1、2018 届北京西城 14 中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1已知集合 |1Mx或 2x， |13Nx，则 MN等于（ ） A |或 B | C |13xD |1x或 3x【答案】B【解析】 |23Nx故选 2下列函数中，既是偶函数又在区间 (0,1)内单调递减的是（ ） A2yxB 2xyC cosyxD lnyx【答案】C【解析】 BD不是偶函数在 (0,1)内单调递增，项符合要求故选 3已知非零实数 a， b满足 ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A 0B1abC 2abD 30ab【答案】D【解析】 项错，如
2、取 2a， ， 0，B项错，1ba， b正负无法判断，故 与 大小无法判断，C项错，2()ab，无法判断正负， D项对，32()ab恒为正故选 4已知函数 ()sin)fx， xR（其中 0， ）的部分图象，如图所示，那么 ()fx的解析式为（ ） A()sin2fxB()sin2fxC()sin2fxD()sin2fx【答案】A【解析】周期4T， 1， ()sin)fx， 0if，2，()sin2fx故选 A5一个四棱锥的三视图如图所示，这个四棱锥的体积为（ ） 侧侧侧432A 6B 8C 12D 24【答案】B【解析】四棱锥底面积 3412S，高为 2h，体积183VS故选 B6实数 x，
3、 y满足102xy ，则 4yx的取值范围是（ ） A ,4B ,7C1,42D1,72【答案】D【解析】如图阴影部分， 12,3x yABC设 4zyx，设阴影部分交点为 A， B， C，设 (1,3)A，,2， (1,0)，在 处， z取得最大值， max34()7z，在 B处， 取得最小值， in12，1,72z故选 D7已知直线 m， n和平面 ，且 m则“ n”是“ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由 ，若 n，则直线 n可能在平面 内，可能 ，但当 m， 时，可得 m，故“ ”是“ ”的必要不充分条件故选 B
4、8如图，设 P是单位圆和 x轴正半轴的交点， M、 N是单位圆上的两点， O是坐标原点，3POM，ON， 0,， ()fO，则 ()f的范围为（ ） MNPxOvA1,2B1,2C1,2D1,2【答案】A【解析】设 (cos,in)N，3,M，132OM，sin6， 0 ，7，1sin126 ，,2OMN故选 A二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9复数21iz，则复数 z的模等于_【答案】【解析】 2(i)1iz，2|110直线 360xy的倾斜角是_【答案】【解析】直线为23yx，倾斜角:tan，611执行如图所示的程序框图，则输出 S的结果为_S=+2ii=i+
5、2 侧S侧侧i 6?S=0,i=1侧侧【答案】 30【解析】 i时， 36，继续，5i时， 6251S，继续，7时， 70，停止，输出 3012函数4xy的定义域是_；最小值是_【答案】 (0,)【解析】 x满足 0， x ，解出 13直线 21axy与直线2(1)0xay平行，则 a的值为_【答案】【解析】两直线平行，则有 ，解出 或 ，当 2a时，两直线为 210xy和 40xy，当 1时，两直线为 和 21重合（舍） ，故舍去 则 a14设函数 3,0,()logxaf 其中 0若 3a，则 9_若函数 ()2yfx有两个零点，则 a的取值范围是_【答案】 4,【解析】当 3a时，23(
6、9)logf，(2)f， (9)2f x有 个解，函数 y与 3logx在定义域上是单调递增函数且 42，233logl9由题可得 4,a三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）15 （本小题共 13分）已知直线 l经过点 (2,)P（I）点 (,)Q到直线 l的距离为 1，求直线 l的方程（II）直线 l在坐标轴上截距相等，求直线 的方程【答案】 （I） 2x或 3450yx（II） 20yx或 10y【解析】 （I）当直线斜率不存在时，即 符合要求，当直线斜率存在时，设直线为 1()k，整理得 10kxy，(1,2)Q到直线 l的距离：22|3
7、|(kdk，解出43，整理得 50yx（II）由题知，直线斜率一定存在且 0k，直线 21k，当 0x时， yk，当 时，21k，解出 或 ，即直线为 20yx或 10y16 （本小题共 13分）已知函数()2sinsi3cos2fxxx（I）求 的最小正周期（II）求 ()fx在,126上的最大值和最小值【答案】 （I）最小正周期为 （II）最大值为 2，最小值为 1【解析】 （I） ()cosin3cos2fxx，sin23x，132sincos2xx，i， min2T（II）16x ，263 ，x ，12sin23 ，即 ()fx在,16上，最小值为 ，最大值为 217 （本小题满分 3
8、分）已知 na是等差数列， nb是正项的等比数列，且 12ab， 514a， 3ba（I）求 、 n的通项公式（II）求数列 中满足 46na的各项的和【答案】 （I） 31na， 2b（II） 632【解析】 （I）在等差数列 n中，514d，()23(1)na，3，又在等比数列 nb中，312aq，nb（II） 46b即46132n，解出1753，即 n， ， 82 ， ()N，即为求 671aa ，2112()S，5540， 6721aa ，2153S18 （本小题满分 13分）在 ABC中，角 ， B， C的对边分别为 a， b， c，且 abc， 32sin0bC（I）求角 的大小（
9、II）若 3b， 1c，求 a和 A的面积【答案】 （I） 60B（II） 2，32ABCS【解析】 （I） 2sincC， 3siniC， 0，i2B，3（II）221cos3acb，b， ，解得 2a或 （舍） ，1sinABCSc，32，19 （本小题共 14分）如图 ，等腰梯形 BCDP中， ， BAPD于点 ， 3BC，且 1A沿 AB把PA折起到 的位置（如图 2） ，使 90（I）求证： 平面 A（II）求三棱锥 的体积（III）线段 上是否存在点 M，使得 B平面 PCD，若存在，指出点 M的位置并证明；若不存在，请说明理由侧1 DABCP 侧2P DABC【答案】 （I）见解
10、析 （II）16（III）存在 M， 为 PA中点【解析】 （I） 90PAD，故 PAD，在等腰梯形中， ABP，在四棱锥中， ，又 D， P平面 C， 平面 AB， ，等腰梯形 E中， 3PD，且 1ABC， 2， ， 2A， 2， ， PAC， D平面 （II）11|22ABCS， P平面 ，|3ABCABCPAVSP，16（III）存在点 M， 为 中点，使得 B平面 PD，证明：取 A， 中点为 ， N，连接 ， N， C， ， 是 ， 中点，12MD，BCA， N ， 是平行四边形， M， B面 PCD，N面 ， 平面 MNCBA DP20 （本小题满分 14分）已知函数 ()ln(0)fxmx（I）若 ，求曲线 yf在点 (1,)f处的切线方程（II）求函数 ()f的最大值 )g，并求使 2gm成立的 取值范围【答案】 （I） 1（II） (ln， (0,1)【解析】 （I） ， ()lfx，()(0fx，1， 1f，曲线 ()y在 ,)处，切线方程为 （II）()(0)fxm，当10,时， ()f，当,x时， 0fx， ()f在10,m上单调递增，在,上单调递减，max1()()fgf，ln1，()2，设 ()hg，l，1()0m， h在 ,)上单调递减， ()，当 01时， ()10h (,)
