1、四、拉氏反变换,第二章 数学模型,L1为拉氏反变换的符号。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,4.1 求解拉氏反变换的部分分式法,部分分式法,如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：,F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s),假定F1(s), F2(s), ，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：,L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s),= f1(t) + f2(t) + + fn(t),第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical
2、 & electronic engineering,在控制理论中，通常：,为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式：,式中，-p1，-p2，-pn为方程A(s)=0的根，称为F(s)的极点；ci=bi /a0 (i = 0,1,m)。,此时，即可将F(s)展开成部分分式。,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,F(s)只含有不同的实数极点,式中，Ai为常数，称为s = -pi极点处的留数。,于是：,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic
3、 engineering,解：,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,即：,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,F(s)含有重极点,设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则：,式中，Ar+1，An利用前面的方法求解。,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of
4、mechanical & electronic engineering,注意到：,所以：,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,解：,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,于是：,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,应用拉氏变换解线性微分方程,求解步骤,将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；,解代数方程，得到有关变
5、量的拉氏变换表达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,解：对微分方程左边进行拉氏变换：,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,即：,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic e
6、ngineering,对方程右边进行拉氏变换：,从而：,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,所以：,当初始条件为零时：,第二章 数学模型,零状态响应,零输入响应,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,作业,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electr
7、onic engineering,求 的原函数。,求 的拉氏反变换。,作业,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,作业,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,求 的原函数,作业,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,求 的拉氏反变换。,【解】运用部分分式展开法，有,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic eng
8、ineering,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,的部分分式为,四、传递函数,传递函数的概念和定义,传递函数,第二章 数学模型,在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。,零初始条件：,t0时，输入量及其各阶导数均为0；,输入量施加于系统之前，系统处于稳定的状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为0；,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,传递函数求解示例,质量-弹簧-阻尼系统的传递
9、函数,所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：,按照定义，系统的传递函数为：,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,R-L-C无源电路网络的传递函数,所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,几点结论,传递函数是复数s域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。传递函数表征了系 统内在的固有动态特性。,传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系
10、统的固有特性。即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。,不同的系统可以具有相同类型的传递函数。,传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统；,传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。,传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始
11、条件下的全部运动规律；,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,传递函数的一般形式,考虑线性定常系统,当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,令：,则：,N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。,特征方程、零点和极点,特征方程,第二章 数学模型,College of m
12、echanical & electronic engineering,第二章 数学模型,式中，K称为系统的放大系数或增益。,当s=0时：G(0)=bm/an=K,从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K 反应了系统处于稳态时，输出与输入的比值。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,零点和极点,将G(s)写成下面的形式：,N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj(j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点；,式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-z
13、m)=0的根s=zi(i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点；,系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,零、极点分布图,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,典型环节及其传递函数,环节,具有某种确定信息传递关系的元件、元
14、件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。,任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,比例环节： K,一阶微分环节： Ts+1,积分环节：,惯性环节：,振荡环节：,延迟环节:,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,典型环节示例,比例环节,输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。,其运动方程为：xo(t)=Kxi(t),xo(t)、xi(t)分
15、别为环节的输出和输入量；,K比例系数，等于输出量与输入量之比。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,比例环节的传递函数为：,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,惯性环节,凡运动方程为一阶微分方程：,形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：,T时间常数，表征环节的惯性，和环节结构参数有关,式中，K环节增益（放大系数）；,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic eng
16、ineering,第二章 数学模型,如：弹簧-阻尼器环节,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,微分环节,输出量正比于输入量的微分。,运动方程为：,传递函数为：,式中，T微分环节的时间常数,在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,无源微分网络,显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|1时，才近似为微分环节。,第二章 数学
17、模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,除了上述纯微分环节外，还有一类一阶微分环节，其传递函数为：,微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,积分环节,输出量正比于输入量对时间的积分。,运动方程为：,传递函数为：,式中，T积分环节的时间常数。,第二章 数学模型,College of mech
18、anical & electronic engineering,第二章 数学模型,积分环节特点：,积分环节常用来改善系统的稳态性能。,如当输入量为常值 A 时，由于：,输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,振荡环节,含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：,传递函数：,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,
19、式中，T振荡环节的时间常数阻尼比，对于振荡环节，01K比例系数,振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K=1）：,n称为无阻尼固有频率。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,如：质量-弹簧-阻尼系统,传递函数：,式中，,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,延迟环节,运动方程：,传递函数：,式中，为纯延迟时间。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engine
20、ering,第二章 数学模型,惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；,延迟环节从输入开始之初，在0 时间内,没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。,延迟环节与惯性环节的区别：,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,小结,环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件；,一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成；,同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。,第二章 数学模型,College of mechanica
21、l & electronic engineering,第二章 数学模型,五、系统方框图,系统方框图,系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,方框图的结构要素,信号线,带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,信号引出点（线）
22、,表示信号引出或测量的位置和传递方向。,同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,函数方框(环节),函数方框具有运算功能，即：,X2(s)=G(s)X1(s),传递函数的图解表示。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,求和点（比较点、综合点）,信号之间代数加减运算的图解。用符号“”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的 “+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。,相邻求
23、和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,系统方框图的建立,步骤,建立
24、系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。,对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。,按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,示例,无源RC网络,拉氏变换得：,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,从而可得系统各方框单元及其方框图。,(a),(b),第二章 数学模型,College of mechanical
25、 & electronic engineering,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,机械系统,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,(a),(b),第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第
26、二章 数学模型,(c),(d),第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,系统方框图的简化,方框图的运算法则,串联连接,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,并联连接,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数
27、学模型,反馈连接,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,方框图的等效变换法则,求和点的移动,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,引出点的移动,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,由方框图求系统传递函数,基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。,第二章 数学模型,Colle
28、ge of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,例1：求下图所示系统的传递函数。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,解：1、A点前移；,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,2、消去H2(s)G3(s)反馈回路,H1(s),Xo(s),G1(s),G3(s),H3(s),+,Xi(s),第二章 数学模型,College of mechanical & el
29、ectronic engineering,第二章 数学模型,3、消去H1(s) 反馈回路,4、消去H3(s) 反馈回路,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,例2：求下图所示系统的传递函数。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic en
30、gineering,梅逊公式,第二章 数学模型,式中，P 系统总传递函数,Pk 第k条前向通路的传递函数（通路增益）, 特征式,k 第k条前向通路特征式的余因子，即对于特征式，将与第k 条前向通路相接触的 回路传递函数代以零值，余下的即为k。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,所有不同回路的传递函数之和；,每两个互不接触回路传递函数乘积之和,每三个互不接触回路传递函数乘积之和,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学
31、模型,例2：求下图所示系统的传递函数。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,只有1条前向通路，传递函数为G1(s) G2(s) G3(s), 1 =1,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,哈工大2001年研究生入学考试试题,已知系统的结构图，求系统的等效闭环传递函数及等效开环传递函数。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学
32、模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,有2条前向通路，传递函数分别为 P1 =s 1/(Ts+1) K2/s P2 =K1/s 1/(Ts+1) K2/s, 1 =1, 2 =1,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,若将原系统等效为单位反馈系统，则,对应的等效开环传递函数,第二章 数学模型,控制
33、系统的传递函数,考虑扰动的闭环控制系统,Xi(s)到Xo(s)的信号传递通路称为前向通道； Xo(s)到B(s)的信号传递通路称为反馈通道；,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,闭环系统的开环传递函数,闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信号B(s)和偏差信号 (s)之间的传递函数，即：,将闭环控制系统主反馈通道的输出断开，即H(s)的输出通道断开，此时，前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积G1(s)G2(s)H(s)称为该闭环控制系统的开环传递函数。记为GK(s)。,第二章 数学模型,Colle
34、ge of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,xi(t)作用下系统的闭环传递函数,令n(t)=0，此时在输入xi(t)作用下系统的闭环传递函数为：,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,输入作用下系统的偏差传递函数,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,n(t)作用下系统的闭环传递函数,令xi(t)=0，此时在扰动n(t)作用下系统的闭环传递函数（干扰传递函
35、数）为：,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,扰动作用下系统的偏差传递函数,令xi(t)=0，此时系统在扰动作用下的偏差传递函数（称扰动偏差传递函数）。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,结论,系统的闭环传递函数 、 、及 具有相同的特征多项式：1+G1(s)G2(s)H(s)其中G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数。即闭环传递函数的极点相同。,系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关；同一
36、个外作用加在系统不同的位置上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性；,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,系统的总输出,根据线性系统的叠加原理，系统在输入xi(t)及扰动n(t)共同作用下的总输出为：,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,上式表明，采用反馈控制的系统，适当选择元部件的结构参数，可以增强系统抑制干扰的能力。,第二章 数学模型,College of mechanical & electroni
37、c engineering,第二章 数学模型,六、小结,数学模型基本概念,数学模型形式,微分方程,传递函数,控制系统的图形化描述,方框图,闭环控制系统的传递函数,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,第二章 数学模型,哈工大2002年研究生入学考试试题,某单位反馈系统在单位脉冲信号作用下系统输出为： 求其开环传递函数。,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,上海交大2000年研究生入学考试试题,第二章 数学模型,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,系统初值为0。 （1）列写系统的微分方程 （2）确定其传递函数,第二章 数学模型,如：有源积分网络,第二章 数学模型,College of mechanical & electronic engineering,
