1、1第 1 课时 等比数列前 n 项和公式的推导及简单应用学习目标 1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题知识点一 等比数列的前 n 项和公式思考 对于 S6412482 622 63，用 2 乘以等式的两边可得2S642482 622 632 64，对这两个式子作怎样的运算能解出 S64?答案 比较两式易知，两式相减能消去相同项，解出 S64，即 S64 2 641.1 2641 2梳理 等比数列的前 n 项和公式：已知量 首项 a1，项数 n 与公比 q 首项 a1，末项 an与公比 q公式 SnError! SnE
2、rror!特别提醒：在应用公式求和时，应注意到 Sn 的使用条件为 q1，而当 q1 时应a11 qn1 q按常数列求和，即 Sn na1.知识点二 等比数列的前 n 项和公式的应用思考 要求等比数列前 8 项的和：(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？(2)若已知 a1， a9， q 的值用哪个公式比较合适？答案 (1)用 Sn .(2)用 Sn .a11 qn1 q a1 anq1 q梳理 一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1) 一定不要忽略 q1 的情况(2) 知道首项 a1、公比 q 和项数 n，可以用 ；知道首尾两项 a1， an和 q，可以用a11 qn1 q.a1 an
3、q1 q(3) 在通项公式和前 n 项和公式中共出现了五个量： a1， n， q， an， Sn.知道其中任意三个，可求其余两个21在等比数列 an中， a1 b，公比为 q，则前 3 项和为 .()b1 q31 q2等比数列 an的公比 q1，则前 n 项和 Sn .()a11 qn 11 q3首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前 n 项和为 Sn na.()类型一 等比数列前 n 项和公式的应用命题角度 1 前 n 项和公式的直接应用例 1 求下列等比数列前 8 项的和：(1) ，；121418(2)a127， a9 ， q0，a5a1 1681 (23) q ， S5 21
4、1.23 a1 a5q1 q81 16231 234某厂去年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为_考点 等比数列前 n 项和应用题题点 等比数列前 n 项和的应用题答案 11 a(1.151)解析 去年产值为 a，今年起 5 年内各年的产值分别为 1.1a，1.1 2a,1.13a,1.14a,1.15a，1.1 a1.1 2a1.1 3a1.1 4a1.1 5a11 a(1.151)1在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中，共涉及五个量： a1， an， n， q， Sn，其中首项a1和公比 q 为基本量，且“知三求二” 2前 n 项
5、和公式的应用中，注意前 n 项和公式要分类讨论，即当 q1 和 q1 时是不同的7公式形式，不可忽略 q1 的情况3一般地，如果数列 an是等差数列， bn是等比数列且公比为 q，求数列 anbn的前 n项和时，可采用错位相减法求和一、填空题1设数列(1) n的前 n 项和为 Sn，则 Sn_.考点 等比数列前 n 项和题点 求等比数列的前 n 项和答案 1n 12解析 Sn . 11 1n1 1 1n 122在各项都为正数的等比数列 an中，首项 a13，前 3 项和为 21，则a3 a4 a5_.考点 等比数列前 n 项和题点 等比数列的前 n 项和有关的基本量计算问题答案 84解析 由
6、S3 a1(1 q q2)21 且 a13，得 q2 q60. q0， q2， a3 a4 a5 q2(a1 a2 a3) q2S32 22184.3设 Sn为等比数列 an的前 n 项和，8 a2 a50，则 _.S5S2考点 等比数列前 n 项和题点 等比数列的前 n 项和有关的基本量计算问题答案 11解析 由 8a2 a50 得 8a1q a1q40， q2，则 11.S5S2 a11 25a11 224等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S3 a210 a1， a59，则 a1_.考点 等比数列前 n 项和8题点 等比数列的前 n 项和有关的基本量计算问题答案 19解析 设等比
7、数列 an的公比为 q，由 S3 a210 a1，得 a1 a2 a3 a210 a1，即 a39 a1， q29，又 a5 a1q49，所以 a1 .195设公比为 q(q0)的等比数列 an的前 n 项和为 Sn.若 S23 a22， S43 a42，则a1_.答案 1解析 由 S23 a22， S43 a42，得 a3 a43 a43 a2，即 q q23 q23，解得q1(舍去)或 q ，将 q 代入 S23 a22 中得 a1 a13 a12，解得 a11.32 32 32 326已知数列 an满足 3an1 an0， a2 ，则 an的前 10 项和为_43考点 等比数列前 n 项
8、和题点 求等比数列的前 n 项和答案 3(13 10 )解析 由 3an1 an0，得 ，an 1an 13故数列 an是公比 q 的等比数列13又 a2 ，可得 a14.43所以 S10 3(13 10 )41 ( 13)101 ( 13)7一弹球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第 10 次着地时所经过的路程和是_米(结果保留到个位)考点 等比数列前 n 项和应用题题点 等比数列前 n 项和的应用题答案 300解析 小球 10 次着地共经过的路程为 10010050100 8299 300(米)(12) 39648设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，
9、若 a11， S64 S3，则 a4_.考点 等比数列前 n 项和9题点 等比数列的前 n 项和有关的基本量计算问题答案 3解析 S64 S3， q1， ， q33， a4 a1q3133.a11 q61 q 4a11 q31 q9数列 a1， a2 a1， a3 a2， an an1 ，是首项为 1，公比为 2 的等比数列，那么an_.考点 等比数列前 n 项和题点 等比数列的前 n 项和有关的基本量计算问题答案 2 n1解析 an an1 a1qn1 2 n1 ，即Error!各式相加得 an a122 22 n1 2 n2，故 an a12 n22 n1.10等比数列 an的前 n 项和
10、为 Sn，已知 S1,2S2,3S3成等差数列，则 an的公比为_考点 等比数列前 n 项和题点 等比数列的前 n 项和有关的基本量计算问题答案 13解析 由已知 4S2 S13 S3，即 4(a1 a2) a13( a1 a2 a3) a23 a3， an的公比 q .a3a2 1311设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3 S62 S9，则数列的公比 q_.考点 等比数列前 n 项和题点 等比数列的前 n 项和有关的基本量计算问题答案 342解析 当 q1 时，Sn na1， S3 S63 a16 a19 a1 S92 S9，不合题意；当 q1 时， 2 ，a11 q31 q a
11、11 q61 q a11 q91 q得 2 q3 q622 q9，2 q9 q6 q30，解得 q3 或 q31(舍去)或 q30(舍去)，1210 q .342二、解答题12求和：12 122 232 3 n2n， nN *.考点 错位相减法求和题点 错位相减法求和解 设 Sn12 122 232 3 n2n，则 2Sn12 222 3( n1)2 n n2n1 ， Sn2 12 22 32 n n2n1 n2n1 2 n1 2 n2n121 2n1 2(1 n)2n1 2， Sn( n1)2 n1 2.13已知 an是公差为 3 的等差数列，数列 bn满足 b11， b2 ， anbn1
12、bn1 nbn.13(1)求 an的通项公式；(2)求 bn的前 n 项和考点 等比数列前 n 项和题点 求等比数列的前 n 项和解 (1)由已知， a1b2 b2 b1， b11， b2 ，得 a12.13所以数列 an是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 an3 n1.(2)由(1)和 anbn1 bn1 nbn得 bn1 ，因此 bn是首项为 1，公比为 的等比数列bn3 13记 bn的前 n 项和为 Sn，则Sn .1 (13)n1 13 32 123n 1三、探究与拓展14在等比数列 an中，对任意 nN *， a1 a2 an2 n1，则a a a _.21 2 2n考
13、点 等比数列前 n 项和题点 求等比数列的前 n 项和答案 4n 13解析 a1 a2 an2 n1， a12 111.11 a1 a21 a22 213， a22， an的公比为 2. a 的公比为 4，首项为 a 1.2n 21 a a a .21 2 2na211 4n1 4 4n 1315已知正项等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S26， S430， nN *，数列 bn满足bnbn1 an， b11.(1)求 an， bn；(2)求数列 bn的前 n 项和 Tn.考点 等比数列前 n 项和题点 求等比数列的前 n 项和解 (1)设正项等比数列 an的公比为 q(q0)，由题意可得a1 a1q6， a1 a1q a1q2 a1q330，解得 a1 q2(负值舍去)，可得 an a1qn1 2 n，由bnbn1 an2 n， b11，可得 b22，即有 bn1 bn2 an1 2 n1 ，可得 2，可得bn 2bn数列 bn中奇数项、偶数项分别为公比为 2 的等比数列，即有 bnError!(2)当 n 为偶数时，前 n 项和为 Tn 3( )(1 2 ) (2 4 )11 2 2(1 )1 2 2n3；当 n 为奇数时，前 n 项和为 Tn Tn1 13( )n1 3n( )n3 3.综2 2上可得， TnError!
