1、2002 3 天津商学院 1 第4章矩阵的对角化问题 向量的内积方阵的特征值与特征向量相似矩阵与矩阵对角化实对称矩阵对角化求方阵的特征值与特征向量的Mathematica实现 2002 3 天津商学院 2 本章要点 2002 3 天津商学院 3 第4 1节预备知识 2002 3 天津商学院 4 在空间解析几何中 向量 向量 非零向量 推广 2002 3 天津商学院 5 1 向量的内积 长度 夹角 返回 2002 3 天津商学院 6 1 向量的内积 长度 夹角 2002 3 天津商学院 7 2002 3 天津商学院 8 夹角 称之为向量 返回 2002 3 天津商学院 9 2 正交向量组 200
2、2 3 天津商学院 10 2002 3 天津商学院 11 3 向量空间的规范正交基 定义 设 是向量空间V的一个基 若 1 两两正交 2 均是单位向量 则称 是向量空间V的一个 规范正交基 返回 2002 3 天津商学院 12 n维单位坐标向量组 是 的一个规范正交基 2002 3 天津商学院 13 2002 3 天津商学院 14 4 向量组正交规范化 Schimidt正交化方法 Schimidt 方法 施密特 正交化方法 首先正交化 返回 2002 3 天津商学院 15 2002 3 天津商学院 16 继续作下去 2002 3 天津商学院 17 返回 2002 3 天津商学院 18 方程组基
3、础解系为 将其正交化 取 此即所求 2002 3 天津商学院 19 1 将下列向量组正交规范化 课堂练习 2002 3 天津商学院 20 第4 2节方阵的特征值与特征向量 1 特征值与特征向量定义 2 相关概念 3 两个有用公式 4 特征值与特征向量求法 特征方程根与系数的关系 返回 2002 3 天津商学院 21 1 特征值与特征向量定义 2002 3 天津商学院 22 2 相关概念 称 2002 3 天津商学院 23 3 两个有用公式 特征方程根与系数的关系 即为 的迹 这里 返回 2002 3 天津商学院 24 解 得特征值 当 时 解方程 由 2002 3 天津商学院 25 2002
4、3 天津商学院 26 返回 2002 3 天津商学院 27 注意在例4 2 1与例4 2 2中 特征方程的重根所对应的线性无关特征向量的个数 2002 3 天津商学院 28 2002 3 天津商学院 29 课堂练习 返回 2002 3 天津商学院 30 2002 3 天津商学院 31 第4 3节相似矩阵和矩阵对角化 1 相似矩阵概念 2 相似矩阵基本性质 3 方阵的对角化含义 4 矩阵可对角化的条件 返回 2002 3 天津商学院 32 1 相似矩阵概念 2002 3 天津商学院 33 2 相似矩阵基本性质 2002 3 天津商学院 34 证明 1 设矩阵A与B相似 即有P 1AP B 2 显
5、然 3 4 由 3 即得 5 由 4 及迹的定义即得 2002 3 天津商学院 35 2002 3 天津商学院 36 课堂练习 2002 3 天津商学院 37 3 方阵的对角化含义 4 矩阵可对角化的条件 2002 3 天津商学院 38 证明 设 返回 2002 3 天津商学院 39 逆不成立 即与对角阵相似的矩阵 特征值不一定互不相等 2002 3 天津商学院 40 2002 3 天津商学院 41 返回 2002 3 天津商学院 42 2002 3 天津商学院 43 课堂练习 2002 3 天津商学院 44 第4 4节实对称阵的对角化 1 正交矩阵2 实对称矩阵的特征值与特征向量3 实对称矩
6、阵的对角化 返回 2002 3 天津商学院 45 1 正交阵 2002 3 天津商学院 46 的证明 即有 返回 2002 3 天津商学院 47 课堂练习 2002 3 天津商学院 48 2 实对称矩阵的特征值与特征向量 结论 返回 2002 3 天津商学院 49 3 实对称矩阵的对角化 主要结论 2002 3 天津商学院 50 解 1 求特征值 特征值为 2002 3 天津商学院 51 2002 3 天津商学院 52 4 写出所求正交矩阵 2002 3 天津商学院 53 要特别注意本题的解题方法和步骤 在下面的用正交变换化二次型为标准形中还要用到类似的方法 2002 3 天津商学院 54 课
7、堂练习 2002 3 天津商学院 55 第4 5节求方阵的特征值与特征向量的Mathematica实现 Eigenvalues a 用以求矩阵a的特征值 2 Eigenvectors a 用以求矩阵a的特征向量 3 Eigensystem a 用以同时给出矩阵a的所有特征值与线性无关的特征向量 注 求n阶方阵的特征值与特征向量时 结果会显示矩阵的所有特征值与线性无关的特征向量 如果矩阵线性无关的特征向量的个数小于n 则会增加零向量 使最后结果中在形式上有n个向量 返回 2002 3 天津商学院 56 2002 3 天津商学院 57 2002 3 天津商学院 58 2002 3 天津商学院 59 返回
