高考圆锥曲线之动弦过定点的问题.doc

1、题型三：动弦过定点的问题圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。例题 4、已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x 轴上的顶点分别为21(0)xyab32A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 上

2、异于点 T 的任一点，直线:(2)lxt lPA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点 A1、A 2 的坐标都知道，可以设直线PA1、PA 2 的方程，直线 PA1 和椭圆交点是 A1(-2,0)和 M，通过韦达定理，可以求出点 M 的坐标，同理可以求出点 N 的坐标。动点 P 在直线 上，相当于知道了点 P 的:()lxt横坐标了，由直线 PA1、PA 2 的方程可以求出 P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的 M、N 点的坐标，求出直线 MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解

3、出的t2，就可以了，否则就不存在。解：（I）由已知椭圆 C 的离心率 ， ,则得 。32cea3,1cb从而椭圆的方程为214xy（II）设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为1(,)M2(,)N1AM1k1AM，由 消 y 整理得12ykx124ykx22121(4)640xk是方程的两个根，1和2164kx则 ， ，2118k12ky即点 M 的坐标为 ，12214(,)k同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为 228(,)14k),(ppytykt，12kt直线 MN 的方程为： ，121yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：212y 4

4、xt又 ，t40t椭圆的焦点为 (3,)，即4t4t故当 时，MN 过椭圆的焦点。3t方法总结：本题由点 A1(-2,0)的横坐标2 是方程 的一22121(4)640kxk个根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点 M 的横坐标： ，1218再利用直线 A1M 的方程通过同点的坐标变换，得点 M 的纵坐标： ；214ky其实由 消 y 整理得 ，得到2()4ykx222(14)60kx，即 ， 很快。2164kx2814kx2241ky不过如果看到：将 中的 换下来， 前的系数 2 用2 换下来，1216k12用 1x就得点 N 的坐标 ，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样228

5、4(,)k真容易出错，但这样减少计算量。本题的关键是看到点 P 的双重身份：点 P 即在直线 上也在直线 A2N 上，进而得到1AM，由直线 MN 的方程12kt得直线与 x 轴的交点，即横截121yyxx距 ，将点 M、N 的坐标代入，化212y简易得 ，由 解出 ，到此不要忘了考察 是否满足 。4xt34t 43t2t另外：也可以直接设 P(t，y 0)，通过 A1，A 2 的坐标写出直线 PA1，PA 2 的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达定理求出 M、N 的坐标，再写出直线 MN 的方程。再过点 F，求出 t 值。例题 5、 （07 山东理）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在

6、x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3；最小值为 1；（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B 不是左右顶点） ，且mkxyl：以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标。l分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线 与椭圆mkxyl：C 相交于 A，B 两点，并且椭圆的右顶点和 A、B 的连线互相垂直，证明直线 过定点，就l是通过垂直建立 k、m 的一次函数关系。解（I）由题意设椭圆的标准方程为21(0)xyab，3,1ac2,13acb2143xy（II）设 ，由 得12(,)(,)AB

7、xy2341kxmy，2(34840km，261(3)3k240k（注意：这一步是同类坐标变换）2121284(),xx（注意：这2212121123(4)()()()mkykmkxmx一步叫同点纵、横坐标间的变换）以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 且 ，(,0)D1ADBk， ，121yx21124yxx，2223(4)(3)604mkmk，解得27160，且满足2,7k2340k当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；m:()lyx(,)当 时， ，直线过定点7k27k2,07综上可知，直线 过定点，定点坐标为l(,).名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是

8、“弦对定点张直角” ，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为 ，建立等式。直1线不过定点，也不知道斜率，设出 ，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了mkxyl：这样设的直线。练习：直线 和抛物线 相交于 A、 B，以 AB 为直径的圆过抛物线的mkxyl： 2p顶点，证明：直线 过定点，并求定点的坐标。mkxyl：分析：以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点 O，则 OA OB，若设 ，则12(,)(,)AxyB，再通过 ，将条120xy 212121()()ykxkm件转化为 ，再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，212()0kxm可以得到 ， ，解出 k、m 的等式，就可以了。解：设

9、 ，由 得， ， （这里消 x 得到的）12(,)(,)AxyB2yxp20kypm则 （1）2480pmk由韦达定理，得： ，122ppyykk，则 ，21112 2()mxkA以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点 O，则 OA OB，即 ，120xy可得 ，则 ，212112()0ymyyk2()kpk即 ，又 ，则 ，且使（1）成立，20kpm此时 ，直线恒过点 。2()lyxkpx： (2,0)p名师指点：这个题是课本上的很经典的题，例题 5、 （07 山东理）就是在这个题的基础上，由出题人迁移得到的，解题思维都是一样的，因此只要能在平时，把我们腾飞学校老师讲解的内容理解透，在高考中考取

10、 140 多分，应该不成问题。本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换韦达定理，同点纵、横坐标变换-直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？题型四：过已知曲线上定点的弦的问题若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程） ，考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。例题 6、已知点 A、B、C 是椭圆 E： 上的三点，其中点 A21xyab(0)ab是椭圆的右顶点，直线 BC 过椭圆的

11、中心 O，且 ， ，(23,0) 0ACB2AC如图。(I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程；(II)若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，求直线 PQ3x的斜率。解：(I) ，且 BC 过椭圆的中心 O2BCAO0A2C又 (3,)点 C 的坐标为 。(,)A 是椭圆的右顶点，(2,0)，则椭圆方程为：3a21xyb将点 C 代入方程，得 ，(3,)24b椭圆 E 的方程为21xy(II) 直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，3x设直线 PC 的斜率为 ，则直线 QC 的斜率为 ，从而直线 PC 的方程为：kk，即3()ykx，3(1)ykx由

12、 消 y，整理得：20k是方程的一个根，2(13)6(1)91830kxxkx2983PkA即21()Pxk同理可得： 2983(1)Qxk()3(1)PPQyxkxk()23PQxk 23(1)k229839183()()PQkx 236(1)k3PQyx则直线 PQ 的斜率为定值 。1方法总结：本题第二问中，由“直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称”得两直线的斜率3x互为相反数，设直线 PC 的斜率为 k，就得直线 QC 的斜率为-k。利用 是方程的根，易得点 P 的横坐标：22(13)6(1)9830kxx，再将其中的 k 用-k 换下来，就得到了点 Q 的横坐标：298()P，这样

13、计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。213()Qkx接下来，如果分别利用直线 PC、QC 的方程通过坐标变换法将点 P、Q 的纵坐标也求出来，计算量会增加许多。直接计算 、 ，就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一PQyPx想，如何解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。练习 1、已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x 轴上的顶点分别为21(0)xyab32A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线

14、 上异于点 T 的任一点，直线:(2)lxt lPA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。解：（I）由已知椭圆 C 的离心率 ， ,则得 。32cea3,1cb从而椭圆的方程为214xy（II）设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为1(,)M2(,)N1AM1k1AM，由 消 y 整理得1(2)ykx124ykx22121(4)640xk是方程的两个根1和 21164kx则 ， ，2118k12ky即点 M 的坐标为 12214(,)k同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为2284(,)1k12(),()ppykt

15、yt，21t直线 MN 的方程为： ，121yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：212y 4xt又 ，t40t椭圆的焦点为 (3,)，即4t4t故当 时，MN 过椭圆的焦点。3t方法总结：本题由点 A1(-2,0)的横坐标2 是方程 的一22121(4)640kxk个根，结合韦达定理得到点 M 的横坐标：，利用直线 A1M 的方程通过坐标变换，得点 M 的纵坐标： ；21184kx 12yk再将 中的 换下来， 前的系数 2 用2 换下来，就得点 N 的坐标216k12k用 1x，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少许多，并且也不易出错，2284(,)1k在这里减

16、少计算量是本题的重点。否则，大家很容易陷入繁杂的运算中，并且算错，费时耗精力，希望同学们认真体会其中的精髓。本题的关键是看到点 P 的双重身份：点 P 即在直线 上也在直线 A2N 上，进而得到1AM，由直线 MN 的方程 得直线与 x 轴的交点，即横截距12kt121yyxx，将点 M、N 的坐标代入，化简易得 ，由 解出 ，到212xy 4t34t此不要忘了考察 是否满足 。43t2t练习 2、：（2009 辽宁卷文、理）已知，椭圆 C 以过点 A（1， 32） ，两个焦点为（1，0）（1，0） 。（1） 求椭圆 C 的方程；（2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率

17、与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 分析：第一问中，知道焦点，则 ，再根据过点 A，通过解方程组，就可以求出 ，求出方程。第二问中，设出直线 AE 的斜率 k，写出直线的方程，联立方程组，转化成一元二次方程，由韦达定理和点 A 的坐标，可以求出点 E 的坐标,将点 E 中的 k,用-k 换下来，就可以得到点 F 的坐标，通过计算 yE-yF，xE-xF，就可以求出直线 EF 的斜率了解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，将点 A 的坐标代入方程： ，解得 ， （舍去）所以椭圆方程为 。 （）设直线 AE 方程为： ，代入 得3(1)2ykx2143xy2(34)340kx设 , ,因为点 在椭圆上，所以yE()F3(1,)2A21ab2,ab21xya21914()a24224c23x234()1xFk8 分Ey又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以K 代 K，可得234()1xFkEy所以直线 EF 的斜率 ()21FEFEykxkKx即直线 EF 的斜率为定值，其值为 。 12 分12老师总结：此类题的关键就是定点在曲线上，定点的坐标是方程的根，通过韦达定理，将动点的坐标求出，在根据斜率互为相反数，就可以直接求出第二动点的坐标，最后由斜率公式，可以求出斜率为定值。