1、12:54,1,第三章 线性方程组与线性子空间,线性方程组是数学应用于实际问题的一个基本的工具 有些实际问题可以直接转化为线性方程组的求解或线性方程组的解的情况大量的实际问题可以转化为比较复杂的数学模型, 但其求解过程中往往涉及到线性方程组的求解关于线性方程组的求解是数值代数的一个基本的课题, 这一领域的研究有非常丰富的研究成果线性方程组的求解方法研究推动着计算科学的发展,12:54,2,目录,3.1 用消元法解线性方程组 3.2 线性方程组的解的情况 3.3 向量组的线性相关性 3.4 线性子空间 3.5 线性子空间的基与维数 3.6 齐次线性方程组的解的结构 3.7 非齐次线性方程组的解的
2、解构, 线性流形,12:54,3,消元法,基本思想: 从已知的方程组导出若干个新的方程, 使得新的方程含有较少的未知量,线性方程组有3种初等变换:,把一个方程的倍数加到另一个方程上; 互换两个方程的位置; 用一个非零的数乘某一个方程.,命题 1.1：线性方程组的初等变换把线性方程组变成与它同解的方程组.,命题 1.2：任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成(简化)行阶梯形矩阵.,12:54,4,解的情况: 非齐次线性方程组,线性方程组,阶梯形线性方程组,设有效方程个数为 r (去掉多余的方程0=0), 不出现矛盾, 则方程组有解. 分两种情况,(i) 若 r=n, 则阶梯形方程组即为上三角
3、方程组,解唯一,(ii) 若 rn, 则有无穷多解,12:54,5,解的情况: 齐次线性方程组,推论 2.2 设 n 元齐次线性方程组经过初等变换化成阶梯形方程组.(1) 若r=n, 则原齐次线性方程组只有零解;(2) 如果rn, 则原齐次线性方程组有无穷多个(非零)解, 其中主变量有 r 个, 自由未知量有 n-r 个.,推论 2.3 当mn时, n元齐次方程组一定有非零解.,推论 2.4 当m=n时, 如果系数矩阵的行列式为0, 则齐次线性方程组一定有非零解.,定理 2.5 n 个方程的 n 元齐次线性方程组有非零解 的充分必要条件是其系数矩阵的行列式为0.,12:54,6,线性相关性的结果,命题 3.4. 若向量组存在部分组线性相关, 则该向量组线性相关.,12:54,7,线性相关性与线性方程组,12:54,8,线性子空间与线性流形,子空间: 向量空间的非空集合, 对加法和数乘封闭 平凡子空间: 0和V 张成子空间: 每一个子空间都是由基张成的子空间 齐次线性方程组的解集是线性子空间 它的一组基称为基础解系 可用初等行变换求解 非齐次线性方程组如果有解, 解集是线性流形 方向子空间,
