1、北京市回民学校2016-2017 学年度第一学期高三数学（理）统测（四）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合 |(21)30Ax， |14Bx ，则 AB（ ） A ,3)B (,C,2D (1,4【答案】A【解析】1|32x， |B ，选择 2若2()lg1)fx，则 ()fx的定义域是（ ） A ,B 0,1)C (,1)(,0D (,0)(,1【答案】D【解析】lg(1)x， (,0,x，选择 D3命题“ ，都有 20x ”的否定是（ ） A x，使得 B 0x，使得 20xC 0，都有 2D ，都有【答案】
2、B【解析】对于“任意的 0x，都有 20x ”的否定，应该是：“存在 ，使得 ”，选择 4将函数 sin2yx的图象向左平移4个单位长度，向上平移 1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（ ） A2coB cos2yxC cos2yxD2cosyx【答案】A【解析】 14sinsinsin12yx ， 【注意有文字】2sin21cocxx，选择 A5下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间,2上为减函数的是（ ） A sin2yxB 2cosyxCcos2xyD tan()yx【答案】D【解析】 ： siyx的 T，在区间,上先减后增；B： 2|co|的 ，在区间,2上为增函数；C：sy的
3、 4T，在区间,上为减函数；D：符合 ，且在区间,2上为减函数选择 6函数 ()1exf的图象大致是（ ） AxyOBxyOCxyODxyO【答案】A【解析】 ()1e()xff，函数为偶函数，排除 B， D；|0()f，排除 C，选择 7 “ 1a”是“函数 ()cosfxax在 R上单调递增的”（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 ()cosfxax在 上单调递增，则 ()sin0f 恒成立， a 恒成立， 1ix ， ，“ ”是 ()cosfax在 R上递增的充分不必要条件，选择 A8函数 ()logafxb是偶函数，且在区
4、间 (0,)上单调递减，则 (2)fb与 (1)fa的大小关系为（ ） A 2(1)ffB 2(1)fbfaC ()bD不能确定【答案】C【解析】 fx为偶函数， 0， ()f在 ,)上单调递减， 1a，2(2fbff， ， ()f， (1fa，选择 C二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知向量 (,)k， (2,)b，若 a与 b的夹角大小为 90，则实数 k的值为_【答案】 2【解析】 a， 10bk， 2k10已知,，3sin5，则tan4_【答案】17【解析】,2，3sin5，4cos1i，3tan4，tan1t 711阅读右侧程序框图，则输出的数据 S为_
5、i出5出出SS=S+2ii=i+1S=1出i=1出出出出出出【答案】 3【解析】易知执行结果 12341S12直线 4yx与曲线2yx在第一象限内围成的封闭图形的面积为_【答案】32【解析】画出图形易知积分上限为 4，积分下限为 0，易知面积为422301()dxx231 y=4xy=x2 x yO13已知函数21()axbcxff，其图象在点 (1,)f处的切线方程为_，则它在点(3,)f处的切线方程为_【答案】 230xy，【解析】在点 (1,)f处的切线方程为 21yx， ()f，且 2，由题易得，2(1)()axbff， (3)1ff，且 (3)()2f，点 ,处切线方程为 3yx，即
6、 20xy14已知函数sin()xf（ 1）判断下列三个命题的真假： ()fx是偶函数； ()1fx；当32x时， ()fx取得极小值其中真命题有_ （写出所有真命题的序号）（ 2）满足66nff的正整数 n的最小值为_【答案】 （ 1）；（ 2） 9【解析】 ()fx定义域关于原点对称，sin()fx()fx 为偶函数； 正确；对于sin()xf，仅须考虑02x的函数值即可，如图所示，在单位图中， siMA，连接 N，易知 OANAS ， 【注意有文字】设 的长为 l，则lxr，12M，即 x，又 sinxA， ，i()1fx，正确；xNMAO yx 22(sin)icosinxxxf，令
7、()0fx得 cosin0x，即 tan，但当32时，不满足，32x时， ()fx取不到极小值，故错选择（ ）当 1n时，62ff，不满足； ，当 9时，352ff，满足， n三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题满分 13分）已知函数2()3sinifxx（ 1）若点 (,)P在角 的终边上，求 f的值（ 2）函数 fx的最小正周期及单调递减区间（ 3）若,63，求 ()fx的值域【答案】见解析【解析】 （ 1）点 (,)P在角 的终边上，3sin2，1cos2， ()iinf23scs2132（ ）2()3sinifxxsi2co1
8、n6易知 ()fx的最小正周期为 ，当322,k时， ()fx单调递减，即4,()3xZ时， f单调递减， ()f的单调减区间为4,()3kk（ 3）当,63x时，526 ，1sin16x ，()fx值域为 2,16 （本小题满分 13分）在 ABC中， 、 为锐角，角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，且sin2A，sin（）求 ()的值（）若 2ab，求 a、 b、 c的值【答案】见解析【解析】 （）由角 A， B均为锐角，且2sinA，1sinB，2cosA，3cos2，62in()isin4B（）由正弦定理 iiabAB，可得 ab，又 2ab， ， ，又62sini()s
9、in()4C，31iacA17 （本小题满分 分）已知函数32()4fxabx的极小值为 8，其导函数 ()yfx的图象经过点(2,0)，如图所示（）求 (fx的解析式（）若函数 )yfk在区间 3,2上有两个不同的零点，求实数 k的取值范围2 xyO【答案】见解析【解析】 （）2()34fxabx，由题可知：10()88f，解得 a， 2b，3()4fxx（） ()gfk在区间 3,2上有两个不同零点， ()kf在 ,2上有两个不同的根，即 y与 fx在 ,上有两个不同的交点，2()34fx，令 ()0fx，则 或 ，列表可知， x3(,2)2,32,3()f 00xA8A427A8由表可知
10、当 8k或40327k时，方程 ()fx在 ,上有两个不同的根，即函数 y在区间上有两个不同的零点18 （本小题满分 13分）在某大学自主招生考试中，所有选报 类志向的考生全部参加了“ 数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为 A， B， C， D， E五个等级某考场考生两科的考试成绩的数据如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为 的考生有 10人（）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 的人数（）若等级 A， B， C， D， E分别对应 5分， 4分， 3分， 2分， 分（）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分（）若该考场共有 10人得分大于 7分，其中有 2人 10分
11、， 人 9分， 6人 8分从这 10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望科目：数学与逻辑 科目：阅读与表达ADBCE0.750.20.50.375出出DBCE A0.250.1500.375出出【答案】见解析【解析】 （）“数学与逻辑”科目中等级为 的考生有 10人，考场共有104人，“阅读与表达”科目中成绩等级为 A的人数为4(.375502)3人（）：平均分为4(110.754.20.75)2.9分，：设两个人成绩之和为 ，则 的值可以为 6， 1， 8， ， 2610C()3P，1260C(7)5P，2845，12049，210()C 的分布列为 X16781920P345
12、451413467892035E， 的数学期望为 19 （本小题满分 14分）在四棱锥 PABCD中，底面 AB是直角梯形， ABCD， 90， 2ABPCD，平面 平面 （）求证： 平面 P（）求平面 和平面 所成二面角（小于 90）的大小（）在棱 B上是否存在点 M使得 C平面 PAD？若存在，求PMB的值；若不存在，请说明理由CB APD【答案】见解析【解析】 （） 90BC， A，面 P面 D，面 P面 ABCD， 面 ABCD， B面 （）取 的中点 O，连接 ， C， POBC，面 面 AD，面 PBCAD， PO面 BC， 面 ，以 为原点， 所在的直线为 x轴，在平面 内过 且
13、垂直于 的直线为 y轴，P所在的直线为 z轴建立空间直角坐标系 xyz，如图所示，O yxzCB AP D不妨设 2C，由 2BPCD， (0,3)P， (1,0)D， (,) ,， 2A设平面 的法向量为 (,)mxyz，0mD，320xyz，令 1，则 2， 3 (,3)m取平面 BCP的一个法向量 (0,1)n，2cos,n面 AD和面 的二面角（锐角）的大小为4（）在棱 PB上存在一点 M使得 C面 PAD，此时12MB理由如下： 为 的中点，取 的中点 N，连接 ， N， ，则 MA，12， BCD， ， ，四边形 ANCD是平行四边形 ， M， PA，面 面 ， 面 ， C面 AD
14、NMDP ABC20 （本小题满分 14分）已知函数1ln()xf（）若函数在区间,2a（其中 0a）上存在极值，求实数 a的取值范围（）如果当 1x 时，不等式()1kfx恒成立，求实数 k的取值范围（）求证 22*()!(ennN【答案】见解析【解析】 （） 2l()xf， 01x时， 0，此时 ()f单调递增；当 时， ()f，此时 x单调递减又 ()f， x在 1处取得极大值，若使得在区间,2a上存在极值，其中 0a，1a， 2 a的取值范围为1,2（）不等式()()kfx ，即(1)lnx恒成立，令(1)lnxg， 2l()，令 lnhx，1()， x ， ()0h ， 在 1,)上单调递增， min()(x， 0g，()在 1,)上也单调增， min(2x， k （）由（）知：2()1fx恒成立，即1lnx，令 ()，则有2l1(1)n，n()，l122，1ln(3)3；424； 1ln()n，叠加得：2221l3(1)22nn，21()en，2222()n， ()!(1)nnN，得证
