1、绝密启用前南宁二中 2018 届 1 月份数学模拟考试文科数学（考试时间 120 分钟 满分 150 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知集合 210，A， 2xB，则（ ）A ，B B 2|xA C. ,， D 0|【答案】A解：由 0)2(1x得 21x， 21xA，所以 21|xBA2已知复数 ia3（ 是虚数单位）是实数，则实数 a（ ）A0 B C 3 D2【答案】A【解析】 aii3-是纯虚数，得 0a，故选 A3如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和
2、白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（ ）A 14B 8C 2D 1【答案】D【解析】不妨设正方形边长为 a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面 积相等，即所各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为 2)(1a= 81，选 D.4.双曲线 2:10xyCax与轴的一个交点是(2，0)，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y B. 2 C. 2y D. 2yx【答案】D【解析】双曲线过点 2,0，则： 201a，据此可得： 24a，则双曲线方程为： 214xy，双曲线的渐近线满足： 204xy，据此整理可得双曲线的渐近线为： 2
3、yx.5.已知等差数列 na的公差为 2，若 134a， ， 成等比数列，则 2a等于( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【答案】B【解析】 134a， ， 成等比数列， 234， 216a，解得 18a。 286。选 B。6.设 ,lmn表示不同的直线， ,表示不同的平面，给出下列四个命题：若 /l，且 ，则 l； 若 ， ,mn ，则 n；若 ,，则 /； 如果 /,，那么 则错误的命题个数为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B 【解析】当 m l，且 时，由直线与平面垂直的判定定理知 l，故正确.当 ，n，所以 或 /n.又因为 /m，所以 与 n的关系平行、
4、相交或异面都有可能.故错误.当， 时， 或 与 相交，故错误. 当 /,nm，时， 不一定成立，故错误.7 设 3c,29osb,cs29sin3a ，则 ,abc大小关系为（ ）A b B a C D 【答案】D【解析】 31cos2)9cs12sin3(a， 29cosb， 30cos2，所以cb。 故选 D8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】B【解】由已知三视图可得，该几何体是一个底面为直角边为 的等腰直角三角形，高为 的三棱锥，如图，三棱锥 ，故该几何体的体积为，故选 B.9 宋元时期数学名著算学启蒙 中有关于“松竹并生 ”的问题：
5、松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n=（ ）A2 B3 C4 D5解：当 n=1 时 215a，b=4，满足进行循环的条件，当 n=2 时， 4，b =8 满足进行循环的条件，当 n=3 时 8135a，b=16 满足进行循环的条件，当 n=4 时 640， b=32 不满足进行循环的条件，故输出的 n 值为 4，故选 C10.已知函数 si0,fx和函数 xgtan53)(的图像相交于 ,ABC三点，则 AB的面积为（ ） A. 5 B. 52 C. D. 4【答案】B【解析】联立方程 sinfx
6、与 xgtan53)(可得 xsinta，解之得453cos,0x，所以 ),()0,CBA， ，因为 ,sinABCx到 轴的距离为 4in，所以 BC的面积为 241S，故选 B。11 椭圆 )0(12bayx的半焦距为 c，若抛物线 cxy2与椭圆的一个交点的横坐标为 c，则椭圆的离心率为（ ）A 13 B 12 C. 2 D 23答案 B由题有214cyab，而 22abc， 2ac，得 21e，由 01e得 2，故选 B12函数 f(x)的定义域是 R，f(0) 2，对任意 xR，f(x)f(x) 1，则不等式 exf(x)e x1 的解集为( )A.x|x0 B.x|x0C.x|x
7、1，或 x1 D.x|x1，或 0x1答案 A解：构造函数 g(x)e xf(x)e x，因为 g(x)e xf(x)e xf( x)e xe xf(x) f(x)e xe xe x0，所以 g(x) exf(x)e x为 R 上的增函数.又因为 g(0)e 0f(0)e 01，所以原不等式转化为 g(x)g(0)，解得 x0.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 已知 ,xy满足不等式01 yx，则 2zxy的最大值为_ 【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=x+2y 得 y= 12x+ z，平移直线 y= x+ z 由图象可知当直线 y= 1
8、2x+ z 经过点 A 时，直线 y= 12x+ z 的截距最大，此时 z 最大，由 0 1xy，即 0 xy，即 A（0，1） ，此时 z=0+2=2，14.在平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=1 ，ABC=120，则 ACB的值为 解：在平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=1，ABC=120，则 BC=1 5,cos|)( 22 ABCABCAB故答案为：515.已知三棱锥 D的所有棱长都为 ，则该三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】 3【解析】如图，构造正方体 ANDM-FBEC.因为三棱锥 A-BCD 的所有棱长都为 2，所以正方体 ANDM-FBEC 的棱长为 1.所以
9、该正方体的外接球的半径为 32.易知三棱锥 A-BCD 的外接球就是正方体 ANDM-FBEC 的外接球，所以三棱锥 A-BCD 的外接球的半径为.所以三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为 S 球 =423=3.16 已知函数 为为n(,)(f2且 )1()nfan，记 nS表示 na的前 n 项和， 则10S【答案】100【解析】根据 9a,7)4(f3a,5)(f2a,321)(fa 41 ，以此类推10)097)53(10 S.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答
10、。（一）必考题：共 60 分。17 （ 12 分）在 ABC 中，a 2c 2b 2 ac.(1)求 B 的大小； (2)求 cosAcosC 的最大值解析:(1)由余弦定理及题设，得cosB 23 分 又 0B，所以B 45 分 (2)由 (1)知AC 3，.6 分 则 2cosAcosC 2cosAcos )为7 分 cosA cosA sinA 2cosA sinAcos )4(10 分 因为 0A 3，11 分 所以当 A 时， 2cosAcosC 的最大值为 112 分 18.（ 12 分）高三一班、二班各有 6 名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示()若一班
11、、二班 6 名学生的平均分相同，求 x 值；()若将竞赛成绩在60,75)，75,85)，85,100内的学生在学校推优时，分别赋 1 分、2 分、3 分，现在从一班的 6 名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为 4 分的概率；解析：()由 9390x81737761909484727663，得 x4 .4 分 ()由题意知一班赋 3,2,1 分的学生各有 2 名，.5 分 设赋 3 分的学生为 A1，A 2，赋 2 分的学生为 B1，B 2，赋 1 分的学生为 C1，C 2，. 6分 则从 6 人抽取两人的基本事件为A1A2，A 1B1，A 1B2，A 1C1，A 1C2，A 2
12、B1，A 2B2，A 2C1，A 2C2，B 1B2，B 1C1，B 1C2，B 2C1，B 2C2，C 1C2共 15 种，.8 分 其中赋分和为 4 分的有 5 种，. .10 分 这两名学生赋分的和为 4 的概率 P 51 312 分 19（ 12 分） 如图，四棱锥 ABCD中， A 为正三角形， ABCD ， 2，09BAD， P， E、F 分别为棱 、PA 的中点.（1）求证：平面 平面 ；（2）若 2,直线 与平面 P所成角为 045，求四棱锥 P的体积.解：(1) E、F 分别为棱 B、PA 的中点12AB，又 12CDA ， EF ， DC四 边 形 为平行四边形，.1 分
13、FE. 又 PA 为正三角形，D，3 分 又 C，E， PA平面 EFDC，4 分 又 PA平面 B，平面 平面 . .5 分 2, ,.CPABAPDABPD 又 平 面.6 分 045.DDCC平 面 为 与 平 面 所 成 的 角 即，7 分 4,2ABC又,8)42(1)21ABCDSABCD（直 角 梯 形 .8 分 而 P平 面, 平 面,平 面平 面,过 P 作 O垂 足 为,得 ABO平 面 .9 分 为 等 边 三 角 形PD， 3223ADO,.10 分 8131ABCABCPSV直 角 梯 形四 棱 锥. .12 分 20.（ 12 分）如图，曲线 E： 与正方形 L:
14、4|yx的边界相切.()求 mn的值；()设直线 l： bxy交曲线 于 A， B，交 于 C， D，是否存在这样的曲线 E，使得 |CA， |， |D成等差数列？若存在，求出实数 b的取值范围；若不存在，请说明理由。解：()由题214xymn，得 2()8160mxmn，1分有= 264()16)0，.2 分化简的 4mnn3 分又 0,，所以 从而有 16mn；4 分()由 2ABCD，5 分34得，即 4236 分由21xymnb， 22()0nmxbmn得 7 分由 22440可得 216且 2bmxn，21bnx.8 分所以22()41| 3mnbABka.9 分可得 23(6)bm
15、n，.10 分从而 2381 .11 分所以 289b，即有 23b，符合 216bmn， 故当实数 b的取值范围是3时，存在直线 l和曲线 C，使得 |A， |B， |D成等差数列。.12 分21.（ 12 分）已知函数 ()1,afxnR（）若 2a, 求函数 的最小值；（）若关于 x的不等式 ()2fx在 ,)上恒成立，求 a的取值范围。解：（） 1ln,1 分 则 2/1)(xxf 2 分 当 2时， 0)(/f， )(f在 ， 单调递增，3 分 当 0x时， /， 在 ,0单调递减，4 分 时 取 得 最 小 值在)(f，即 2ln1l)2(min fxf 5 分 （）由 12x，得
16、 1a即 an在 ,)上恒成立6 分 设函数 2()1mxx， 1则 7 分 设 ()1nx则 8 分 易知当 x时， ()0nx ()n在 1,上单调递增，且 ()10nx9 分 即 (mx对 1,x恒成立 )在 ,)上单调递增10 分 当 1x时， min1()()2x 11 分 2a，即 的取值范围是 , 12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy中，点 (1,2)P在倾斜角为 的直线 l上以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的方程为
17、 6sin（）写出 l的参数方程及 C的直角坐标方程；（）设 与 相交于 A， B两点，求 1|PAB的最小值解: （ 1） l的参数方程为 1cos2inxty（ t为参数） 2 分由 6sin得 6s，.3 分 C的直角坐标方程是 20xy 5 分（2 ）将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程得 2(cos2in)70t 6 分因为 2(cosin)80， 12int ， 12t， 所以 1212|tt 7 分 所以 |PAB21112()4| 324sin277ttt ， 9 分当 45时等号成立因此 1|PAB取最小值 27 10 分23 选修 45：不等式选讲（10 分）已知 |fxa， |3|gxx，记关于 x的不等式 fxg的解集为 M.（1）若 3M，求实数 的取值范围；（2）若 ,，求实数 a的取值范围.解：（1）依题意有： |23|，1 分 若 32a，则 ， a ， 2 分 若 0，则 23， 02 ，3 分 若 a，则 a，无解，4 分 综上所述， 的取值范围为 0,3.5 分 （2）由题意可知，当 1,x时 fxg恒成立，|3xa恒成立，7 分 即 x，8 分 当 1,x时恒成立， 2a .10 分
