1、3、教学基本功交流研讨主题1）学生为什么要学习大学数学？2）如何学好大学数学？3）教师如何教好大学数学？4）数学建模思想引入大学数学课程的方式方法。- Page 1-浅谈为什么要学习高等数学 不知大家是否注意这样一个现象：从幼儿园、小学、中学、大学甚至到研究生，唯有数 学的学习在这么广的范围，持续这么长的时间。为什么要学习数学？要明白这个问题，应 对数学的本质和作用有一个大致的了解。什么是数学，简单地说数学是研究数量关系和空 间形式的科学。要深入开来，我们应先从数学的特征谈起。 一、 数学的特征 数学的基本特征是其研究对象的高度抽象性。其对象有些是从生活经验与生产活动抽 象而来，如有理数、点、
2、面、线、三角形、空间等，因此容易理解。但大量的研究对象不是 从生活与生产直接得来的，是从人类的科学研究（包括数学研究） 、科学实验以及复杂的技 术过程中抽象出来的，这种抽象超出了普通人的直接经验，甚至也超出了自然现象的范畴。如线性代数的研究对象 n 维线性空间，再发展是无限维空间甚至更为抽象的流形 或拓扑空间。这种研究的高度抽象性使得数学科学区别于以自然现象为研究对象的自然科 学。 数学研究对象的抽象性决定了数学的另两个特征：一是论证方法上的演绎性；第二个是 其应用上的极端广泛性。 演绎性只是指其论证方法，而不是其整个研究方法，尤其是在研究的探索阶段，试验、 归纳、类比、猜想都是其重要的方法。
3、数学论证方法上的演绎性使其构成了一个形式体系 公理、定义、定理环环相扣，演绎出许多公式和结论。人类历史上的第一个完整的演绎体系 是欧几里得的几何原本它对人类文明影响了几千年至今。欧几里得在几何原本中不 是简单地罗列了前人的几何知识，而是由五条公理出发，用形式逻辑将全部结论逐一推出。爱因斯坦曾高度评价这个逻辑体系为奇迹，他说：推理的这种令人惊叹的胜利，使人类的理 智为今后的成就获得了所需要的信心。演绎性要求了数学的严密性和逻辑性。 应用的极端广泛性同样是由数学研究对象的抽象性决定的，准确地说正因其抽象性， 其结论的应用才广泛。如数字是由苹果、羊、人等许多事物抽象而来，因此 2+3=5 就适用于
4、一切可能谈论数量的事物。应用的广泛性的重要标志是数学在其他科学中的特殊地位与作 用。伽利略说过：自然这部伟大的书是用数学语言写成的。事实上数学内部的统一性以及它 与其他学科的一致性是宇宙统一性的反映，数学是各门学科的语言，是现代物质文明最底层 的基石。随着计算机技术飞跃发展，数学已开始大步地从科学技术的背后走到了前台。比如 物理与数学的关系，大家都知道数学为物理描写现象与规律提供了语言与工具，反过来物理 现象也为数学概念的建立提供了原型。数学上有许多概念首先是由物理学家提出，然后由数 1 - Page 2-学家逐步严谨化；数学的研究也促进了物理学的发展，如海王星、电磁波、黑洞、正电子等 等不胜
5、枚举的发现均源于数学。近代最辉煌的科学成就爱因斯坦的相对论，也是以闽可 2 夫斯基的度规和四维黎曼流形为其时空结构模型的，并在此基础上提出著名公式 E=mc 的；还常有这种情形，数学家和物理学家在各自的领域中进行研究，若干年后惊异的发现他们的 研究是相通的或是同一个东西的不同侧面，如杨振宁和米尔斯研究的规范场论与陈省身教授 所研究的纤维从理论之间的密切关系就是一例子。数学在化学上的应用也早已不是过去说的 只有线性方程组。引用第 18 期读者一文蝉：生命的质数现象中一段话：“数学不 仅拯救了生物学支柱之一的孟德尔定律，科学家还通过它得到了菲尔许尔斯特珀尔方程和 洛特卡沃尔泰拉方程。前者描述了生物
6、种群增长的规律，可以帮助人们计算出人口增长速 度与人口密度的关系。后者则帮助人们认识到农药的滥用在毒杀害虫的同时也杀死了害虫的 天敌，在农作物的防病虫害斗争中发挥着重要的作用。 ” 现代流行词分子生物学的 DNA 的 复杂结构就与深奥的数学拓扑学的扭结理论密切相关。经济学诺贝尔奖从首届授予计量经济 学的奠基人 R.Fisher (挪威，1895-1979) 和 J.Tinbergen（荷兰，1903-1994）以来，就与 数学界下了不解之缘，正如瑞典皇家科学院院长 E.Lundberg 在首届颁奖仪式上讲话所说：“过去四十年中，经济科学日益朝着用数学表达经济内容和统计定量的方向发展。 ” 经济
7、 学诺贝尔奖获得者均有厚重的数学功底，其中半数以上的人有直接从事数学研究的背景，如 1994 年诺贝尔经济学奖获得者之一 Nash、好莱坞大片美丽心灵的原型，著名的美国数 学家、普林斯顿大学的数学博士，除对对策论（又称博弈论，第 18 期读者中有通俗性 的介绍）有不少贡献外，更是在核心数学的研究中有重大贡献，如黎曼流形嵌入定理、 Nashi-Moser 叠代法等） 。再如社会科学中的管理科学、质量控制、产品设计、运筹优化、 金融投资分析、保险业、市场预测，考古学，地质学等都在大量地应用着数学；随着数字 化生存方式对我们生活的快速渗透，数学概念和词汇在文化创作和日常生活中的使用也愈加 频繁；数学
8、理论与计算机的结合更是产生了五花八门的新技术，从医疗手段到动画制作，从 指纹或签字的识别到自动排版技术，从现代通讯技术到信息安全处理等，它们应用的不仅是 过去传统的数学而是非常现代的前沿数学。 美国埃克森石油开发部总裁、著名的数学家爱德华大卫深刻地指出：很少有人认识 到当今如此广泛称颂的高技术在本质上是一种数学技术。现在所谓的信息化时代，实质上就 是一个数学时代。正是在这种背景下，1992 年联合国教科文组织在里约热内卢宣布“2000 年是世界数学年” 。目的是加强数学与社会的联系，里约热内卢宣言指出：“纯粹数学和应 用数学是理解世界及其发展的一把钥匙” 。2001 年 1 月，美国 21 世
9、纪国家安全委员会发表 的为期 3 年的研究报告中称，美国数学和自然科学教育的不断恶化已经造成了国家安全危 机。如不努力提高学生数学和自然科学上的成绩，将对国家构成威胁，威胁将超过任何一场 常规战争。而令人刮目相看的印度计算机软件业之所以能迅速跃为世界第二的秘诀之一，就 2 - Page 3-是其对数学教育的重视。这也正是为什么我国越来越多的本科学科加设数学课程和越来越多 学科研究生入学考试时加试数学的原因。就以地理专业为例，本科入学由文科招生改为理科 招生，再进一步提高到研究生入学也必须加试高等数学考试。现在你可能不难理解为什么有 人说：“数学是人类知识的入口处之一” 。 但如果你仅是从“因为
10、要应用数学所以要学习数学”来理解数学的学习是十分不够的，还有一个更加重要，从而不能被大家忽视的原因就是： 二、 数学与素质培养 在新世纪社会需要有新观念、能创新、善于开拓和协作精神强的高素质人才，这对科技 人员的数学修养提出了越来越高的要求，从而也给大学数学教育提出了更高、更新的要求。那种上了大学就等于谋到了一种职业的想法已不再现实，那种在大学里学好一门专业知识就 可用一辈子的时代也将一去不复返。取而代之的是，大学教育要变专业人才培养狭隘的“对 口”观念为广泛的“适应”观念，要变“单纯的传授知识”的教育模式为“知识、能力和素 质溶为一体，协调发展”的培养模式。大学的学习阶段应全面提高自己的文化
11、素质，为你终 生学习，不断创新的人生打下一个牢固的基础。 数学作为人类智慧的结晶，它首先是一种较为重要的文化，它的本质特征决定了高等 数学教育对大学阶段的学生至少有以下三个方面的作用： （1） 是专业课必不可少的知识工具工具性； （2） 是培养理性思维能力和科学思想方法最好的知识载体； （3） 是提高科学审美意识的重要途径。 在这三个方面的作用中，我们认为培养理性思维能力和科学思想方法，接受美感熏陶是 更为重要的、素质性的作用。因为在本质上数学代表了一种理性主义的探索精神，德国数学 家康托说过：“数学的本质是自由” 。这种本质精神使得它在培养人的素质，开发人的创造 力方面具有非凡的、不可替代的
12、作用。用爱因斯坦的话说：“创造性原则寓于数学之中” 。 历史表明科学上的重大发现和理论上的重大飞跃往往伴随着科学思想方法上的重大突破。科 学思想方法与知识的关系就象是“鱼”和“渔” 。归纳是数学大厦中的主干，是人类赖以发 现世界的最本质、最重要的思维方法。再如演绎，即用逻辑从已知事物推知新事实的逻辑性 思维，也是科学发现的一种重要方法，如前面提到的海王星、黑洞、正电子、电磁波等不胜 枚举的重大发现。数学美的基本特征为：简洁性、统一性、对称性、整齐性、奇异性和思辩 性，数学的美感对于创造性思维方式的培养具有重要作用。 总之通过数学的学习可以挖掘人们十大能力： 归纳总结的能力 ； 演绎推理的能力
13、；提出问题、分析问题、解决问题的能力 ； 抽象的能力 ；联想的能力 ； 学习新知识的能力 ； 创新的能力 ；准确计算的能力 ； 口头和书面表达的能力 ；灵活应用数学软件的能力。 3 - Page 4-它还能培养人的五大素养： 主动探索并善于抓住问题中的背景和本质的素养； 善于对现实世界中的现象和过程进 行合理的简化与量化，建立数学模型的素养； 以数学方式理性思维，从多角度探寻解决问 题的道路的素养； 具有良好的科学态度和创新精神，能合理提出数学猜想、数学概念的素 养； 熟练运用准确、严格、简练的数学语言表达自己的数学思想的素养。 在社会发展到数学文化已成为现代科技文化核心的今天，数学文化的形式
14、化语言，理 性主义观念， 抽象和逻辑的思维方式，已成为现代社会成员必备的素质，这种素质的高低 直接关系到社会成员对事物的洞察、理解与判断能力，是具有长期效应的。学习高等数学，就可以在掌握数学知识的同时，使自己的心理和智能受到引导启迪，一个人若是在文化素养 中缺少了数学素质就是文化缺钙，无论在什么岗位上，数学文化修养已不是种时髦，而是一 种工作、学习和人际交往中的一种实在需要了。君不见，二十年前，国内综合性大学的校长 绝大多数是由纯文科的学者专家担任的，现在放眼看去，几乎是清一色的理科出身的专家学 者担任，他们一个显而易见的共同点就是都经过大学数学的学习。虽然所学的数学知识在毕 业进入社会后大多
15、没有什么应用机会，通常在出校门后不到一两年很快就忘掉了，但无论你 从事什么业务工作，惟有深深地铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推 理方法和着眼点等(若培养了这方面的素质的话)，却在随时随地的发生作用，使你受益终生。 三、 近代数学、高等数学 科学技术的不断发展促进了数学的不断发展。数学本是几何、代数、分析的有机结合，但对于不同的研究对象又有不同的研究方法，因此又分为几何、代数、分析等不同的分支，它们之间既有联系又有区别。中学时代所学的数学基本上是 17 世纪中叶以前的数学，而我 们所开设的高等数学为变量数学，属于 17 世纪中叶到 19 世纪 20 年代的成果，从 19 世纪
16、 20 年代到 20 世纪 40 年代，诞生了里程碑性质的非欧几何，还产生了近世代数、微分 几何、复变函数、拓扑学等新学科，以 20 世纪 40 年代计算机的发明为标志开始了现代数学 时期，形成或发展了许多应用数学的学科，如计算数学、运筹与控制、经济数学、生态数学、 精算数学、模糊数学、随机分析等，另外数学的核心部分则向更为抽象、更为综合的方向发 展。就其研究对象可分为两大类：离散数学和连续（分析）数学。 高等数学过去也称数学分析 ，其最基本最重要的内容是微积分，因其研究对 象主要是连续变化的变量问题，属于连续数学，具有较强的抽象性、逻辑性。由于连续变化 的量广泛存在于自然科学和技术科学的各个
17、领域，而且很多非连续问题在一定条件下也可转 化为连续问题来处理，因此高等数学中的各种数学模型应用广泛，是客观世界中最基本的处 理各种关系结构的量化模式，也是其他许多数学课程的基础课程，因此又具有很强的应用性。 高等数学虽形成于 17 世纪，但历史却非常久远，在古希腊时期德莫克利和阿基米德和 我国魏晋时期的数学家刘徽已有雏形论述，随着科技生产的发展，在 17 世纪由牛顿和莱 4 - Page 5-布尼茨完成了质的飞跃，各自独立地创建了微积分学，使数学从常量数学彻底跨入了变量数 学，开创了数学发展的新纪元，以往用初等数学须很高技巧或根本无法解决的大量问题，都 可以用微积分提供的数学模型，快刀斩乱麻
18、似的得到解决，极大地推动了科技的发展。 高等数学的经典内容有函数、极限、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程 和无穷级数，其中极限是其基本理论基础。但现在人们更加倾向于将线性代数和概率与统计 一并作为高等数学的内容，这是从要求现代大学生应必备的数学素质角度出发而论的。 四、 如何学好高等数学 大学数学的授课方式虽然仍是以课堂讲解为主，但讲解是以数学知识为主线，注重讲 解发现该知识的原始过程和发现该知识时所用的科学思想方法以及该知识的应用，在追随科 学大使创造和发现知识的足迹的过程中，潜移默化地去提升素质。与中学数学教学再一个很 大的不同点就是每堂课的信息量增长了很多是中学的几倍甚至是十几倍。 要想学好高等数学，应将强烈的自我学习、自主学习的意念和能力与学习过程紧密配合， 这起码要求同学们在学习过程中做到： （1）提升上课的学习效率；科学研究表明仅自学一般可达 15% 的效果，仅听讲可达 25% 的效果，两者结合起来则可获得 60% 的效果。因此一定要养成课前预习、课后复习后再作 练习的好习惯。 （2）保持主动学习的精神；积极挖掘和探索概念、定理之间的内涵与关联，要有叱 咤风云的气魄。 （3）保持与教师的接触，加强同学之间的合作；多提出问题、讨论问题。 辅导安排和作业的提交方式。 2007.7.1 5
