1、第四章 矩阵的特征值,4.1 矩阵的特征值与特征向量 4.2 相似矩阵与矩阵的对角化 4.3 对称矩阵的特征值与特征向量,4.1 矩阵的特征值与特征向量,一、特征值与特征向量的概念,二、 特征值与特征向量的计算,三、矩阵特征值、特征向量的性质,设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量具有关系式 A = (1)成立，则数 称为方阵A的特征值， n维非零列向量 称为A的对应于特征值的特征向量。,定义4.1,一、特征值与特征向量的概念,为什么？,矩阵A的迹tr(A),二、特征值与特征向量的计算,例2 求矩阵,的特征值和特征向量。,解： A的特征多项式为,0,由此可得A的特征值为：,对于1=1时，解方程
2、 (IA)X=0，由,得基础解系：,所以属于特征值1=1的 全部特征向量是 ：,对于2= 3=3时，解方程(3IA)X=0，由,得基础解系：,所以属于特征值2= 3=3 的全部特征向量是：,三、矩阵特征值、特征向量的性质,性质1 方阵A与AT的特征值相同。,思考题,思考题解答,4.2 相似矩阵和矩阵的对角化,一、相似矩阵,二、矩阵的对角化,一、相似矩阵,问题引入：,使得 P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵，或说A与B相似，记作AB 。,注意：矩阵的等价与相似的区别,定义 设A，B都是n阶矩阵，若有可逆阵P,对A进行的运算P -1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵
3、。,问题1 矩阵A满足什么条件，才能和对角矩阵相似？,问题2 若矩阵A与对角矩阵相似，如何求P、B？,由定义可知，矩阵的相似关系是一种特殊的等价关系，具有如下性质(1) 反身性 AA；(2) 对称性 若AB，则BA；(3) 传递性 若AB，BC，则AC。,推论2 相似矩阵的行列式相同，迹相同，秩也相同。,推论3 相似矩阵或都可逆或都不可逆，可逆时其逆矩阵也相似。,二、矩阵的对角化,定理2 n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量。,解 先求特征值与特征向量：,推论1 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A 的每一个 ni (i=1，2，s)重特征值对应有
4、ni 个线性无关的特征向量。,推论2 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A 的每一个 ni (i=1，2，s)重特征值i对应矩阵iI-A的秩为n-ni 。,A的特征多项式为:,因此A的特征值为,对于1=1时，解方程(I-A)X=0，由,得基础解系，即一个线性无关的特征向量,类似地，通过解线性方程组(2IA)X=0，得 A的另二个线性无关的特征向量为,所以，矩阵A可对角化，且相似变换矩阵可取为,而,因此,例2 设3阶方阵A， 和 都不可逆，问A能否对角化？若能，写出其对角阵。,解 A能对角化。由题设，A有0，4，5三个不相等 的特征值，从而它有三个线性无关的特征向量。,4. 3 实对称矩阵的特
5、征值和特征向量,一、向量内积 二、正交向量组 三、正交矩阵 四、实对称矩阵的特征值和特征向量 五、实对称矩阵的对角化,一、向量内积,二、正交向量组,例1 零向量与任何向量的内积等于零，因此零向量与任何向量正交。 例2 Rn中初始单位向量组1， 2 ，n是两两正交的，即 Ti j =0。,一个向量空间的正交基是不唯一的。,问题：,施密特(Schimidt)正交化过程,则 为一组正交向量组，且与 等价。,再将 单位化，得到一个单位正交向量组,上述向量组的正交化方法称为施密特正交化方法。,三、正交矩阵,定理3 实对称矩阵的特征值为实数。,四、实对称矩阵的特征值与特征向量,五、实对称矩阵的对角化,由于它们是属于不同特征值的特征向量，故正交。,例2 设,。求正交矩阵Q，使QTAQ,解: 因为A为实对称矩阵，所以这样的正交矩阵Q必存在。,为对角阵。,(1) A的特征多项式为,（2）对于1= 2=1, 解方程组(IA)X=0, 由,取其基础解系，可得线性无关的特征向量,正交化, 得,再单位化，得,对于3=2, 解方程组(2IA)X=0, 由,取基础解系, 可得线性无关的特征向量,再单位化，得,(3)令,则Q为正交矩阵, 且,为什么？,注：也可求正交阵Q，从而Q -1= Q T来求A:A= Q TQ,2006年考研,使A对角化的矩阵Q 是唯一的吗？,
