1、2018 届广东省六校第三次联考理科数学第卷(共 60 分)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 为实数,且 , 为实数,且 ,则 的元素个数为( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】由题意得圆 的圆心 到直线 的距离为 ,故直线和圆相切,即直线和圆有 1 个公共点,所以 的元素个数为 1选 B2. 设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )A. 63 B. 45 C. 36 D. 27【答案】A【解析】由题意 , , , , , ,故选 A3. 若变量 满足约束条件 ,则
2、的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)由 得 ,平移直线 ,结合图形可得,当直线经过可行域内的点 A 时,直线在 y轴上的截距最大,此时 z 取得最大值,由题意得点 A 的坐标为( 3,0), 当直线经过可行域内的点 B 时,直线在 y 轴上的截距最小 ,此时 z 取得最小值,由 ,解得 ,故点 B 的坐标为 , 综上可得 ,故 的取值范围是 选 D4. 函数 的部分图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】当 为正且接近于 0 时, 为负且绝对值较在,则 , ,只有 A符合,故选 A5. 设函数 ,其中常数 满
3、足 .若函数 (其中 是函数 的导数)是偶函数,则 等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得,函数 为偶函数, 又 , 选 A6. 执行下面的程序框图,如果输入的 分别为 1,2,3,输出的 ,那么,判断框中应填入的条件为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】依次执行程序框图中的程序,可得: ,满足条件,继续运行; ,满足条件,继续运行; ,不满足条件,停止运行 ,输出 故判断框内应填 ,即 选 C7. 已知 为虚数单位) ,又数列 满足:当 时, ;当 , 为 的虚部,若数列 的前 项和为 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 , ,又 , ,
4、 ,故选 C8. 如图,在同一个平面内,三个单位向量 满足条件: 与 的夹角为 ,且 , 与与的夹角为 45.若 ,则 的值为( )A. 3 B. C. D. 【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,由 知 为锐角,且 ,故 ,点 B,C 的坐标为 , 又 , , ,解得 , 选 B9. 四面体 中,三组对棱的长分别相等,依次为 ,则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】以四面的棱为一长方体的面对角线,构造一个长方体,设长方体的棱长分别为 ,则,所以 ,即 , , ,故选 C10. 从 2 个不同的红球、2 个不同的黄球、2 个不同的篮球共六个球中任取 2 个,
5、放入红、黄、蓝色的三个袋子中,每个袋子至多放入一个球,且球色与袋色不同,那么不同的放法有( )A. 42 种 B. 36 种 C. 72 种 D. 46 种【答案】A【解析】分以下几种情况:取出的两球同色,有 3 种可能,取出球后则只能将两球放在不同色的袋子中,则共有 种不同的方法,故不同的放法有 种综上可得不同的放法有 42 种选 A11. 已知点 为双曲线 的右焦点,直线 与 交于 两点,若 ,设,且 ,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】在 , , , , , , , , , ,故选 D点睛:由双曲线的对称性知 M,N 关于原点对称,且 ,由于涉
6、及到 M,N 到焦点的距离,所以从双曲线的定义入手,利用 可建立一个关系式,其中 ,这样就把离心率与 之间的函数式表示出来,最后根据三角函数的性质可得其范围12. 已知 是函数 与 图象的两个不同的交点,则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 得 ,设 ,则 ,当 时函数单调递减,当 时函数单调递增,故 由题意得 (令 )是函数 图象与直线 的两个交点的横坐标,即 ,结合图象可得 设 ,则 , 在 上单调递增, , , ,故 ,且 在 上单调递减, ,即 由 ,得 ,故 在 上单调递增 设 ,可得函数 在 上单调递减, ,即 ,又 , , ,即 , , 综上可得 ,
7、即所求范围为 选 D第卷(共 90 分)二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13. 已知函数 是定义在 上的奇函数,则 _【答案】【解析】 14. 已知函数 ,若 ,则函数 恒过定点_【答案】15. 已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图为一正方形,则该几何体的表面积为_【答案】【解析】由三四图可得,该几何体为如图所示的三棱锥 正方体的棱长为 2, , ,该几何体的表面积为 答案:16. 若函数 的图象上存在不同的两点 ,其中 使得 的最大值为 0,则称函数 是“柯西函数”.给出下列函数: ; ; ; .其中是“柯西函数”的为_(填上所有正确答案的序号) 【答案】【解
8、析】设 ,题意即为 的最大值为 0,因此 共线,即 三点共线,也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点,从图象上看只有满足,故答案为点睛:本题考查新定义问题,新定义“柯西函数” ,在我们引入点的坐标 后,题意转化为的最大值为 0,从而利用平面数量积的性质得 共线,即 三点共线,也即为过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点,为从形上易得结论三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 设数列 的前 项和为 ,数列 的前 项和为 ,满足 .()求 的值;()求数列 的通项公式.【答案】() , , ;() .【解析】试题分析:()在
9、中,分别令 可得到 ,然后可得到 的值()先由 得到,再由 可得 ,故可得 ,因此得到数列 为等比数列,由此可求得数列 的通项公式试题解析:() , , ; , ; , () , ,-得, ,又 也满足上式, , , -得 , 又 ,数列 是首项为 3,公比为 的等比数列 , 点睛:数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系是 在应用此结论解题时要注意:若当 n1 时, a1 若适合 ,则 n1 的情况可并入 n2 时的通项 an;当 n1 时, a1 若不适合 ,则用分段函数的形式表示18. 某小店每天以每份 5 元的价格从食品厂购进若干份食品,然后以每份 10 元的价格出售.如果当天卖不完
10、,剩下的食品还可以每份 1 元的价格退回食品厂处理.()若小店一天购进 16 份,求当天的利润 (单位:元)关于当天需求量 (单位:份, )的函数解析式;()小店记录了 100 天这种食品的日需求量(单位:份) ,整理得下表:日需求量 14 15 16 17 18 19 20频数 10 20 16 16 15 13 10以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进 16 份这种食品, 表示当天的利润(单位:元) ,求 的分布列及数学期望;(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据,你认为一天应购进食品 16 份还是 17 份?【答案】() ;()(i)答案见解析;
11、(ii)17 份.【解析】试题分析:() 分 和 两种情况分别求得利润,写成分段的形式即可得到所求()(i) 由题意知 的所有可能的取值为 62,71,80,分别求出相应的概率可得分布列和期望; (ii)由题意得小店一天购进 17 份食品时,利润 的所有可能取值为 58,67,76,85,分别求得概率后可得 的分布列和期望,比较 的大小可得选择的结论试题解析:()当日需求量 时,利润 , 当日需求量 时,利润 , 所以 关于 的函数解析式为 ()(i)由题意知 的所有可能的取值为 62,71,80, 并且 , , 的分布列为:X 62 71 80P 01 02 07 元 (ii)若小店一天购进
12、 17 份食品, 表示当天的利润(单位:元),那么 的分布列为Y 58 67 76 85P 01 02 016 054 的数学期望为 元 由以上的计算结果可以看出 ,即购进 17 份食品时的平均利润大于购进 16 份时的平均利润所以小店应选择一天购进 17 份19. 如图,在四棱锥 中, 是平行四边形, , ,分别是 的中点.()证明:平面 平面 ;()求二面角 的余弦值.【答案】()证明见解析;() .【解析】试题分析:()运用几何法和坐标法两种方法进行证明可得结论 ( )运用几何法和坐标法两种方法求解, 利用坐标法求解时,在得到两平面法向量夹角余弦值的基础上,通过图形判断出二面角的大小,最
13、后才能得到结论试题解析:解法一:()取 中点 ,连 , , , 是平行四边形, , , , 是等边三角形, , , 平面 , . 分别是 的中点, , , , , , 平面 , 平面 ,平面 平面 . ()由()知 , , 是二面角 的平面角. , , , 在 中,根据余弦定理得 , 二面角 的余弦值为 解法二:() 是平行四边形, , , 是等边三角形, 是 的中点, , , . 以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 则 , , , , , 设 ,由 , ,可得 , , , , 是 的中点, , , , , , 平面 , 平面 ,平面 平面 . ()由()知, , 设 是平面 的法
14、向量,由 ,得 ,令 ,则 又 是平面 的法向量, , 由图形知二面角 为钝角,二面角 的余弦值为 . 20. 已知椭圆 的离心率为 , 分别为椭圆 的左、右顶点点 满足.()求椭圆 的方程;()设直线经过点 且与 交于不同的两点 ,试问:在 轴上是否存在点 ,使得 与直线 的斜率的和为定值?若存在,请求出点 的坐标及定值;若不存在,请说明理由.【答案】() ;()答案见解析.【解析】试题分析:()由 可得 ,再根据离心率求得 ,由此可得 ,故可得椭圆的方程 ()由题意可得直线的斜率存在,设出直线方程后与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程,求出直线 与直线 的斜率,结合根与系数的关系可得,根据
15、此式的特点可得当 时, 为定值试题解析:()依题意得 、 , , , 解得 , , ,故椭圆 的方程为 ()假设存在满足条件的点 . 当直线 与 轴垂直时,它与椭圆只有一个交点,不满足题意. 因此直线 的斜率 存在,设直线 的方程为 ,由 消去 整理得,设 、 ,则 , , , 要使对任意实数 , 为定值,则只有 ,此时 故在 轴上存在点 ,使得直线 与直线 的斜率的和为定值 点睛:解决解析几何中定值问题的常用方法(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关(2)直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量得到常数 ,从而证明得到定值,这是解答类似问题的常用
16、方法 21. 已知函数 ,其中 .()函数 的图象能否与 轴相切?若能,求出实数,若不能,请说明理由;()求最大的整数,使得对任意 ,不等式 恒成立.【答案】()答案见解析;()3.【解析】试题分析:()若能与 轴相切,则存在,使得 ,能求出,说明存在,否则说明不存在;()把已知不等式变形为 ,由于 ,因此只要函数 是增函数即可,由 中 得 ,这是必要条件,其中最大整数是 3,因此下面只要证 时,恒成立为此可分类, 时, ,代入可证有, 时,由 可证 ,从而可得结论试题解析:()由于 .假设函数 的图象与 轴相切于点 ,则有 ,即 .显然 代入方程 中得, . ,无解故无论取何值,函数 的图象
17、都不能与 轴相切.()依题意,恒成立.设 ,则上式等价于 ,要使对任意 恒成立,即使 在 上单调递增, 在 上恒成立.则 , 在 上成立的必要条件是: .下面证明:当 时, 恒成立.设 ,则 ,当 时, ,当 时, , ,即 .那么,当 时, ;当 时, , 恒成立.因此,的最大整数值为 3.请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 已知直线的参数方程为 (为参数, ) ,以坐标原点为极点,以 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,射线 , 分别与曲线 交于三点(不包括极点 ).()求证: ;()当 时,若 两点在直线上,求 与 的值.【答
18、案】()证明见解析;() .【解析】试题分析:()由曲线 C 的极坐标方程可得点 的极径,即得到 ,计算后即可证得结论正确() 根据 可求得点 B,C 的极坐标,转化为直角坐标后可得直线 BC 的直角坐标方程,结合方程可得 与 的值试题解析:()证明:依题意, , , , 则 ()当 时, 两点的极坐标分别为 , , 故两点的直角坐标为 , . 所以经过点 的直线方程为 , 又直线 经过点 ,倾斜角为 ,故 , 23. 已知函数 .()若 ,求实数的取值范围;()若不等式 恒成立,求实数的取值范围.【答案】() ;() .【解析】试题分析:()由 可得 ,根据分类讨论法解不等式组即可 ()根据绝对值的几何意义求得 的最小值为 ,由 可得实数的取值范围试题解析:()由 可得, , 当 时,不等式化为 ,解得 , ; 当 时,不等式化为 ,解得 , ; 当 时,不等式化为 ,解得 , . 综上实数 的取值范围是 ()由 及绝对值的几何意义可得,当 时, 取得最小值不等式 恒成立, ,即 ,解得 或 实数 的取值范围是 .