1、非线性时间信号处理,陶超 2010.3.17,第二章 非线性动力学初步,2.6 吸引子,吸引子是动力学系统演化很长时间后到达的一种状态,不动点(Fixed point),不动点/平衡点若x*满足F(x*)=0则称x*为不动点.从不动点出发的解的速度为零，因此它会停留在该点而且对所有的t都有(t; x*)=x*线性系统的原点是唯一的不动点,不动点的稳定性,Lyapunov 稳定:对任意,存在0，使得所有满足|x0-x*|0使得当t时，所有满足|x0-x*|的x0有|(t;x0)-x* |0，渐进稳定(吸引 attracting)： L-稳定 + 弱渐进稳定,周期轨(闭轨),满足(T;x0)=x0
2、, (t;x0)x0 (0tT)的点称为周期为T的周期点。如果x0是这样的点，则集合(t;x0)：0tT成为周期轨或者闭轨,周期轨的稳定性,Lyapunov 稳定:对于周期轨=(t;x0)：0tT,若对任意0,存在0，使得对于的邻域内的任一点x0,都有(t;x0) t0 位于的邻域内,则称 为依轨道L稳定 (钟摆的轨道)弱渐进稳定:若存在0使得当t时，使得对于的邻域内的任一点x0,都有(t;x0)与之间的距离趋于0，则称 为依轨道弱渐进稳定。渐进稳定(吸引 attracting)： L-稳定 + 弱渐进稳定 渐进稳定的周期轨又称为吸引的周期轨,钟摆的周期轨(周期轨族),极限环-孤立的周期轨,吸
3、引的 排斥的 半稳的,(附近的轨道不是周期),实际条件下， 我们能观察到什么样的信号？,L-稳定不动点？周期轨？弱渐进稳定不动点？周期轨？渐进稳定的不动点？周期轨？不稳定的不动点？周期轨？,吸引子-不可分的吸引集A,吸引子是指相空间上这样的一个集合A：在相空间上存在一个俘获区B(trapping region)，当时间趋于无穷大时，从其出发的所有轨道(t,B)都趋于集合A，则集合A称为吸引子.,An attractor is a subset A of the phase space characterized by the following three conditions: 1. A i
4、s forward invariant under f: if a is an element of A then so is f(t,a), for all t 0. 2. There exists a neighborhood of A, called the basin of attraction (trapping region) for A and denoted B(A), which consists of all points b that “enter A in the limit t “. 3. There is no proper subset of A having t
5、he first two properties.,渐进稳定的不动点(吸引子),渐进稳定的周期轨(吸引子),Van der Pol oscillator,敏感依耐性!,点的初始值敏感依赖性：存在 r 0,使得对任意的0，存在y0,满足|y0-x0| 0,使得|( ;x0)-( ;y0) | r点集的初始值敏感依赖性：系统限制在不变集S上具有对初值的敏感依赖性是指，存在 r0,对任意的x0 in S以及0，存在y0 in S,满足|y0-x0| 0,使得|( ;x0)-( ;y0) | r A is forward invariant under f: if a is an element of
6、A then so is f(t,a), for all t 0.,举例,稳定不动点不具有初始敏感性 不稳定不动点具有初始敏感性 不动点点集不具有初始敏感性稳定周期轨上的点不具有初始敏感性 不稳定周期轨上的点具有初始敏感性 周期轨点集不具有初始敏感性准周期轨点集不具有初始敏感性,周期轨的初始敏感依耐性,稳定周期轨上的点不具有初始敏感性不稳定周期轨上的点具有初始敏感性周期轨点集不具有初始敏感性,奇异(strange)吸引子,若某系统有吸引子A，且限制在A上具有对初始值的敏感依赖性，则称集合A为混沌吸引子,混沌吸引子,初始敏感依赖性,Lorenz attractor,吸引子的类型,平庸的吸引子 不动点(Fixed Point) 极限环(Limit Cycle) 极限环面(Limit Tori)奇异吸引子(Strange attractor),
