线性代数第四章线性方程组

1、第四章：线性方程组的应用和矩阵的应用一、线性方程组的应用MATLAB 命令：rref(A) 将矩阵 A 化为最简行阶梯形矩阵例、闭合经济问题一个木工，一个电工，一个油漆工，三个人相互同意彼此装修他们自己的房子。在装修之前，他们达成如下协议：（1）每人总工作十天（包括给自己家干活在内） ；（2）每人的日工资根据一般的市价在 6080 元之间；（3）每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等。下表示他们协商后的制定出的工作天数分配方案：木工 电工 油漆工在木工家的工作天数 2 1 6在电工家的工作天数 4 5 1在油漆工家的工作天数 4 4 3。

2、Tel： 86613747E-mail： lsszjtcm.net授课 : 68学分： 4皖无磷舔挺甥柴宁农叉苑珍肖档疏每党谈卸冒颊磺窟键惫成吴邢应哑料伏第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法在第二章中我们知道，凡是迭代法都有一个收敛问题，有时某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。一个收敛的迭代法不仅具有程序设计简单，适于自动计算，而且较直接法更少的计算量就可获得满意的解。因此，迭代法亦是求解线性方程组，尤其是求解具有大型稀疏矩阵的线性方程组的重要方法之一。第四章 解线性方程组的迭代。

3、线性代数 第四章,主讲：赵京波,第四章 线性方程组与向量组的线性相关性,本章教学内容 1 消元法与线性方程组的相容性 2 向量组的线性相关性 3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 4 线性方程组解的结构,1 消元法与线性方程组的相容性,本节教学内容 1.线性方程组的概念 2. Cramer(克莱姆)法则 3.用消元法解线性方程组,1 消元法与线性方程组的相容性,1.线性方程组的概念 n元线性方程组的一般形式为记： 称A为系数矩阵，x为未知列，b为常数列， 则线性方程组可写成矩阵形式 Ax=b,1 消元法与线性方程组的相容性,设n元线性方程组 Ax=b，若A按列分块为 。

4、第四章 线性方程组,4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式,惠州学院数学系,伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都把理论和应用视为同等重要而紧密相关。 克莱因（Klein F，18491925）,惠州学院数学系,4.1 消元法,1.内容分布4.1.1 线性方程组的初等变换4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵4.1.3 线性方程组有解的判别 2.教学目的: 会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 线性方程组的消元解法,惠州学院数学系,前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方程和未。

5、第四章 线性方程组自测题一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1线性方程组 无解，且 则bAX,3)(Ar)(br._2若方程组 有无穷多解，则10623231x .3设 A 是方阵，线性方程组 有非零解的充分必要条件是XA._4当 时， 的秩为_,ba48132ba.25设 且 A 经若干次第三种初等变换化为 ，则,0 d00100 ._A二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由。每小题 5 分，共 20 分）1齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，若存在三阶矩阵03212x使得 则 且.0B,0A,.B2非齐次线性方程组 有解，若其解不唯一，则必有无穷多个解bAX3设 A 是 n 阶方阵， 是 有无穷多解的充。

6、线性方程组迭代解法,理学院应用数学系,立体化教学资源系列数值分析,线性方程组迭代解法,4.1 引言,当A为低阶稠密矩阵时，选主元消去法是有效方法。,对于大型稀疏的线性方程组迭代法是合适的。,迭代法的基本步骤,（2）迭代公式,线性方程组,A为非奇异矩阵。,基本思想:用某种极限过程逐步逼近方程组的精确解。,，则迭代过程收敛 。,线性方程组迭代解法,（3）计算机算法？,本章讨论,（2）迭代法的收敛性与收敛速度？误差估计？,（1）常用的迭代方法及具体形式？,4.2 基本迭代法,4.2.1 雅可比迭代法,一、三阶方程组的雅可比（Jacobi）迭代法,例1。

7、第五章 解线性方程组的方法,5.1 引言 5.2 高斯消元法 5.3 三角分解法 5.4 误差分析 5.5 迭代求解法,1 引言,一般的线性方程组,本章：,即,有唯一,的求法,求法,直接求法,（解析法）,间接方法,（数值方法、迭代方法）,1.Grammer法则：,2.Gauss消元法及其改进,3.三角分解法（L-U方法） 适用：当A为低阶稠密阵（n150）.,1.一般迭代法,2.Jacobi法,3.Seidel法,4.SOR法 适用 ：当A为高阶稀疏矩阵（n150),二、预备知识,1.几个概念： 1单位上(下)三角阵：主对角元素均为1的上（下）三角阵相关结论：其逆仍为单位上（下）三角阵其积仍为单位上（下）三。

8、线性方程组本章将系统地解决线性方程组的问题。主要是：（1）解的判定问题；（2）求解问题；（3) 解的表示问题。第四章 4.2 用初等变换解方程组初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。定义 1: 线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的 系数矩阵 , 把系数及常数项所组成的矩阵叫做增广矩阵 。设线性方程组11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 211 2 2nnnnmm mnmax ax ax bax ax ax bax ax ax b+=+=+ + =“系数矩阵 是11 12 121 22 212.nnmm mnAaa aaa aaa a = 11 12 1 121 22 2 212.nnmm mnmBaa abaa abaa ab增广矩阵 是 = 对。

9、1 第三章矩阵的初等变换与线性方程组一 矩阵的初等变换 第四章线性方程组和非线性方程组的迭代法 第一节引言 是一个向量序列 定义 与第二章单个方程的想法类似 我们按某种方式构造一个序列 使这个序列收敛到精确解 由于方程组的解是一个向量 所以。

10、 线性代数练习题 第三章 线性方程组系 专业 班 姓名 学号 第一节 消元法 第二节 线性方程组解得讨论一选择题：1设 是 矩阵， 有解，则 C Anmbx（A）当 有唯一解时， （B）当 有无穷多解时， m bxnbAx)(AR（C）当 有唯一解时， n （D）当 有无穷多解时， 只有零解)(R0x2设 是 矩阵，如果 ，则 C n（A） 必有无穷多解 （B） 必有唯一解bx bx（C） 必有非零解 （D） 必有唯一解0 0A3设 是 矩阵，齐次线性方程组 仅有零解的充要条件是 D m0x)(R（A）小于 m （B）小于 n （C ）等于 m （D）等于 n 二填空题：设 ， ，213a031b321x（1）齐次线性。

11、第四章 线性方程组,4.3 线性方程组的解的结构,齐次线性方程组解的结构: 基础解系; 通解 一般线性方程组解的结构: 通解 带参数的线性方程组,常数项为0的方程组Ax=0, 称为齐次线性方程组. 特别地, Ax=0称为Ax=b对应的齐次线性方程组.,一、齐次线性方程组,齐次线性方程组总有解x=0.,命题4.3.1 Ax=0有非零解秩An.,推论 设A是方阵, 则Ax=0有非零解系数行列式为0.,命题4.3.2 Ax=0的有限个解的线性组合仍为解.,解空间: Ax=0的解集合是向量空间, 称为解空间.,基础解系: 解空间的基底称为基础解系.,通解: 设1, ,s是Ax=0的一个基础解系, 则 =k11+ +k。

12、 线性方程组复习题 4 一 填空题 1 设矩阵A 则矩阵A的秩为 线性方程组的基础解系的向量个数为 2 若为矩阵 则非齐次线性方程组有唯一解的充分要条件是 3 若为矩阵 则齐次线性方程组有非零解的充分要条件是 4 设为阶方阵 且 是AX 0的两个不同解 则一定 线性 5 设 则齐次线性方程组 的基础解系所含向量个数为 6 在元齐次线性方程组中 若秩 且是它的一个基础解系 则 二 选择题 1 当 时。

13、第四章线性方程组 消元法 齐次线性方程组 非齐次线性方程组 第一节消元法 线性方程组的概念 用消元法求解线性方程组 称为线性方程组 一 线性方程组的概念 称 为增广矩阵 通常写成 b 0时所对应的方程组为齐次线性方程组 b 0时所对应的方程。

14、第二节 齐次线性方程组,齐次线性方程组的概念,齐次线性方程组的基础解系,齐次线性方程组的解空间,一、齐次线性方程组,齐次线性方程组,若令,则 （1）可写成矩阵形式:,则 (1) 也可写成向量形式:,那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解？当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？,由(3)式可知:如果方程组(2)只有零解,即等式,线性无关,那么R(A)=n。,如果方程组(2)有非零解,则向量组,线性相关,那么R(A)n,定理,证明,只有系数全为零时成立,从而,反之亦然。,齐次线性方程组的解有两个重要的性质如下：,二、齐次线性方程组的解空间,若用S表示方。

15、第三节非齐次线性方程组 非齐次线性方程组的概念 非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组有解的条件 称为非齐次线性方程组 一 非齐次线性方程组 对方程组的系数矩阵A按列分块 记作A 问题是 非齐次线性方程组何时是有解的 如果有解时怎样求出。

16、第四章 线性方程组 一 单项选择题 1 设A为5阶方阵 若秩 A 3 则齐次线性方程组Ax 0的基础解系中包含的解向量的个数是 A 2 B 3 C 4 D 5 2 设mn矩阵A的秩为n 1 且1 2是齐次线性方程组Ax 0的两个不同的解 则Ax 0的通解为 A k1 k R B k2 k R C k1 2 k R D k 1 2 k R 3 对非齐次线性方程组Amnx b 设秩 A r 则 A r。

17、 专业 权威 轻松 快乐 华慧考研：http:/kaoyan.c2cedu.com/QQ987403892 华慧考研网 http:/kaoyan.c2cedu.com/ Tel：13401026121 01080352177第四章 线性方程组一、齐次线性方程组1 （98，十二题，5 分）已知线性方程组（）121,2,12,20nnnaxaxxx 的一个基础解系为 ， ， ， ，试写出线性方1,(,)Tb 12,2(,)Tnb 12,(,)Tnnb程组（）121,2,12,20nnnyybyby 的通解，并说明理由【分析】一般地，若 AB0，就应想到 B 的每一列均为 Ax0 的解，本题也可用向量形式证明 A 的行向量的转置为（）的解，但相对较复杂一些【详解】 （）的通解为，其中121,2。

18、第五节齐次线性方程组 齐次线性方程组 4 2 有非零解的充要条件齐次线性方程组解的性质基础解系解的结构练习题 1 齐次线性方程组 4 2 有非零解的充要条件 或向量形式 定理8以下命题等价 即互为充要条件 1 AX 0 4 2 有非零解 4 秩A n 推论 齐次线性方程组 4 2 只有零解 证明由矩阵 向量的运算 于是 以上4个命题相互等价 2 3 4 3 2 1 线性相关定义 得 1 推 2 2。

19、第四章线性方程组,第一节 齐次线性方程组,一 齐次线性方程组解的性质,三 应用举例,二 基础解系及其求法,四 小结,、解向量,设有n 元齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组（1）的解向量，,它也就是向量方程 的解,（1）若 为 的解，则,也是 的解.,（2）若 为 的解， 为实数，则,也是 的解,称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间,易知，方程组的全体解向量构成一个向量空间，,则,使得方程 成立，,、基础解系的定义,二、基础解系及其求法,基础解系，则方程组 的通解可表示为。

20、设4维向量组,问为何值时1,2,3, 4线性相关?当1,2,3, 4线性相关时, 求其一个极大线性无关组,并将其余量用该极大线性无关组线性表出.,课 堂 练 习,课堂练习答案,解 由于,所以, a=0或a=-10时, 1, 2, 3, 4线性相关.,a=0时, 由于,此时R(A)=1, 1是一个极大线性无关组, 且有,2=21, 3=31, 4=41,a=-10时, 由于,可见, 此时R(A)=3 , 1,2,3是一个极大线性无关组, 且,4=-1-2-3.,第四章 线性方程组,本章主要介绍线性方程组解的基本理论.,1 消 元 法,一线性方程组,如果b1=b2=bm=0, 则称(4.1)为齐次线性方程组,否则，称(4.1)为非齐次线性方程组.,线性方程组。