1、第四章线性方程组,第一节 齐次线性方程组,一 齐次线性方程组解的性质,三 应用举例,二 基础解系及其求法,四 小结,、解向量,设有n 元齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组（1）的解向量，,它也就是向量方程 的解,（1）若 为 的解，则,也是 的解.,（2）若 为 的解， 为实数，则,也是 的解,称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间,易知，方程组的全体解向量构成一个向量空间，,则,使得方程 成立，,、基础解系的定义,二、基础解系及其求法,基础解系，则方程组 的通解可表示为：,方程组 的解空间中，它的某一个部分组, 线性相关
2、., 线性无关；,则称 为齐次线性方程组的一组基础解系.,满足：,如果 为齐次线性方程组 的,其中 为任意实数.,、线性方程组基础解系的求法,设齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，,量线性无关,因此，的前个行向,又任意+个行向量线性相关，所以齐,即（）中的前个方程与（）同解.,（）,并不妨,设的左上角阶子式,次线性方程组的-个方程多余.,所以对系数矩阵进行初等行变换，将其化为最简形,所以,即,（）,于是，（）的全部解就可以写成,根据向量的运算法则，（）可以整理成为：,令（）为,（）,（）,则（）就为方程组 的通解.,如果,为齐次线性方程组（）的一个,基础解系.,、证明,线性无关.,由于-个-维单位
3、列向量,线性无关，,所以-个维向量,、证明解空间的任一解都可由,线性表示.,设,为某一解向量，,再构造,的一个线性组合：,由于 是 的解，故也是 的解.,亦线性无关.,下证,是线性方程组的一组基础解系.,易知：方程组的前个未知量可由后个未知量,唯一确定.,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.,说明,、解空间的基不是唯一的,、解空间的基又称为方程组的基础解系(不唯一),、任-个线性无关的解向量构成基础解系,定理,元齐次线性方程组 的全体解所构成的,集合是一个向量空间，当系数矩阵的秩为时，解空,间的维数为-.,当 时，线性方程组必有含-个向量的基,解系（此时解空间只含有零向量，称为维向量空间）,
4、当 时，线性方程组只有零解，故没有基础,础解系 ，此时线性方程组的解可以表示为,其中 为任意实数，解空间可以表示为,例 求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.,三、应用举例,解,方程组的系数矩阵,所以,从而基础解系为,通解为,解,把系数矩阵用初等行变换变成为,例 求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.,ERT,所以,基础解系为,所以线性方程组的通解为,例 齐次线性方程组,只有零解，,则满足（ ）.,例 设阶矩阵的各行元素之和为0，且秩为,的通解为_.,，则线性方程组,分析：,则,的基础解系只有一个向量.,设,的第个方程为,又矩阵的各行元素之和为0，即,为它的一个解向量.,的通解为,例 设三阶方
5、阵，且的每一列均为方程,的解，,（）求.,（）证明,解 （）因为，且的每一列均为方程的解，,所以方程组有非零的解，即方程组的系数行列式等于零.,（）当 时，方程组的矩阵为,所以,则线性方程组基础解系所含向量的个数为321个，,四、小结,、对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形,、得出 ，同时也可知方程组的一个基础解,系含有个线性无关的解向量,由于,令,故,为齐次线性方程组的一个基础解系.,就为方程组的通解.,第二节 非齐次线性方程组,一 非齐次线性方程组解的性质,二 应用举例,三 小结,、设n 元非齐次线性方程组,若记,（1）,一、非齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,又
6、可记,非齐次方程组不一定有解，若有解，则称方程组相,、非齐次线性方程组解的性质,（1）若 为 的解，则,是其导出组 的解.,（）,容，若无解，则称方程组不相容.,与非齐次方程组,称为该非齐次方程组的导出组.,也是 的解,对应的齐次方程组,其中 为其导出组的通解，,、非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组 的通解为,为非齐次线性方程组的任意一个特解.,、非齐次线性方程组有解的几个等价命题,线性方程组 有解，则以下命题等价：,设元非齐次线性方程组的系数矩阵为，增广,）线性方程组 有唯一解,定理,矩阵为B=(A b)也可记为 ，则,）线性方程组 有无穷解,）线性方程组 无解,推论,设,由向量组线性
7、表示，但表达式不唯一；,表示，且表达式唯一；,时，向量不可由向量组线性表示.,当,例 求解下列非齐次线性方程组,二、应用举例,解,方程组的增广矩阵为,所以线性方程组无解.,ERT,因,所以线性方程组有无穷多解.,例 求解下列非齐次线性方程组,解,方程组的增广矩阵为,ERT,即,其中为任意常数.,例 向量组,解,线性表示，且表达式唯一.,时,可由,线性表示.,时，不能由,当,当,且,时,可由,线性表示，,但表达式不唯一；,当,且,思考题,设方程组 的系数矩阵是,是方程组 的三个解,又 且,思考题解答,四、小结,设元非齐次线性方程组的系数矩阵为，增广,）线性方程组 有唯一解,矩阵为，则,）线性方程组 有无穷解,）线性方程组 无解,线性方程组,齐次 线性方程组,非齐次 线性方程组,导出组,基础解系,第四章 小结与练习,线性方程组,齐次 线性方程组,非齐次 线性方程组,导出组,基础解系,
