1、2018 届广西桂梧高中高三上学期第五次联考数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合 ，故 故选:A 点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 已知为虚数单位，复数的实部是 2，虚部是 1，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】故选：C3. 对经过某路段的汽车进行车
2、速统计，得到频率分布直方图如图所示，若本路段限速 60 ，且每天经过该路段的车辆为 100 辆，则其中超速的车辆大约有（ ）A. 80 辆 B. 60 辆 C. 40 辆 D. 20 辆【答案】B【解析】根据频率分布直方图可得：若本路段限速 60 ，且每天经过该路段的车辆为 100 辆，则其中超速的车辆大约有 辆故选 B4. 为得到函数 的图像，只需将函数 图像上的所有点的（ ）A. 纵坐标伸长为原来的 2 倍（横坐标不变）B. 纵坐标伸长为原来的 倍（横坐标不变）C. 横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变）D. 横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变）【答案】C【解析】周期由 变为 ，故 C
3、项正确5. 双曲线 ： 与 轴的一个交点是 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】双曲线过点 ，则： ，据此可得： ，则双曲线方程为： ，双曲线的渐近线满足： ，据此整理可得双曲线的渐近线为： .本题选择 D 选项.6. 设实数 满足： ， ， ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，故 .故选：A7. 执行如图所示的程序框图，则输出的 为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C【解析】当 时， ；当 时， ；当 时， ；当时， ；当 时， ；当 时， ，此时退出循环，故输出的为 ，故选 C点睛：算法与流程图的
4、考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 设抛物线 的焦点为 ，直线交抛物线 于 两点， ，线段 的中点到抛物线 的准线的距离为 4，则 （ ）A. B. 5 C. 4 D. 3【答案】B【解析】抛物线方程可化为 ，线段 的中点到抛物线 的准线的距离为 4，则 ，故，故 B 项正确.故选：B9. 已知实数 满足不等式组 ，则函数 的最大值为（ ）A. 2 B. 4 C. 5 D. 6【答案】D【解析】作出不等式组表示的可行域如
5、下图阴影部分所示，由 得 。平移直线 ，结合图形可得，当直线经过可行域内的点 C 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时取得最大值。由 ，解得 ，故点 C 的坐标为（1,2） 。 。选 D。10. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体为右侧的一个半圆锥和左侧的一个三棱锥拼接而成。由三视图中的数据可得其体积为 。选 A。11. 如图，在 中， 是 边上的点，且满足 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】设 则 ， ，易知 ，由余弦定理可得，解得 ，故 ,故选:D12. 正四面体 的所有棱长
6、均为 12，球 是其外接球， 分别是 与 的重心，则球 截直线 所得的弦长为（ ）A. 4 B. C. D. 【答案】C故选：C点睛：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ， ，则 _【答案】16【解析】由题知故答案为：1614. 已知函数 在 时取得极大值 2，则 _【答案】-7【解析】 ，又由题意知 ， ， .故答案为：-715. “裴波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多裴波那契发
7、现，因为裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”. 裴波那契数列 满足： ， ， （ ，），记其前 项和为 ，设 （为常数），则 _ （用表示）【答案】【解析】 ， ， （ ， ）故答案为16. 已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，若关于的方程 有且只有一个实根，则的取值范围是_【答案】【解析】作出函数 与直线 的图象，由图可知当 时，函数 图象与直线 有且只有一个交点，即方程 有且只有一个实根.故答案为：点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函
8、数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) .【解析】试题分析：（1）由题意布列关于 的方程，从而得到了数列 的通项公式；（2）利用并项法求数列 的前 项和 .试题解析：（1） 又 成等比数列，即 ，解得.(2) ，.18. “双十一”期间，某淘宝店主对其商品的上架时间 （分钟）和销售量 （件）的关系作了统计
9、，得到如下数据：经计算： ， ， ， .（1）从满足 的数据 中任取两个，求所得两个数据都满足 的概率；（2）该店主通过作散点图，发现上架时间与销售量线性相关，请你帮助店主求出上架时间与销售量的线性回归方程（保留三位小数） ，并预测商品上架 1000 分钟时的销售量.【答案】(1) (2) ,预测商品上架 1000 分钟时销售量约为 2157 件【解析】试题分析：(1)由 得到满足题意的 6 个数据，从而明确了从中任取两个的所有结果为 15，进而可得到所求的概率；（2）利用公式计算 ， ，得到回归直线方程，即可预测商品上架 1000 分钟时的销售量.试题解析：（1）由表知满足 的数据个数有 6
10、 个，分别为 127,133,136,138,142,147.从中任取两个的所有结果为：;，共 15 种.其中两个数据都满足 的结果有 6 种，故所求概率（2）由题知： = = =2.008= =400-2.008125=149，回归直线方程为 ； 当 时， ，故预测商品上架 1000 分钟时销售量约为 2157 件. 19. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求点 到平面 的距离.【答案】(1)见解析，(2) 【解析】试题分析：(1)要证 平面 ，转证 即可；（2）点 到平面 的距离可视为三棱锥 的高，通过等体积建立方程，解之即可.试题解析：(1
11、)证明：如图，连接 ,因为该三棱柱是直三棱柱， ,则四边形 为矩形，由矩形性质得 过 的中点 M, 在 中，由中位线性质得 ，又 ， ,.(2)解： ， ,，又点 M 到平面的 的距离为 ， 设点 与平面 的距离为 ，由 可得 ，即 ，解得 ，即点 到平面 的距离为 .点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 交椭圆 于 ， 两点，的周长为 16， 的周长为 12.（1）求椭圆 的标准方程与离心率；（
12、2）若直线与椭圆 交于 两点，且 是线段 的中点，求直线的一般方程.【答案】(1) 标准方程为 ，离心率 (2) 【解析】试题分析：（1）由直线 交椭圆 于 ， 两点， 的周长为 16， 的周长为 12，可得， ，再结合 ，即可求出， ，的值，从而求出椭圆 的标准方程与离心率；（2）由（1）知 ，易知直线的斜率存在，设为 ，设 ，利用点差法，即可求出 ，从而求出直线的一般方程.试题解析：（1）由题知 ，解得椭圆 E 的标准方程为 ，离心率 .（2）由（1）知 ，易知直线的斜率存在，设为 ，设 ,则， ，又 是线段 CD 的中点，故直线的方程为 ，化为一般形式即： .点睛：当遇到直线与椭圆的相交
13、弦中点问题时可以运用点差法，解得直线斜率与中点坐标之间的数量关系，从而可以求出直线方程.21. 已知函数 ， ，其中是自然对数的底数.（1）求曲线 在 处的切线方程；（2）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）求导 ， ，从而得到曲线 在 处的切线方程；（2）由题意知 ，分别求二者的最值即可.试题解析：（1） 定义域为 ， ，又 ，故曲线 在 处的切线方程为 ，即 .（2）令 得 ，令 得 ，在 单调递增，在 单调递减，故当 时， ，又函数 在区间 上单调递增， 由题意知 ，即 ，.点睛：对任意的 ， 恒成立等价于 ；对任意的 ， 恒成立等
14、价于 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系和直角坐标系中，极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的非负半轴重合，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.（1）求曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；（2）判断曲线 与曲线 的位置关系，若两曲线相交，求出两交点间的距离.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）曲线 的极坐标方程为 ，即 ，利用 ，即可化为直角坐标方程，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 消去 即可化为普通方程；（2）由（1）知曲线 和曲线 都是圆，将两圆方程相减
15、即可得两圆公共弦所在的直线方程， 即可求出两交点间的距离.试题解析：（1） ，将 代入上式整理得曲线 的直角坐标方程为 ，由 为参数）消去参数 得曲线 的普通方程为 .（2）由（1）知曲线 是圆心为 （1,0） ，半径 的圆，曲线 是圆心为 （0,1） ，半径 =2 的圆， ，两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在的直线方程为 ，圆心 到公共弦所在直线的距离为 = ，公共弦长为 = . 23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）若函数 的最小值为 2，求实数的值；（2）若命题“存在 ，满足不等式 ”为假命题，求实数的取值范围.【答案】(1) 或 (2) 【解析】试题分析：（1）因为 ，结合
16、题设条件，即可求出实数的值；（2）由命题“存在 ，满足不等式 ”为假命题，可推出当 时， 恒成立，即可求出实数的取值范围.试题解析：（1）因为 ，所以 . 令 ，得 或 ，解得 或 . （2）若命题“存在 ，满足 ”是假命题，则当 时， 恒成立. 当 时， ， . 由 ，得 ，即 ，即 .据题意， ，则 解得 .所以实数的取值范围是 . 点睛：根据绝对值的定义，去掉绝对值符号是解决绝对值问题的最基本策略，解含有绝对值的不等式，比较简单的是含一个绝对值符号的，一般直接使用公式，还有不等式两边各含一个绝对值符号，一般用两边平方的方法解决，含两个或两个以上绝对值符号的不等式一般采用零点分区间讨论法.
