1、题组层级快练( 五十六)1在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M 是 AB 的中点，则 sin ， 的值等于( )DB1 CM A. B.12 21015C. D.23 1115答案 B解析 分别以 DA，DC，DD 1 为 x，y，z 轴建系，令 AD1， (1，1，1)， (1， ，0) DB1 CM 12cos ， .DB1 CM 1 123 52 1515sin ， .DB1 CM 210152已知直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，底面 ABCD 为正方形，AA 12AB，E 为 AA1 的中点，则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( )A. B.1010 15
2、C. D.31010 35答案 C解析 如图，以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设 AA12AB2，则 B(1，1，0)，E(1，0，1) ，C(0，1，0)，D1(0，0，2) (0，1，1)， (0，1，2)BE CD1 cos ， .BE CD1 1 22 5 310103若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等于( )A120 B60C30 D150答案 C解析 设直线 l 与平面 所成的角为 ，则 sin|cos120 | ，又 090.1230.4(2018天津模拟)已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC4，C
3、C 12，则直线 BC1与平面 DBB1D1 所成角的正弦值为( )A. B.32 52C. D.105 1010答案 C解析 由题意，连接 A1C1，交 B1D1 于点 O，连接 BO.在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC 4，C 1OB 1D1.易得 C1O平面 DBB1D1，C 1BO 即为直线 BC1 与平面DBB1D1 所成的角在 Rt OBC1 中，OC 12 ， BC12 ，直线 BC1 与平面 DBB1D1 所成角的正弦值为2 5，故选 C.1055.(2018辽宁沈阳和平区模拟) 如图，在正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，AB2，BB 14，则直线 BB
4、1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为 ( )A. B.13 33C. D.63 223答案 A解析 如图所示，建立空间直角坐标系则 A(2， 0，0)，C(0，2，0)，D 1(0，0，4)，B(2，2，0) ，B 1(2，2，4)，(2，2，0)， ( 2，0，4) ， (0 ，0，4)AC AD1 BB1 设平面 ACD1 的法向量为 n(x，y，z)，则 nAC 0，nAD1 0，)即 取 x2，则 y2，z1，故 n(2 ，2，1) 是平面 2x 2y 0， 2x 4z 0，)ACD1 的一个法向量设直线 BB1 与平面 ACD1 所成的角是 ，则 sin|cosn， | BB1 |
5、nBB1 |n|BB1 | 494.故选 A.136若正三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长都相等，D 是 A1C1 的中点，则直线 AD 与平面B1DC 所成角的正弦值为 ( )A. B.35 45C. D.34 55答案 B解析 间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知 B1D平面ACD，B 1D DC，故B 1DC 为直角三角形设棱长为 1，则有 AD ， B1D ，DC ，SB 1DC .52 32 52 12 32 52 158设 A 到平面 B1DC 的距离为 h，则有 VAB 1DCVB 1ADC， hSB 1DC B1DSADC .13 13 h ，h .13
6、 158 13 32 12 25设直线 AD 与平面 B1DC 所成的角为 ，则 sin .hAD 45向量法：如图，取 AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系设各棱长为 2，则有 A(0，1 ，0) ，D(0，0，2)，C(0，1，0) ，B 1( ，0，2)3设 n(x ，y， z)为平面 B1CD 的法向量，则有 n(0 ，2，1)nCD 0，nCB1 0) y 2z 0，3x y 2z 0)sin ，n .AD AD n|AD |n| 457(2018山东师大附中模拟，理) 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，AB CD，ADCD ，AB ，PA ，DAAB，点 Q
7、在 PB 上，且满102 10 6足 PQQB 1 3，则直线 CQ 与平面 PAC 所成角的正弦值为 _答案 13052解析 方法一：如图，过点 Q 作 QHCB 交 PC 于点 H.DAAB，DCAB ，在 RtADC 中，AC .AD2 CD2 5PA平面 ABCD，在 RtPAC 中，PC .PA2 AC2 11取 AB 的中点 M，连接 CM，DC AB，CMAD ，102在 RtCMB 中，CB ，CM2 MB2 5又 PB2 PA2AB 216，PC 2CB 2PB 2，CB PC.QHBC， QHPC.PACB，PAQH.由可得，QH平面 PAC，QCH 是直线 CQ 与平面
8、PAC 所成的角QH BC ，HC PC ，CQ ，sinQCH .14 54 34 3114 QH2 HC2 262 QHCQ 13052方法二：以 A 为坐标原点， AD，AB ，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0， 0)，P(0，0， )，C( ， ，0)，B(0， ，0)，6102 102 10PQ PB，Q(0， ， )，可知平面 PAC 的一个法向量为 m(1，1，0) ，又14 104 364( ， ， )，CQ 102 104 364|cosm， | ，故直线 CQ 与平面 PAC 所成角的正弦值为 .CQ |mCQ |m|CQ
9、| 13052 130528(2018上海八校联考)如图所示为一名曰 “堑堵”的几何体，已知AE底面 BCFE，DFAE，DF AE1，CE ，四边形 ABCD 是正7方形(1)九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体 EABC 是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由(2)记 AB 与平面 AEC 所成的角为 ，求 cos2 的值答案 (1)略 (2)17解析 (1)AE底面 BCFE，EC ，EB ，BC 都在底面 BCFE 上，AEEC，AEEB，AE BC.四边形 ABCD 是正方形，BCAB，BC 平面ABE.又BE平面 ABE， BCB
10、E，四面体 EABC 是鳖臑，AEB，AEC，CBE， ABC 为直角(2)AE 1，CE ，AEEC ，7AC2 ，又 ABCD 为正方形2BC2，BE .3作 BOEC 于 O，则 BO平面 AEC，连接 OA，则 OA 为 AB 在面 AEC 上的射影BAO，由等面积法得 BEBCECOB.OB ，sin ，cos2 12sin 2 .327 OBAB 217 17提示 本题也可用向量法求解9.(2016课标全国，理)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点(1)证明：MN 平面 PAB
11、；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值答案 (1)略 (2)8525解析 (1)由已知得 AM AD2.23取 BP 的中点 T，连接 AT，TN.由 N 为 PC 的中点知 TNBC，TN BC2.12又 ADBC，故 TN 綊 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 AT平面 PAB，MN 平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC 得 AEBC，从而 AEAD，且 AE .AB2 BE2AB2 （BC2）2 5以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.由题AE
12、 意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C( ，2，0)，N( ，1，2)， (0，2，4) ， (552 PM PN ， 1，2)， ( ，1，2)52 AN 52设 n(x ，y， z)为平面 PMN 的法向量，则 即nPM 0，nPN 0，) 2y 4z 0，52x y 2z 0，)可取 n(0 ，2 ，1)于是|cosn， | .AN |nAN |n|AN | 8525所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 .852510如图所示，在四棱台 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 1底面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，BAD120，ABAA 1 2A1B12.(1)若
13、 M 为 CD 中点，求证： AM平面 AA1B1B；(2)求直线 DD1 与平面 A1BD 所成角的正弦值答案 (1)略 (2)15解析 (1)四边形 ABCD 为菱形， BAD120，连接 AC，如图，则ACD 为等边三角形，又 M 为 CD 中点，AM CD，由 CDAB，得 AMAB，AA 1底面 ABCD，AM 平面 ABCD，AMAA 1，又 ABAA 1A，AM平面 AA1B1B.(2)四边形 ABCD 为菱形， BAD120，ABAA 12A 1B12，DM1，AM ，AMD BAM 90，又 AA1底面3ABCD，以 AB，AM，AA 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z
14、轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则 A1(0，0，2)，B(2，0，0)，D(1， ，0)，D 1( ， ，2)，312 32 ( ， ，2)， (3， ，0) ， (2，0，2) ，DD1 12 32 BD 3 A1B 设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)，则 y x z，令 x1，则 n(1 ， ，1)，nBD 0，nA1B 0，) 3x 3y 0，2x 2z 0，) 3 3 3直线 DD1 与平面 A1BD 所成角 的正弦值为sin|cos n， | | .DD1 nDD1 |n|DD1 | 1511.(2018山西太原一模)如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形
15、ABCD是菱形，BE平面 ABCD， DFBE ，且 DF2BE2，EF3.(1)证明：平面 ACF平面 BEFD；(2)若二面角 AEF C 是直二面角，求直线 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值答案 (1)略 (2)12解析 (1)四边形 ABCD 是菱形， AC BD.BE平面 ABCD，BEAC，BDBEB，AC 平面 BEFD，平面 ACF 平面 BEFD.(2)设 AC 与 BD 的交点为 O，由(1)得 ACBD，分别以 OA，OB 为 x 轴和 y 轴，过点 O作垂直于平面 ABCD 的直线为 z，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，BE平面 ABCD，BEBD，DF
16、BE，DFBD，BD 2EF 2 (DFBE) 28，BD2 .2设 OAa(a0)，则 A(a，0，0) ，C(a ，0，0) ，E(0 ， ，1)，F(0， ，2) ，2 2 (0，2 ，1)， ( a， ，1)， (a， ，1)EF 2 AE 2 CE 2设 m(x 1，y 1，z 1)是平面 AEF 的法向量，则 即mEF 0，mAE 0，) 22y1 z1 0， ax1 2y1 z1 0，)令 z12 ， m( ，1，2 )是平面 AEF 的一个法向量，232a 2设 n(x 2，y 2， z2)是平面 CEF 的法向量，则 即 令 z22 ，nEF 0，nCE 0，) 22y2 z
17、2 0，ax2 2y2 z2 0，) 2n( ，1，2 )是平面 CEF 的一个法向量，32a 2二面角 AEFC 是直二面角， m n 90，a .18a2 2BE平面 ABCD，BAE 是直线 AE 与平面 ABCD 所成的角，AB 2， tanBAE .OA2 OB2BEAB 12故直线 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .121.(2017山西临汾一模)如图所示，点 P 在正方形 ABCD 所在平面外，PA平面 ABCD，PAAB，则 PB 与 AC 所成的角是( )A90 60C45 30答案 B解析 将其还原成正方体 ABCDPQRS，显然 PBSC，ACS 为正三角形，A
18、CS 60 .2.(2018成都一诊)如图，正四棱锥 PABCD 的体积为 2，底面积为6，E 为侧棱 PC 的中点，则直线 BE 与平面 PAC 所成的角为( )A60 B30C45 D90答案 A解析 如图，正四棱锥 PABCD 中，根据底面积为 6 可得，BC .6连接 BD，交 AC 于点 O，连接 PO，则 PO 为正四棱锥 PABCD 的高，根据体积公式可得，PO1.因为 PO底面 ABCD，所以 POBD，又BDAC，POACO，所以 BD平面 PAC，连接 EO，则BEO 为直线 BE 与平面 PAC 所成的角在 RtPOA 中，因为 PO1，OA ，所以3PA2，OE PA1
19、，在 RtBOE 中，因为 BO ，所以 tanBEO ，即12 3 BOOE 3BEO60.3.如图，平面 ABCD平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF是矩形，且 AF ADa，G 是 EF 的中点，则 GB 与平面 AGC 所成角的正12弦值为( )A. B.23 33C. D.63 13答案 C解析 设 GB 与平面 AGC 所成的角为 .如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，则 A(0， 0，0)，B(0，2a ，0)，C(0，2a，2a)，G(a ，a，0)，(a ，a，0)， (0，2a，2a)， (a，a，0)，设平面 AGC 的法AG AC BG 向量
20、为 n1(x 1，y 1，1)，由 n 1(1 ， 1，1)sin AG n1 0，AC n1 0) ax1 ay1 0，2ay1 2a 0) x1 1，y1 1)|BG n1|BG |n1| .2a2a3 634已知直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，底面 ABCD 为正方形，AA 12AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( )A. B.23 33C. D.23 13答案 A解析 如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 C1O，过 C 作 CHC 1O 于点 H. CH平面BD ACBD AA1ACAA1 A) BD 平 面 ACC1A1CH 平 面 ACC1A1)
21、 CH BDCH C1OBDC1O O)C1BD，HDC 为 CD 与平面 BDC1 所成的角5(2018黑龙江大庆实验中学期末) 在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB4，点 D 在棱 BB1上，若 BD3，则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正切值为( )A. B.235 23913C. D.54 43答案 B解析 取 AC 的中点 E，连接 BE，如图所示，可得 ( ) ，即 52 cos42 ( 为AD EB AB BD EB AB EB 3 3 32与 的夹角)，cos ，sin ，tan ，又 BE平面AD EB 235 135 396AA1C1C，所求角的正切值为 .23
22、9136(2016北京东城质量调研) 在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱 AA12，D ，E 分别是 CC1 与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G.则 A1B 与平面 ABD 所成角的余弦值是 ( )A. B.23 73C. D.32 37答案 B解析 以 C 为坐标原点，CA 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴，CC 1 所在直线为 z 轴，建立直角坐标系，设 CACBa，则 A(a，0，0) ，B(0，a，0)，A 1(a，0，2)，D(0，0，1) ，E( ，1) ，G( ， )， ( ， )， (0
23、 ，a ， 1)，a2a2 a3a3 13 GE a6a6 23 BD 点 E 在平面 ABD 上的射影是 ABD 的重心 G， 平面 ABD， 0，解得 a2.GE GE BD ( ， )， (2 ，2，2)， 平面 ABD， 为平面 ABD 的一个法向GE 1313 23 BA1 GE GE 量cos ，A 1B 与平面 ABD 所成的角的余弦值为GE BA1 GE BA1 |GE |BA1 |4363 23 23.737(2018太原模拟)在三棱锥 ABCD 中，底面 BCD 为边长是 2 的正三角形，顶点 A 在底面 BCD 上的射影为BCD 的中心，若 E 为 BC 的中点，且直线
24、AE 与底面 BCD 所成角的正切值为 2 ，则三棱锥 ABCD 外接球的表面积为( )2A3 B4C5 D6答案 D解析 顶点 A 在底面 BCD 上的射影为BCD 的中心，而且BCD 是正三角形，三棱锥 ABCD 是正三棱锥，ABACAD.令底面BCD 的重心(即中心 )为 P， BCD 是边长为 2 的正三角形，DE 是 BC边上的高，DE ，PE ，DP .直线 AE 与底面 BCD 所成333 233角的正切值为 2 ，即 tan AEP2 ，AP ，AE 2AP 2EP 2，AD2，于是2 2263ABACADBCCDDB2，三棱锥 ABCD 为正四面体构造正方体，由面上的对角线构
25、成正四面体，故正方体的棱长为 ，正方体的体对角线长为 ，外接球的2 6半径为 ，外接球的表面积为 4( )26.62 628(2018江西临海上一中一模) 已知在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，棱长为 1.点 E 是棱A1B1 的中点，则直线 AE 与平面 BDD1B1 所成角的正弦值是_答案 1010解析 取 AB 的中点为 F，连接 B1F，过点 F 作 FGBD，垂足为 G，连接 B1G，由正方体性质知 BB1FG，BDBB 1B ，BD 平面BDD1B1，BB 1平面 BDD1B1，所以 FG平面 BDD1B1，故FB 1G 为FB1 与平面 BDD1B1 所成的角，所以 FG
26、 ，B 1F ，所以24 52sinFB 1G .又因为 AEB 1F，所以直线 AE 与平面 BDD1B1 所成角的正弦值是2452 1010.10109(2014福建，理)在平面四边形 ABCD中ABBD CD 1，ABBD，CD BD.将ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD平面 BCD，如图所示(1)求证：AB CD；(2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值答案 (1)略 (2)63解析 (1)平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，AB 平面ABD，AB BD，AB平面 BCD.又 CD平面 BCD，ABCD.(2)过点 B 在平面
27、 BCD 内作 BEBD，如图所示由(1)知 AB平面 BCD，BE平面 BCD，BD平面 BCD，ABBE，ABBD.以 B 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐BE BD BA 标系依题意，得 B(0，0，0)，C(1 ，1，0) ，D(0，1，0) ，A(0，0，1)，M ，则(0，12，12)(1 ，1，0)， ， (0，1，1) BC BM (0，12，12) AD 设平面 MBC 的法向量 n(x 0，y 0，z 0)，则 即 取 z01，得平面 MBC 的一个法向量 n(1，1，1) nBC 0，nBM 0，) x0 y0 0，12y
28、0 12z0 0，)设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 ，则 sin|cos n， | ，AD |nAD |n|AD | 63即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 .6310(2017浙江)如图，已知四棱锥 PABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PC AD 2DC2CB ，E 为 PD 的中点(1)证明：CE平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值解析 (1)如图，设 PA 中点为 F，连接 EF，FB.因为 E，F 分别为 PD，PA 中点，所以 EFAD 且 EF AD，12又因为 BCAD ，BC AD，所以 E
29、FBC 且 EFBC，12即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CEBF，因此 CE平面PAB.(2)分别取 BC，AD 的中点为 M，N. 连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ.因为 E，F，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，所以 Q 为 EF 中点，在平行四边形 BCEF 中，MQCE.由PAD 为等腰直角三角形得 PNAD.由 DCAD，N 是 AD 的中点得 BNAD.所以 AD平面 PBN，由 BCAD 得 BC平面 PBN，那么平面 PBC平面 PBN.过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH.MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以 QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角设 CD1.在PCD 中，由 PC2，CD1，PD 得 CE ，2 2在PBN 中，由 PNBN1 ，PB 得 QH ，314在 Rt MQH 中， QH ，MQ ，14 2所以 sinQMH ，28所以，直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 .28
