1、北京市第十四中学 20172018 学年度第一学期高三 数学学科期中试卷第 I 卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的将答案填在答题纸上1设集合 2|340Mx， |05Nx ，则 MN（ ） A (0,4B ,)C 1,0)D (1,0【答案】B【解析】 230x，解得 14x， |14M， |N 故选 B2复数 i(2)在复平面内所对应的点落在第（ ）象限A一 B二 C三 D四【答案】C【解析】 i(2)1i，应落在第三象限故选 3下列极坐标方程表示圆的是（ ） A 1B2C sin1D
2、(sinco)1【答案】A【解析】 选项 ， 221xy表示圆故选4下列说法中正确的是（ ） A “ (0)f”是“ 函数 ()fx是奇函数”的充要条件B若 :pxR， 201，则 :pxR， 210xC若 q为假命题，则 ， q均为假命题D “若6，则sin2”的否命题是“若6，则sin2”【答案】D【解析】 A ()fx是奇函数， (0)f不一定存在，如1()fx，错；B p应为 R， 21 ，错；C若 q为假命题，则 p， q中有一个为假即可，错故选 D5如图，正方形 ABC内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，
3、则此点取自黑色部分的概率是（ ） DABCA14B8C12D4【答案】B【解析】由图可知，黑色图形面积占圆的一半，设正方形边长为 2x，则 r，248px故选 B6若实数 x， y满足32xy ，则 xy的最大值为（ ） 1121主主()主主()主A 1B 3C 5D 9【答案】D【解析】如图所示， x， y满足阴影部分， 2zxy，12zx，当直线过 C时， z最大， max9z故选 D 3AB y+x=2(3,)x=37某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A 25B 45C 25D 5【答案】C【解析】如图所示，图形为 DA，12ABCS， 51DAB ，6，12BCS，
4、表面积为525故选 212DABC8若函数 ()fx满足：“对于区间 (1,2)上的任意实数 1x， 21()x， 2121|()|ffx恒成立”，则称()f为完美函数给出以下四个函数 (f ()|fxf 2()f其中是完美函数的是（ ） A B C D【答案】C【解析】12212|()|xfxf， 1x， 2,，12112|x，符合； 212121|()|fxfxx，不符合；2121| |ff，符合； 22112121|()|()|fxfxx， 1， ,， 2， 1212121|()|()|fxfxx，不符合故选 C第 II 卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小
5、题 5 分，共 30 分将答案填在答题纸上9在 5(2)x的展开式中， 3x的系数为_ （用数字作答）【答案】 0【解析】二项展开式中含 3的项为 3235C40x，系数为 4010记 nS为等差数列 na的前 项和若 45a， 68S，则 na的公差为_【答案】 4【解析】166()482， 1a， 45， 1628d， d11阅读程序框图，该程序输出的结果是_k 3k=+1x=s,ytt=x+ys=x y,yx=1,=1,k=0主主输 出 (x,y)结 束【答案】 (4,0)【解析】 1x， y， 0k时， S， 2t， 2， ， 2， t， ， ， 4， ，4x， 0y， 3k，输出 (
6、,0)12若双曲线21xm的离心率为 3，则实数 m_【答案】【解析】 e3， 2a， 2b， 21c，1ca， 2m13在 ABC 中，点 M， N满足 2AC， BN若 MxAByC，则 xy_【答案】23【解析】如图： 213ACB()126，12x， 6y， 3 KB CNM14定义：关于 x的两个不等式 ()0fx和 ()g的解集分别为 (,)ab和1,，则称这两个不等式为相连不等式如果不等式 243cos2与不等式 24sin0x为相连不等式，且,2，则_【答案】56【解析】设 243cos20x的两根 a， b，则 2sin1的两根为1， ，143cos2abab，即 tn23，
7、,，56三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或证明过程15 （ 13分）已知函数 2()sincos1fxax的图象经过点,08（ ）求实数 a的值（ 2）若 0,)x，求 ()f的值域【答案】 （ 1） 2 （ ） 2,【解析】 （ ）()sincosafxx，经过,08sinco0824af， （ 2）()sinco2sin4fxxx，当 0,)时，7,4，当2x时，即38x时，max()f，当324，即7x时，min()fx， 值域为 2,)16 （ 13分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8次记录如
8、下：甲： 2， ， 79， 8， 5， ， 93， 84乙： ， 5， 0， ， ， 0， ， 5（ 1）用茎叶图表示这两组数据（ 2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由（ 3）若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这 3次成绩中高于 80分的次数为 ，求 的分布列及数学期望【答案】 （ 1） 250350884215789935主主（ ）派甲（ 3）()4E【解析】 （ 1）茎叶图如下：250350884215789935主主（ ）派甲 1(7984281953)x甲 85， (0530)x乙，235.S甲， 241
9、S乙 ， x甲 乙 ，2S甲 乙，派甲合适 （ ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80分”为事件 A，63()84pA，则 可能为 0， 1， 2， 3，且 服从3,4B，3()C4kkP， 0， 1， 2， 3，分布列为： 123P64976439()4E17 （ 1分）如图，在四棱锥 AEFCB中， A 为等边三角形，平面 AEF 平面 CB， EF ，4BC， 2Fa， 60 ， O为 EF的中点（ ）求证： AOB （ 2）求二面角 的余弦值（ 3）若 E 平面 C，求 a的值FE CBAO【答案】 （ 1）见解析 （ 2）5 （ 3）4a【解析】 （ ）证明： AEF 为等边三角
10、形， O为 EF的中点， AOEF ， 面 CB， 面 ， （ 2）取 中点 G，连结 O， EFCB为等腰梯形， OEF ， A 面 CB， ， ，如图建系： (,0)a，(0,3)A， 2,B，,E， (3(2),0Ea，设 法向量 ,)nxyz，则30(2)()axz， 1， ， 1y， (3,)n，面 AEF法向量为 (0,)P，5cos|n，由图可知二面角为钝角，余弦为5（ 3） BE 面 AOC， ，即 0， (2,3(),a， (2,3),0a， BECa ，且 ，43a zx yOABCEFG18 （ 13分）设 0a，函数ln()axf（ ）讨论 ()fx的单调性（ 2）求
11、的区间 ,2上的最小值【答案】 （ 1）增区间 (0e)，减区间 e,)（ 2）当 02a时， minlfxa，当 2 时， min1()l2fxa【解析】 （ 1）l()(0)f， 2ln()axfx， 0，当 (,e)x时，f， f单增，当 ,)时， ()0x ， ()fx单减， (fx的单调增区间为 ,e，单调减区间为 e,+)（ 2）当 a 时， (fx在 ,2a上单增，minl()()nfxf，当 e 时， x在 ,上单减， minl21()()laffa，当 e2a时，即e时，()fx在 ,上单增，在 (,2)a上单减， min)f，()lnfa， 1(2)ln2faa，当 2e
12、时， 0，即 ()f， min1()()ln2fxfa，当e2时， ()f， min()()lfxfa，综上所述：当 02a时， i ，当 2a 时， min()()lfxf19 （ 13分）已知椭圆2:1()yCabc的离心率为32，点31,2A在椭圆上（ ）求椭圆 的方程（ 2）设动直线 l与椭圆 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O为圆心的圆，满足此圆与 l相交于两点 1P， 2（两点均不在坐标轴上） ，且使得直线 1OP、 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由【答案】 （ 1）214xy（ 2）圆方程为 25，斜率之积14【解析】 （ 1） 2341cab
13、，解得 24a， 21b，椭圆方程为xy（ 2）设存在，且圆方程为 22xyr，当 k存在时，设 l方程 km，214yxm，得： 22(41)840kx，21(8)0k，即 1k，22yxr，得： 22()kxkmr，()41kmr，设 1,P， 2,y， 12mxk，21rxk，122 2112()()OPyxm2rkm， 4， 122()1OPrkk，要为定值，则224r，即 25，当 25xy时， 124OPk，当 k不存在时， x， 5y的交点 1P， 2，满足 124OP，成立20 （ 分）已知函数 ()exfk（ 1）若 ek，确定函数 的单调区间（ 2）若 0，且对于任意 xR
14、， (|)0fx恒成立，求实数 k的取值范围（ 3）求证：不等式 15e(4ini对任意正整数 n恒成立【答案】 （ ）增区间 ,)，减区间 ,1)（ 2） 0ek（ 3）见解析【解析】 （ 1） ， ()exf， ()exf，当 时， 0，当 1时， ()0fx， ()fx单调增区间为 (,)，减区间为 ,1（ 2） |1|)|fx， (|f为偶函数， |)0x对 R恒成立，等价于 ()0fx，对 恒成立， ()exfk，解得 lnkx，当 0,1k时， ()0f，在 时成立， ()fx在 0,)上为增函数， 1f ，符合题意，当 (,)k时， lnk， 0lx时， ()0fx， ()f减，(n,)k时， ， 增， lln(1l)0ffkk ， 1e，综上 0e（ 3）证明：由（ 2）可知，当 e时， ()fx恒成立，即 xk恒成立，1212eei nnni nkk k(1)2()nk，当5时， 15e4ini，得证
