1、第十八章 组合一、方法与例题1抽屉原理。例 1 设整数 n4,a 1,a2,an是区间(0,2n)内 n个不同的整数，证明：存在集合a1,a2,an的一个子集，它的所有元素之和能被 2n整除。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m证明 （1）若 n a1,a2,an,则 n个不同的数属于 n-1个集合1,2n-1，2,2n-2,n-1,n+1。由抽屉原理知其中必存在两个数 ai,aj(ij)属于同一集合，从而 ai+aj=2n被 2n整除；（2）若 na 1,a2,an，不妨设 an=n，从 a1,a2,an-1(n-13) 中任意取 3 个数 ai, aj, ak(ai,0)不被 n整除，
2、考虑 n个数 a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+an-1。）若这 n个数中有一个被 n整除，设此数等于 kn，若 k为偶数，则结论成立；若 k为奇数，则加上 an=n知结论成立。）若这 n个数中没有一个被 n整除，则它们除以 n的余数只能取 1,2,n-1这 n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以 n的余数相同，它们之差被 n整除，而 a2-a1不被 n整除，故这个差必为 ai, aj, ak-1 中若干个数之和，同）可知结论成立。2 极端原理。例 2 在 nn 的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有 0，那么该行与该列所填的所有
3、数之和不小于 n。证明：表中所有数之和不小于 。1n证明 计算各行的和、各列的和，这 2n 个和中必有最小的，不妨设第 m 行的和最小，记和为 k，则该行中至少有 n-k 个 0，这 n-k 个 0 所在的各列的和都不小于 n-k，从而这 n-k 列的数的总和不小于(n-k) 2，其余各列的数的总和不小于 k2，从而表中所有数的总和不小于(n-k)2+k2 .1)(nn3.不变量原理。俗话说，变化的是现象，不变的是本质，某一事情反复地进行，寻找不变量是一种策略。例 3 设正整数 n是奇数，在黑板上写下数 1，2，2n，然后取其中任意两个数 a,b,擦去这两个数，并写上|a-b|。证明：最后留下
4、的是一个奇数。证明 设 S 是黑板上所有数的和，开始时和数是 S=1+2+2n=n(2n+1)，这是一个奇数，因为|a-b|与 a+b 有相同的奇偶性，故整个变化过程中 S 的奇偶性不变，故最后结果为奇数。例 4 数 a1, a2,an 中每一个是 1 或-1 ，并且有 S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+ana1a2a3=0. 证明：4|n.证明 如果把 a1, a2,an 中任意一个 ai 换成-a i，因为有 4 个循环相邻的项都改变符号，S模 4 并不改变，开始时 S=0，即 S0，即 S0(mod4)。经有限次变号可将每个 ai都变成1，而始终有 S0(mod4)，从而有 n0
5、(mod4)，所以 4|n。4构造法。例 5 是否存在一个无穷正整数数列 a1,a2a3，使得对任意整数 A，数列 中1n仅有有限个素数。证明 存在。取 an=(n!)3即可。当 A=0时，a n中没有素数；当|A|2 时，若 n|A|，则 an+A均为|A|的倍数且大于|A|，不可能为素数；当 A=1时，a n1=(n!1)(n!)2n!+1，当3 时均为合数。从而当 A为整数时，(n!) 3+A中只有有限个素数。例 6 一个多面体共有偶数条棱，试证：可以在它的每条棱上标上一个箭头，使得对每个顶点，指向它的箭头数目是偶数。证明 首先任意给每条棱一个箭头，如果此时对每个顶点，指向它的箭头数均为
6、偶数，则命题成立。若有某个顶点 A，指向它的箭头数为奇数，则必存在另一个顶点 B，指向它的箭头数也为奇数（因为棱总数为偶数） ，对于顶点 A与 B，总有一条由棱组成的“路径”连结它们，对该路径上的每条棱，改变它们箭头的方向，于是对于该路径上除 A，B 外的每个顶点，指向它的箭头数的奇偶性不变，而对顶点 A，B，指向它的箭头数变成了偶数。如果这时仍有顶点，指向它的箭头数为奇数，那么重复上述做法，又可以减少两个这样的顶点，由于多面体顶点数有限，经过有限次调整，总能使和是对每个顶点，指向它的箭头数为偶数。命题成立。5染色法。例 7 能否在 55方格表内找到一条线路，它由某格中心出发，经过每个方格恰好
7、一次，再回到出发点，并且途中不经过任何方格的顶点？解 不可能。将方格表黑白相间染色，不妨设黑格为 13个，白格为 12个，如果能实现，因黑白格交替出现，黑白格数目应相等，得出矛盾，故不可能。6凸包的使用。给定平面点集 A，能盖住 A的最小的凸图形，称为 A的凸包。例 8 试证：任何不自交的五边形都位于它的某条边的同一侧。证明 五边形的凸五包是凸五边形、凸四边形或者是三角形，凸包的顶点中至少有 3点是原五边形的顶点。五边形共有 5个顶点，故 3个顶点中必有两点是相邻顶点。连结这两点的边即为所求。7赋值方法。例 9 由 22 的方格纸去掉一个方格余下的图形称为拐形，用这种拐形去覆盖 57的方格板，
8、每个拐形恰覆盖 3个方格，可以重叠但不能超出方格板的边界，问：能否使方格板上每个方格被覆盖的层数都相同？说明理由。解 将 57方格板的每一个小方格内填写数-2 和 1。如图 18-1所示，每个拐形覆盖的三个数之和为非负。因而无论用多少个拐形覆盖多少次，盖住的所有数字之和都是非负的。另一方面，方格板上数字的总和为 12(-2)+231=-1，当被覆盖 K层时，盖住的数字之和等于-K，这表明不存在满足题中要求的覆盖。-2 1 -2 1 -2 1 -21 1 1 1 1 1 1-2 1 -2 1 -2 1 -21 1 1 1 1 1 1-2 1 -2 1 -2 1 -28图论方法。例 10 生产由六
9、种颜色的纱线织成的双色布，在所生产的双色布中，每种颜色的纱线至少与其他三种颜色的纱线搭配过。证明：可以挑出三种不同的双色布，它们包含所有的颜色。证明 用点 A1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6 表示六种颜色，若两种颜色的线搭配过，则在相应的两点之间连一条边。由已知，每个顶点至少连出三条边。命题等价于由这些边和点构成的图中有三条边两两不相邻（即无公共顶点） 。因为每个顶点的次数3，所以可以找到两条边不相邻，设为 A1A2，A 3A4。（1 ）若 A5 与 A6 连有一条边，则 A1A2，A 3A4，A 5A6 对应的三种双色布满足要求。（2 ）若 A5 与 A6 之间没有边相连，不妨设
10、A5 和 A1 相连，A 2 与 A3 相连，若 A4 和 A6 相连，则 A1A2，A 3A4， A5A6 对应的双色布满足要求；若 A4 与 A6 不相连，则 A6 与 A1 相连，A 2 与A3 相连，A 1A5，A 2A6，A 3A4 对应的双色布满足要求。综上，命题得证。二、习题精选1药房里有若干种药，其中一部分药是烈性的。药剂师用这些药配成 68 副药方，每副药方中恰有 5 种药，其中至少有一种是烈性的，并且使得任选 3 种药恰有一副药方包含它们。试问：全部药方中是否一定有一副药方至少含有 4 种烈性药？（证明或否定）2 21 个女孩和 21 个男孩参加一次数学竞赛， （1）每一个
11、参赛者最多解出 6 道题；（2）对每一个女孩和每一个男孩至少有一道题被这一对孩子都解出。求证：有一道题至少有 3个女孩和至少有 3 个男孩都解出。3求证：存在无穷多个正整数 n，使得可将 3n 个数 1, 2, 3n 排成数表a1, a2anb1, b2bnc1, c2cn满足：（1）a 1+b1+c1= a2+b2+c2= an+bn+cn=，且为 6 的倍数。（2 ） a1+a2+an= b1+b2+bn= c1+c2+cn=，且为 6 的倍数。4给定正整数 n，已知克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为1， 2， ，n 克的所有物品，求 k 的最小值 f(n)。5空间中有
12、1989 个点，其中任何 3 点都不共线，把它们分成点数各不相同的 30 组，在任何 3 个不同的组中各取一点为顶点作三角形。试问：为使这种三角形的总数最大，各组的点数应分别为多少？6在平面给定点 A0 和 n 个向量 a1，a 2，a n，且使 a1+a2+an =0。这组向量的每一个排列 都定义一个点集：A 1，A 2，A n=A0，使得niia,21 niiian210,21 求证：存在一个排列，使由它定义的所有点 A1，A 2，A n-1 都在以 A0 为角顶的某个 600角的内部和边上。7设 m, n, kN，有 4个酒杯，容量分别为 m,n,k和 m+n+k升，允许进行如下操作：将
13、一个杯中的酒倒入另一杯中或者将另一杯倒满为止。开始时，大杯中装满酒而另 3个杯子却空着，问：为使对任何 SN，Sm+n+k，都可经过若干次操作，使得某个杯子中恰有 S升酒的关于 m,n,k的充分必要条件是什么？8设有 30个人坐在一张圆桌的周围，其中的每个人都或者是白痴，或者是聪明人。对在座的每个人都提问：“你右边的邻座是聪明人还是白痴？”聪明人总是给出正确的答案，而白痴既可能回答正确，也可能回答不正确。已知白痴的个数不超过 F，求总可以指出一位聪明人的最大的 F。9某班共有 30名学生，每名学生在班内都有同样多的朋友，期末时任何两人的成绩都可分出优劣，没有相同的。问：比自己的多半朋友的成绩都要好的学生最多能有多少人？
