1、2019 届高中数学（必修二）同步“教材变式+对接考点”题组高端训练第一章 空间几何体题组训练五 1.3.2 球的体积和表面积本节内容对应考点：1了解并掌握球的体积和表面积公式；2会用球的体积与表面积公式解决实际问题；3会解决球的组合体及三视图中球的有关问题【教材变式题组训练】一、选择题1. （根据人教 A 版必修二 P27 例 4 改编）一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的 3倍，圆锥的高与球半径之比为( )A49 B94 C427 D2742. （根据人教 A 版必修二 P27 例 4 改编）等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是( )A
2、 S球 圆 柱 正 方 体 B SS正 方 体 球 圆 柱C 圆 柱 球 正 方 体 D 球 正 方 体 圆 柱3.（根据人教 A 版必修二 P29 练习 T2 改编）长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的三条棱长分别为 3，4，5，则该球面的表面积为（ ）A. 2 B. C. D. 4. （根据人教 A 版必修二 P29 练习 T1 改编）将一个正方体金属块铸造成一球体，不计损耗，则其先后表面积之比值为（ ）A. B. C. D. 365. （根据人教 A 版必修二 P37 习题 B 组 T2 改编）如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为 8cm，底面边长为 12c，
3、将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为 6，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A. 236cm B. 264cC. 280m D. 210c【解题思路提示】球与正三棱柱上底面各边相切，利用球的截面性质、勾股定理列方程求解.二、填空题6. （根据人教 A 版必修二 P28 练习 T3 改编）表面积为 的球的半径为_.47. （根据人教 A 版必修二 P27 例 4 改编）一个半球的全面积为 Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是_.三、解答题8. （根据人教 A 版必修二 P28 练习 T2 改编）如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 8
4、 cm 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？【对接考点题组训练】一、选择题1. 【2018 届陕西省洛南中学高三第八次模拟考试第 4 题，考点 1,2】若两个球的表面积之比为 ，则这1:4两个球的体积之比为（ ）A 4 B 2 C D 1:8 1:162. 【2016-2017 江西南昌三中月考第 2 题，考点 1,2】把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的( )A2 倍 B2 倍2C 倍 D 倍2 323. 【2016 高考新课标 1 卷第 6 题，考点 1,2】如
5、图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 283,则它的表面积是（ ）（A） 17 （B） 8 （C） 0 （D）4. 【2017-2018 学年云南省玉溪市玉溪一中高一下学期期中考第 10 题，考点 1,2,3】圆柱形容器的内壁底半径是 10 ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 ，则这53个铁球的表面积为（ ）A B C D 502 50025003 2 1002【解题思路提示】容器的水面下降部分的容积即为球的体积，由此计算出球的半径，再根据球的表面积公式即可求解二、填空题5. 【2016-2017 江西师范大
6、学附中月考第 15 题，考点 1，2】将一钢球放入底面半径为 3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高 4 cm，则钢球的半径是_6. 【2018 届天津市河东区高三高考二模第 11 题，考点 1,2,3】麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆。制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有。一个长方体形状的纸盒中恰好放入 4 个球形的麻团，它们彼此相切，同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切，其俯视图如图所示，若长方体纸盒的表面积为 576 ，则一个麻团的体积为_ 三、解答题7. 【2016-2017 吉林长春外国语学校月考第 13
7、 题，考点 2,3】有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度参考答案：题组训练五 1.3.2 球的体积和表面积【教材变式题组训练】1A 【解析】设球半径为 r，圆锥的高为 h，则 (3r)2h r3，可得 hr4913 432. A【解析】 设等边圆柱底面圆半径为 r，球半径为 R，正方体棱长为 a，则 r22r R3 a3， 3 ， 32， S 圆柱 6 r2， S 球 4 R2， S 正方体 6 a2，43 (Rr) 32 (ar) 2 1，故选 A.S球S圆 柱 4 R26 r2 23
8、 (Rr) 323 S正 方 体S圆 柱 6a26 r2 1 (ar) 345. B【解析】 由题意得，设球和三棱柱的上底面的三个切点分别为 ,ABC,设截面圆的半径为 r，因为上底面是边长为 12的正三角形，则 23r，设求的半径为 R，根据球的性质可得 4RR，所以球的表面积为 222464Scm，故选 B.6. 1【解析】 4=42=17. 109Q【解析】半球的全面积 22=3SRQ全 , 3R, 32=VRh， =3R，221039【对接考点题组训练】1 C【解析】因为两个球的表面积之比为 ，所以两个球的半径之比为 ，1:4 1:2因此体积之比为 1:23=1:8，选 C.2 B 【
9、解析】由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的 倍，则体积扩大到原来的 2 倍2 23. A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的 18,设球的半径为 R,则 37428V8,解得 R2,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和 221=4+3=7S,故选 A4. D【解析】设实心铁球的半径为 R，则 = ，解得 R=5，43310253故这个铁球的表面积为 S=4R 2=100cm 2故选：D5. 3 cm【解析】设球的半径为 r，则 36 r 3，可得 r3 cm437. 【解析】由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面根据切线性质知，当球在容器内时，水深为 3r，水面的半径为 r，则容器内水的体积为 VV 圆锥V 球3 ( r)23r r 3 r 3，而将球取出后，设容器内水的深度为 h，则水面圆的半径为 h，从13 3 43 53 33而容器内水的体积是 V ( h)2h h3，由 VV，得 h r13 33 19 315即容器中水的深度为 r315
