函数 )(f在 R 上单调递增.（5 分）（2）证明：当 0k 时，由（1）知函数 )(xf单调递增，不存在两个零点，所以 0k，设函数 )的两个零点为 1212,x且 ，则 121 12 12(,()0,lnxx xee ，设121 1212, lntt xx，则 且，解得 12lnl+,ttx，所以 1(
16、1)ln+4t， （8 分）欲证 2x，只需证明 ()l,l2()0ttt即 证 ，设 ,1l,l)( ttgttg设 )(,01)(,1n2hthth单调递增，所以 0)(g，所 以 ()gt在 区 间 (,上 单 调 递 增 ，所 以 )ln01t， 故 12x成 立 22. 解：（1） 0cos， 0cos，将 xyx,2代入上式整理得曲线 C的直角坐标方程为 022xy，由 (sin1c为参数）消去参数 得曲线 D的普通方程为 4)1(2x.(5 分)（2）由（1）知曲线 C是圆心为 （1,0） ，半径 1r的圆，曲线 D是圆心为 （0,1） ，半径 2r=2 的圆， 2123)10()(| r，两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在的直线方程为 03yx，圆心 C到公共弦所在直线的距离为 2|= 4，
