1、数学竞赛讲义：排列与组合【赛点直击】一、两个基本原理加法原理 设 A 为完成一件事情的所有方法的集合，它可以划分为 n 个互不相交的非空子集A1，A 2，A n，|A i|=mi(i=1,2,n)，那么完成这件事情的总方法数为：N=|A|=m1+m2+mn；使用加法原理的关键在于对所计数的对象进行完全分类乘法原理 设 A 为完成一件事情的所有方法的集合，且完成这件事情需要几个步骤，实现第i(i=1,2,n)个步骤的方法的集合为 Ai， |Ai|=mi,那么完成这件事情的总方法数为N=|A|=m1m2mn；使用乘法原理的关键在于对所计数的对象进行完全分步二、相异元素的排列与组合（1）从 n 个不
2、同元素中，任取 m 个不同元素的排列数是 ；!(1)(1)()mn nAnm（2）从 n 个不同元素中，任取 m 个不同元素的组合数是 ；!()C三、圆排列定义 从 n 元集中任取 r 个不同元素，仅按元素之间的相对位置而不分首尾排成一个圆圈，这种排列称为 n 个不同元素的 r-圆排列，其排列数记为 rnH由定义，不难求得： 与组合数 和排列数 的关系为： rnHrnCrnArACnrn)!1(事实上设已将某 r 个不同元素在圆周上排好，并从某个元素开始将它们依次记为 ，r,21现在保持这个顺序不变，让 去任意选择圆周上的 r 个位置之一，有 r 种不同的选择，这 r 种选择所1A对应的排列形
3、式不同实则相同由于 r 个元素的全排列数为 ，故 r 个元素的圆排列数为 ，故! )!(n 个元素的圆排列数为 )!(Crn四、重复排列定义 从 n 元集中允许重复地任取 r 个元素排成一列，称为 n 个不同元素的 r-可重排列利用乘法原理易证明，n 个不同元素的 r-可重排列数为 ，这类问题一般可直接用乘法原理求r解五、不全相异元素的全排列定义 设 n 个元素可分为 k 组，每一组中的元素是相同的，不同组间的元素是不同的，其中第 i组的元素个数为 ， ，则这 n 个元素的全排列称为不全相异元素i),.21(nnk.21的全排列n 个元素的不全相异元素的全排列个数为 ，证明如下：!.21kn先
4、把每组中的元素看作是不相同的，则 n 个不同元素的全排列数为 ，然后分别将每个组的元!n素还其本来面目每个组的元素是相同的，则在这 个全排列中，每个排列都重复出现了!次，所以不全相异元素的全排列数为 12!.kn .21k六、多组组合定义 将 n 个不同的元素分成 k 组的组合称为 n 个不同元素的 k-组合对于一个 n 个不同元素的 k-组合，若第 i 组有 个元素，（ ），则不难证明不同的ii,.21分组方法数为 事实上，我们把分组的过程安排成相继的 k 个步骤：第一步，!.21,.21 knnCk从 n 个不同元素中选 个，有 种方法；第二步，从 个元素中选 个有 种方法，1n2n21n
5、C，第 k 步，从 个元素选 个元素，有 种方法，再由乘法原121.knkkk).(121理得证七、重复组合定义 从 n 个不同的元素中任取 r 个允许重复出现的组合称为 n 个不同元素的 r可重组合不难证明，n 个不同元素的 r可重组合的个数为 rnC1事实上，设（ ）是取自1,2,n中的任一 r-可重复组合，并设ra,.21，令 ，从而 ，ra.21 )(1riibi 1ab， ， ，显然下面两组数是一对一的：2b3br，r.21 .2132 rnra设 ，Arirnaa ,.,|),( 1，则由 A、B 之间存在一一对应，可B rir bbrb.,|. 221知 ，得证rnC|在上述证明
6、中，设 r-可重复组合 中含有 个 1， 个 2， 个 n，则ra,.21xx，且显然有（ ）与（ ）一一对应，因此我们立即可得：rxxn.21 ra,.21 nx,.21定理 1 不定方程 的非负整数解的个数为 xn.21 rC1定理 2 不定方程 的正整数解的个数为 rx nr证明：令 ，其中 ，（ ）是已知方程的正整数解，则iiyi nx,.21（*），由定理 1 知，方程（ *）有 个正整数nry.21 11)( nrrnrCC解【赛题解析】例 1在由 n2 个小方格组成的正方形中，有多少个由整数个小方格组成的大小或位置不同的正方形？解：由整数个小方格组成的大小位置不同的正方形可分成
7、n 类，第 k 类为 kk 的正方形，共有个(k=1,2,n)，于是由加法原理得所求正方形的总个数为2)(kn)12(6112nNk说明：此题将问题进行分类，直接用加法及乘法原理进行求解，两个原理是解决排列组合问题最基本的工具例 2设整数 a,b,c 为三角形三边，a+b=nN,1 c n-1 ，求这样的整边三角形的个数解：不妨设 ba，有 1a ，这样的整边三角形可分为两类2n第一类：c 为最大边，令 ，则 ，n-icn-1，这样的三角形有iib个；in)(1第二类：c 不为最大边，则 ，故 ，故ac, incia2，这样的三角形有 12ii 1)()1(in由加法原理，使 a+b=n 的整
8、边三角形的个数为 21)()nif 2n例 3有多少个能被 3 整除而又含有数字 6 的五位数？解：易知，在由 1000099999 这 90000 个五位数中，共有 30000 个可被 3 整除，下面先求其中不含数字 6 的有多少个这件事情可分步来完成：在最高位，不能为 0 和 6，因此有 8 种可能的情况，在千、百、十位上，不能为 6，各有 9 种可能的情况，在个位上，不能为 6，且应使整个五位数能被 3 整除，因此所出现的数应与前 4 位数字之和被 3 除的余数有关：当该余数为 2 时，个位上可为 1，4，7 中的一个；当该余数为 1 时，个位上可为 2，5，8 中的一个；当该余数为 0
9、 时，个位上可为 0，3，9 中的一个，总之，不论前 4 位数如何，个位数字都有 3 种可能情况所以这类五位数的个数为 89993=17496，因此，含数字 6 而又可被 3 整除的五位数的个数为 30000-17496=12504 种可能例 4从 1，2，3，4，49 中取出六个不同的数字，其中至少有两个是相邻的取法种数是多少？解：设 是取自 1，2，3，4，49 中的六个不同的数，不妨设 ，126,a 126aa显然 ，且 互不相同的充要条3456a123456,aa件是： 中不含相邻的数126,a作六元数组 对应于 ，则在取自 1 至 49 之间的六126(,)a 123456(,)aa
10、个不同且没有相邻的数构成的六元组集合与所有取自 1 至 44 之间的六个不同的数构成的六元组集合之间建立了一一对应，因此这两个集合中六元组的个数都为 ，而 1 至 49 之间的六个不同的数构64C成的六元组的个数为 ，于是，其中有相邻数的六元组的个数为 649C 694说明：本题通过对应的方法将数相邻的问题转化为元素互异的问题，从而得到求解，对应的方法是解决排列组合问题的一种常用方法例 5如图 ABCDEF 为六边形，一只青蛙开始在顶点 A 处，它每次可随意跳到相邻两个顶点之一（1）若在 5 次内跳到 D 点，则停止跳动；若 5 次内不能跳到 D 点，跳完 5 次也停止跳动问这只青蛙从开始到停
11、止，可能出现的不同跳法有几种？（2）若青蛙共跳 12 次，最终跳回到 A 点的不同跳法有几种？解：（1）由条件，青蛙的跳法只可能出现两种情况： 跳 3 次到达 D 点，有 2 种跳法跳 5 次停止（前 3 次不到 D 点），注意到前 3 次的 种跳法中，有22 种到达 D 点，故前 3 次有 种跳法，而后 2 次有 种跳法，因此有 种跳法由6 264、可知，共有 2+24=26 种不同的跳法（2）设青蛙每逆时针跳一步记为+1，每顺时针跳一步记为-1，共跳 12 次，将所有这些数相加，若其和为 6 的倍数，则青蛙跳回 A 处，若其和不为 6 的倍数，则青蛙不可能跳回原处，若其和为 0，则必为 6
12、 个+1 和 6 个-1 相加，共有 种可能；若其和为 6，则必为 9 个+1 和 3 个-1 相加，共 种；612C 312CA B CDEFS5S4 S3S2S1若其和为-6，则必为 3 个+1 和 9 个-1 相加，共 种；若其和为 12，则有 1 种可能，若其和为-12，312C也有一种可能，因此满足要求的不同跳法总数为 种6例 6将一个四棱锥 S-ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法一：由题设，四棱锥 S-ABCD 的顶点 S、A、B 所染的颜色互不相同，它们共 种染色方35A法当 S、A、B 已
13、染好时，不妨设其颜色分别为 1、2、3，若 C 染颜色 2，则 D 可染颜色 3、4、5之一，有 3 种染法；若 C 染颜色 4，则 D 可染颜色 3 或 5，有 2 种染法；若 C 染颜色 5，则 D 可染颜色 3 或 4，也有 2 种染法，由此可见，当 S、A、B 已染好时，C 与 D 还有 7 种染法，从而总的染色方法数为 7 =420 种5解法二：满足题设条件的染色至少要用三种颜色（1）若恰用三种颜色，可先从 5 种颜色中任选一种染顶点 S，再从余下的四种颜色中任选两种染A、B、C 、D 四点，此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色，故有 种方法；601245C（2）若恰用四种颜色
14、染色，可以先从 5 种颜色中任选一种染顶点 S，再从余下的四种颜色中任选两种染 A 与 B，由于 A 与 B 颜色可以交换，故有 种染法，再从余下的两种颜色中任选一种染 D 或24AC，而 D 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有 种方法；24012415（3）若恰用 5 种颜色染色，易知有 种染法1205综上所知，满足题意的总染色方法数为 60+240+120=420 种类题：（2003 年高考江苏第 15 题）某城市在中心广场建造一个花囿，花囿分为 6 个部分（如图），现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 _种（以数字作答
15、）解法一：1、2、3 两两相邻，颜色应互不相同，故有 种不同种法； 1、2、3 种好后，用树图方34A法不难得到 4、5、6 共有 5 种种法，由乘法原理得共有 5=120 种种法解法二：先种 1，有 4 种颜色可选取，2、3、4、5、6 形成一个圆环，要求用 3 种颜色涂上，且相邻的颜色不同即可转化为如下问题：将一个圆分成 5 个扇形，将三种颜色涂入其中，相邻的扇形涂不同的颜色先涂 ，有三种涂法，再涂 ，有两种涂法，再涂 3、4 各有两种涂法，再涂 5，如果1S2S只要求它与 4 颜色不同，则仍有两种涂法，这样共有 32222=48 种涂法，但这 48 种涂法中有两类：一类 5 与 1 颜色
16、不同，这种涂法符合题意，其数设为 一类 5 与 1 颜色相同，这种涂法不合a题意，如果把 5 与 1 合并看成一个扇形，这类涂法就相当于把圆分成 4 个扇形，按题设要求，其数为，即 + =48，同理， =24，而 ， =30，故最后的结果为：304=1204a434a63A5种此问题可一般化为：把一个圆分成 个扇形，依次记为 每个扇形都可用红、)2(n,21nS白、蓝三种不同颜色之任一种涂色，且三种颜色均至少用一次，要求相邻的扇形颜色互不相同，问有多少种涂色法？略解：同上可得： ， ,654,311ann 3a若没有条件“颜色均至少用一次”，结果为， ,654,2311ann 2更一般的情形是
17、：把一个圆分成 个扇形，依次记为 每个扇形都可用 r 种)(,21nS不同颜色之任一种涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问有多少种涂色法？有 ，可得11(),45,6nnar nnnrra)()(说明：当我们用集合划分的方法对问题进行分类计数时，有时不可能一次性获得成功，这就需要通过建立递推关系来求解，我们把这种计数方法称为递推方法例 7设集合 A=1,2,3,366，如果 A 的一个二元子集 B=a,b满足 17|a+b，则称 B 具有性质P（1） 求 A 的具有性质 P 的所有二元子集的个数；（2） 求 A 的两两不相交且具有性质 P 的所有二元子集的个数解：（1）a+b0(mod17)，
18、即 ak(mod17) 且 b17- k(mod17)，k=0,1,2,16，将 1,2,3,366 按模 17 可分为 17 类0,1,16 ；因 366=1721+9，故|1|=|2|=|9|=22，|10|=|11|=|16|=|0|=21，欲 17|a+b，当且仅当 a,b0或 a k，b17-k，当 a,b0时，具有性质 P 的二元子集的个数为 个；21C当 ak ，b17-k ，k =1,2,7 时，具有性质 P 的二元子集有 个；127C当 a8，b9 时，具有性质 P 的二元子集有 个；12所以 A 的具有性质 P 的二元子集总个数为 个398712121C说明：如果把子集换成
19、数对（a,b），则共有 23928 个（2）为使二元子集两两不交，可作如下搭配：a,b0时，共有 10 个子集；ak，b17-k ，k=1,2,7，有 21 个子集；当 a8，b9 时，有 22 个子集故 A 的具有性质 P 的两两不交的二元子集共有 10+721=179 个例 88 个女孩和 25 个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，问共有多少种不同的排列方法（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）解：以 1 个女孩和 2 个男孩为一组，且使女孩恰好站在两个男孩中间，余下的 9 个男孩和这 8 个组被看成是 17 个元素，显然这 17 个元素任意的圆排列数为 种再次，分在 8
20、 个组内的 16 个男孩16A在 16 个位置上的排列是 ，所以总的排列方法数为： 16A16925C说明：此题为圆排列问题例 9试求从集合 到集合 的映射的个数n,.2mB,.1解：由映射的定义知，每一个到 B 的映射对应着 个不同元素的 -可重排列，故从 A 到 B 的映n射的个数为 nm例 10一段楼梯共有 12 级台阶，某人上楼时，有时一步迈一台阶，有时一步迈两台阶，问此人共有多少种上楼的方法？解：现将“一步迈两级台阶”这一动作记为 a，因为楼梯共有 12 级台阶，故动作 a 至多只能做6 次；再记“一步迈一级台阶”的动作为 b，则上楼的整个过程由 k 个 a 及 12-2k 个 b
21、组成，这里 k可取 0，1，2，3，4，5，6，对于某个 k，其全排列数为： ，因此，)!21(!)!21(上楼的方法共有： =233 种0)!21(!k解法 2：以 k=4 为例，即 4 个两级，4 个一级，相当于共 8 步，其中有四步为两级，即相当于从8 步中选 4 步跨两级，其余跨一级，故结果应为 ；48C一般地上楼的整个过程由 k 个 a 及 12-2k 个 b 组成，相当于共跨 k+(12-2k)=12-k 步，其中有 k 步为 a，故结果为 ,这里 k 可取 0,1,2,3,4,5,6，故最终结果为 kC12 6012k解法 3：设走 n 次台阶的方法总数为 ，对每种走法可划分为两
22、类第一类：第一步走 1 级，有na种走法；第二类：第一步走 2 级，有 种走法，故 ，且 ，故易1na 2na21nna2,1a得 23因 Fibonacci 数列 满足 ，故 ，由上面的一些方法还可知：nF,1321F1nF201nkCF若将所跨的每一级台阶，此人均用红、白两种颜色做上记号，则标有不同颜色的路线共有种，其递推关系式为 2023niini 5,2,211aann例 11把 n 个不同的球，分别装入 m 个盒子中，使其中 个盒子中每个都有 个球， 个盒m1p2m子中每个都有 个球， 个盒子中每个都有 个球，这里，2pkkp，求下列情况下，各有多少种不同放法：（1）kpm.,. 2
23、11盒子均不相同；（2）装有相同数目的球的盒子相同解：（1）这是一个将 n 个不同元素分为 m 组的多组组合，故不同的放法数有；kmmppf )!.()!(21（2）因为相同数目的球的盒子相同（不加区别），故所求放法数为 !.!21kmf例 12电视台在 n 天内共播出 r 次商业广告，问若每天至少播 p 次广告（ ），就每天播rn出广告的次数而言，共有几种播出方法？解：设第 天播出广告 次，由题设知： ， ，令iix rxxn.21 ),.21(ii，则 ，故问题转化为求上述不定方程的非负整数解的个数，pxyii0.21 npryy从而知广告播放的方法数为 nprC1)(巩 固 练 习1n
24、名同学(n3)站成一圈，其中 A、B 两人不能相邻的站法有多少种？解：n 名同学站成一圈有(n-1)!种站法，其中使 A、B 相邻的站法有 2(n-2)!种，从而 A、B 不相邻的站法为(n-1)! -2(n-2)!=(n-3)(n-2)!种站法2设集合 A、B 的并集为一个 n 元集，AB（1） 若（A，B）与（B， A）视为不同的对，则这样的 A、B 共有多少个？（2） 若（A，B）与（B， A）视为相同的对，则这样的 A、B 共有多少个？解：（1）设集合 A 中有 k 个元素，则集合 B 中必含有 A 中没有的 n-k 个元素，再加上 A 的 k个元素中取 0 个、1 个、k 个，故共有
25、 个，故总数为 = n3个，除去 A 与 B 相同（均knC2nkkC02为全集）的 1 个，共 n3-1 个；（2）由题意，（A，B）与（B，A）一一对应，故结果为 个)13(2n3在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，如图，要求同一块中种同一植物，相邻的两块种不同的植物，现有 4 种不同的植物可供选择，则有多少种不同的栽 种方案解：考虑A、C、E 种同一种植物，此时共有 4333=108 种；考虑A、C、E 种两种植物，此时共有 343322=432 种方法；考 虑A、C、E 种三种植物，此时共有 222=192 种方法；故总计34C 有108+432+192=732 种方案4如图，矩形
26、ABCD 的边在网格线上，并且 AB 是 AD 的 k 倍（k 为正整数），考虑沿网格的边从 A 到 C 所有可能的最短路径证明：在这些路径中，含 AB1 的条数是含 AD1 的条数的 k 倍解：含 AB1 的最短路径，除 AB1 外，还应含 横向的m-1 节，纵向的 n 节，因此共有 条，同理，nmC含 AD1 的最短路径有 条，而1n 1!()nmCmkn，因此命题得证5马路上有编号为 1，2，3，2005 的 2005 只路灯，为节约用电，现要求把其中的 200 只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，求满足条件的关灯方法共有多少种？解：任意一种关灯的方法，都对应
27、着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是总是转化为1805 只亮灯中插入 200 只暗灯，且任何两只暗灯不相邻，而且不在两端，也就是在 1805 只亮灯所形成的 1804 个间隙中选 200 个插入暗灯，其方法有 种20184C6把 2005 个不加区别的小球分别放在 10 个不同的盒子里，使得第 i 个盒子中至少有 i 个球，问不同放法的总数是多少？)10,.2(i解：先在第 个盒子里放入 个球，这时共放了 1+2+10=55 个球，还余下 2005-55=1950 个球，ii故问题转化为把 1950 个球任意放入 10 个盒子（允许有的盒子不放球），相当于一个不定方程的非负整数解的个数问
28、题，共有 种195019509CC7 个人 站成一圈，其中某指定的两人 A、B 肯定不相邻的站法有多少种？n)3(答案： !2!1n8甲、乙两队各出 7 名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由一号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数是多少？解：不妨先设甲方胜出，则问题等价于求方程 的非负整数解的个数，有7.21xx种，同理，乙方胜的比赛过程也有 种，故可能出现的比赛过程有 种6137C 637C 6132C9有男生 人，女生 人（ ），（1）这 个人排成一列，女生不相邻，首m
29、n,nmn2尾都是男生，有多少种排法？ （2）这 个人围成一圈，女生不相邻，有多少种排法？2解：（1） ；（ 2）先作男生圆排列，然后插入，共 nA1)!( mnA)!1(10方程 的非负整数解共有多少个？3.21031xx解：由题意， ，故分情况讨论如下：,若 ，则 ，非负整数解的个数为： ；01x.1032x 16539C若 ，则 ，非负整数解的个数为： 综上，非负整数解的个数为：165+9=174 个11一个盒子里有 7 个分别标有号码 1，2，7 的球，每次取出一个，记下它的号码后再放回盒子，共取（放）4 次，求 4 次中最大标号恰是 5 的取法数？解：最大标号为 5，相当于从 1，2
30、，5 中取，共取（放）4 次，共有 种取法；从中剔除四45次中最大标号均不是 5 的种数，结果为 =369A BCDEF12已知集合 2,|12nNCzzAn ，在复平面上，以 A 中的复数的对应点为顶点可构成多少个直角三角形？解：易求得 ，其中 （n2）设各复数在复平面上对应点依次为12,0n ieO、 A0、 A1、 A2、 、 A2n-1，则 A0A1A2A2n-1为正 2n 边形，易知在 中以 为顶点的内角jiOji,均为锐角，所以，由 O、 A0、 A1、 A2、 、 A2n-1为顶点的直角三角形可分为两类：第一类：以 O 为直角顶点的直角三角形，不失一般性，可设 ，则 ，所以900KAnk2，这说明这类直角三角形存在当且仅当 n 为偶数时，这时，这样的直角三角形有 2n)(2Nkn个；第二类：不以 O 为直角顶点的直角三角形这样的直角三角形的顶点均匀分布在单位圆周上，即由A0、 A1、 A2、 、 A2n-1构成，这些点可确定 n 条直径，于是可构成 个直角三角形)2(n综上所述，由加法原理，所求直角三角形的总个数为 为 奇 数 为 偶 数nf),1()(2
